初三数学存在性等腰三角形

1、初三数学（存在性等腰三角形）一、为什么要分类讨论当研究的问题包括多种情况，不能一概而论时，要分别讨论每一类情形的特征，不漏不重的得出每一种情况下的结论，即所谓的分类讨论。1、如：在ABC中，已知AB=AC=5 BC=3 求：ABC的周长因为情况唯一，所以不需要讨论，求得L=132、如：已知等腰三角形ABC的一边长AB=5，另一边长BC=3求：ABC的周长因为情况不唯一，所以需要分类讨论(1) 当AB为腰时，AB=AC=5 BC=3 L=13(2) 当AB为底时，AB=5 BC=AC=3 L=11二、怎样讨论一般可分为角不固定和边不固定两种1 角不固定，分两步设某一角是底角再设它是顶角例 已知等

2、腰三角形的一个内角是另一内角的2倍，求三角形的各个内角的度数。设这个内角是底角设这个内角为x度 则有2x+x=1800解得 ：x=720 所以三角形的三个内角分别是 720 720 360再设它是顶角设这个内角为x度 则有x+2 （x）=1800解得 ：x=900 所以三角形的三个内角分别是 900 450 4502、边不固定分两步 设某一边是底 ，再设它是腰例 1、 已知如图A (2,0) B(0,3),，在X轴上找一点C，使得ABC为等腰三角形，分析：因为线段AB是ABC的底还是高不确定，所以要分别讨论它的各种情况，设AB是底 （AC=BC）（做线段AB的中垂线）再设它为腰(1)（AB=A

3、C1 AB=AC2 ） 以A为圆心，以AB的长为半径画弧，交x轴于C 1 C2 两点，得到两个等腰三角形ABC1 ABC2(2) （AB=AC3）以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交x轴于C 3点，得到等腰三角形ABC3所以，本题共有四个解，练习1、已知点A、B关于y轴对称，AB=3，OD=2在x轴上找一点c，使得ABC为等腰三角形，画出草图，指出符合条件的C的个数2已知在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴y轴分别相交于点A、B，在坐标轴上找一点c，使得ABC的底角为300 且以AB为边的等腰三角形 求：画出草图，指出符合条件的C的个数3、 如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2

4、,0)两点，且x1x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.(1) 求这条抛物线的解析式；(2) 若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，4、在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（0,4），直线CMx轴（如图所示）。点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B且与直线CM相交于点D，连接OD。 （1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；二、运动中的等腰三角形1、在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于A

5、B的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C（1）求点C的坐标（2）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，用含有t的式子表示PM、QM的长，（3）若P、Q两点开始运动后，有几个时刻能使得以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）。2、 如图，矩形ABCD中，AB6，BC2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E

6、、F同时出发，当两点相遇时停止运动在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t0)(1)当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求 ：运动时间t的值；(2) 用含有t的式子表示AE的长， (3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？ （一）AH=AO （二）AH=HO（三）AO=HO3、 如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点FAB=4，BC=6，B=60度（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，

7、过M作MNAB交折线ADC于点N，连接PN。当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？为什么？当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在， 有哪几种可能情况？4、如图在梯形ABCD中，ADBC，AD=3DC=5AB=4B=450，动点M从点B出发沿线段BC以2个单位长度每秒的速度向终点C运动，动点N同时从点C出发沿线段CD以1个单位长度每秒的速度向终点D运动，设运动的时间为ts（1） 求BC的长（2）（3） （2）用含有t的式子表示MC、NC的长，（4） （3）在两点的运动过程中是否存在某一时刻t，使得（5） MNC为等腰三角形,如果存在请求出t

8、的值教育初三数学（等腰三角形的计算）一、【开篇有益】 等腰三角形的计算问题的基本思路是，将其转化为解直角三角形的问题来解决。解直角三角形最常用的方法有两种 勾股定理 （2） 三角函数例 如图已知，A（0,4） B（3,0） 求： sinB sinA conB conAtanB tanAAB 及OC的长【典题1分析】已知如图，一次函数y=x+4与x轴y轴分别相较于A、B两点，在y轴上是否存在一点C，使得ABC为等腰三角形，【解题分析】由上节课可以求得，在y轴上存在四个满足条件的点， 以AB为底时做AB的中垂线DC，D为垂足，交y轴与C由已知可得，A（-3,0）B（0,4）AB=5在三角形ABC中

9、， conB= BD=AB= BD/BC= conB= BC= OC=4-=C(0, )（2）以AB为腰时 以A为圆心，以AB的长为半径画弧，交y轴与C因为三角形ABC是等腰三角形，所以OB=OC=4所以C（0，-4） 以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交y轴与C因为三角形ABC是等腰三角形，所以可得C（0，-1）或C（0,9）【变型训练】1、在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（0,4），直线CMx轴（如图所示）。点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B且与直线CM相交于点D，连接OD。 （1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，

10、若POD是等腰三角形，求点P的坐标；【解题方法归纳】等腰三角形的计算问题的基本思路是，将其转化为解直角三角形的问题来解决。勾股定理、三角函数是最有利的工具，【典题2分析】如图，矩形ABCD中，AB6，BC2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t0)(1) 当等边EFG的边FG恰

11、好经过点C时，求运动时间t的值；(2) 用含有t的式子表示AE的长， (3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由解：(1) 略(2) AE=3t或t3(3)存在，理由如下： 在RtABC中，tanCAB=，CAB=30°又HEO=60°，HAE=AHE=30°AE=HE=3t或t3（）当AH=AO=3时，过点E作EMAH于M，则AM=AH=在RtAME中，cosMAE，即cos 30°=，AE=，即3t=或t3=，t=3或3 （）当HA=HO时（如图），则HOA

12、=HAO=30°，又HEO=60°，EHO=90°EO=2HE=2AE又AEEO=3，AE2AE=3AE=1即3t=1或t3=1，t=2或4 （）当OH=OA时（如图），则OHA=OAH=30°，HOB=60°=HEB点E和O重合，AE=3即3t=3或t3=3，t=6（舍去）或t=0 综上所述，存在5个这样的值，使AOH是等腰三角形，即： t=3或t=3或t=2或t=4或t=0 【变型训练】·1、 如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点FAB=4，BC=6，B=60度（1）求点E到BC的距离

13、；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x 当点N在线段AD上时（如图1），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出它的周长。若改变，请说明理由， 当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值，若不存在，请说明理由，【解题方法归纳】 等腰三角形的计算问题的基本思路是，将其转化为解直角三角形的问题来解决。勾股定理、三角函数是最有利的工具， 关于运动中的等腰三角形的计算问题 ，首先要用含有要求的未知数的字母表示线段的长，再运用上面的方法解决。【典题3分析】如图，抛物线

14、与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根. (1) 求这条抛物线的解析式；(2) 若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在， 求出P点的坐标 (1) 略：解析式；y= -x2+x+4(2)解：由（1）可知，抛物线的对称轴是x=1（以BC为腰时） 以C为圆心，以BC=2为半径画弧，交对称轴于C1 C2过C做CM对称轴，垂足为M，由勾股定理可得MC1 = MC2 = C1 （1，4+）C2 （1,4-） 以B为圆心，以BC=2为半径画弧，交对称轴于C3 C4由勾股定理可得

15、MC13 = MC24= C3（1，） C4 （1, ）（以BC为底时）做BC的中垂线MN垂足为M，交x轴于N，解直角三角形BMN，BM=conB=可得BN=5 N（3,0）过点M作MQx轴，垂足为QconB=BM= BQ=1 MQ=2 M（-1,2）过MN的直线的解析式为y= -x+当x=1时，y=1 C5（1,1）综上所述，满足条件的点有五个，C1 （1，4+） C2 （1,4-） C3（1，） C4 （1, ） C5（1,1）【解析法】 本题还可以用解析法来解用解析法解题一般分如下几步： 找点的坐标 用两点间的距离公式分别计算三边的长 用两边两两相等列出方程， 解方程的结果解： 略【变型

16、训练】1、 上页例题1 用解析法解 2、 上页练习用解析法解 教育初三数学（关于平行四边形、梯形直角三角形的解法）一、【开篇有益】因为梯形的特性是两底平行，所以在解决梯形问题时分两步，(1) 判断哪条线段做底，(2) 根据平行线的特性解决问题，例1、如图：二次函数y= -x2+x+1的图象与x轴交于 A（- ，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C（1）判断ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说

17、明理由【典题分析、详解】（1） 略 ABC是 直角三角形，且ACBC（2） 略 D（，1）（3） 因为由（1）可知ACBC所以四边形ACBP为直角梯形时只有两种情况 以AC、BP为底过AC的直线的解析式为y=2x+1又ACBP 设过BP的直线为y=2x+b 将B（2,0）代入，可得b=-4 过BP的直线的解析式为y=2x-4解关于x的方程组解得x1=2 (舍去) x2= -当x2=-时，y2=-9 P1（-，-9） BC 、AP为底过BC的直线的解析式为y= - x+1又BCAP 设过AP的直线为y=-x+b 将A（-,0）代入，可得b=- 过AP的直线的解析式为 y=-x-解关于x的方程组解

18、得x3= - (舍去) x4= 当x4=时， y4= - P2（，-）【方法归纳】解有关梯形特别是直角梯形问题时，常常运用梯形的两底平行的性质，建立直线方程，用解析法，解有关方程组，得到交点的的坐标【变型训练】例2、如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线L，点P是L上一动点设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0S18时，求t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角形且OP为直角边若

19、存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【典题分析、详解】（1） 略 解析式为 y= -x2+2xA（3,3） B(6,0)（2） 略 ABL 以点ABPO为顶点的四边形始终为梯形，OP=t，过A做L的垂线，必和O点重合， AO=3 S= （t+3）3=3t+9当t0时 S=3t+9 由题意可得03t+918解得 3t0当t0时 S= -3t+9 由题意可得0-3t+918解得 -3t0(3) 存在， 以QOP=900做AOOP 则AOPA与点Q重合 Q1（3,3） 以QPO=900做BOOP 则直线BP与抛物线有两个交点，Q1 、Q2 构成Q1OP和Q2OP直线BPAO 设直线BP为y=

20、x+b 将B（6,0）代入可得，Q1 （6,0）与B重合 、Q3(-3,-9)综上所述，共有三个点满足条件Q1（3,3）Q1 （6,0）Q3(-3,-9)【变型训练】（济南11年中考）教育初三数学（相似三角形）一、【开篇有益】在学习相似三角形时，有几类基本图形是常常用来解决两个三角形相似的有力工具（一）几种常见形式（1）图形变化（3） K型二、【典题分析】1、（2009莆田）已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线L，抛物线 y= x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF（1）求点A、B、F的坐标

21、；（2）求证：CFDF；（3）点P是抛物线y= x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1） 用点的待定系数法， 将满足解析式的点的坐标分别代入解析式，求出点的坐标，（2）有两种方法，方法一，在RtCEF中算出DEF边长利用勾股定理证明CFDF；方法二利用几何关系求出CFD=90°；（3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点P的坐标，此题分两种情况；（1）RtQPORtCFD；（2）RtOPQRtCFD，根据比例求出P点坐标【详解】（1）如图1，当x

22、=-1时，y= ；当x=4时，y=4A（-1， ）B（4，4）设直线AB的解析式为y=kx+b则 解得 直线AB的解析式为y= x+1当x=0时，y=1F（0，1）（2） 略 CFDF；（3）存在解：如图3，作PMx轴，垂足为点M又PQOPRtOPMRtOQP 设P（x， x2）（x0），则PM= x2，OM=x当RtQPORtCFD时， （ 解得x=2P1（2，1）当RtOPQRtCFD时， =2 =2解得x=8P2（8，16）综上，存在点P1（2，1）、P2（8，16）使得OPQ与CDF相似2、已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与

23、x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是_ _，b_ _，c_ _；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）

24、的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由yOxCNBPMA教育初三数学（相似三角形）一、【开篇有益】在证明两个三角形相似，最常用的方法是： 对应边成比例， 对应角相等，问题的关键是如何判断对应边，对应角？这就是运用分类讨论的思想，将所有的可能情况全部考虑到，做到不重、不漏。一般采用定角（或定边）两种。二、【典题举例】1、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等（1）求实数的值；（2）在边BC上有一点N（，），二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点

25、的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由【分析详解】（1）略 a= - b=- c=（2）因为的CAB=300 ACB=900 所以，如果以B、N、Q为顶点的三角形与相似，则肯定是有一个锐角是300的直角三角形，解：由勾股定理可得，已知可得ABC是直角三角形，CAB=300 N（-2，） 以NB为斜边的直角三角形的顶点显然不能与对称轴X=-1相交， 若GNB=900 则NGAC 直线AC的解析式为 y=x+ 设直线NQ的解析式为y=x+b将N（，）代入解析式得 b=直线NQ的解析式为y=x+ 当x=-1时，y=交点不是点G，所以NQB300 NBQ600 所以能和相似，

26、不存在点Q若QBN=900 则BQAC 直线AC的解析式为y=x+ 设直线BQ的解析式为y=x+b ，将B（1,0）代入得b= -直线BQ的解析式为y=x- 当x=-1时 y= - 所以Q（-1，-）由两点的距离公式可得=900300 综上所述，符合条件的点只有一个Q（-1，-）【方法归纳】求证两个三角形相似，先固定角，再找角的对应边对应成比例，则两个三角形相似。例2已知，如图过点E（0，-1）作平行于x轴的直线L，抛物线 y= x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF（1）求点A、B、F的坐标；（2）求证

27、：CFDF；（3）点P是抛物线y= x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】1）用点的待定系数法，将满足解析式的点的坐标分别代入解析式，求出点的坐标。 （2）有两种方法，方法一，在RtCEF中算出DEF边长利用勾股定理证明CFDF；方法二利用几何关系求出CFD=90°；（3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点P的坐标，此题分两种情况；（1）RtQPORtCFD；（2）RtOPQRtCFD，根据比例求出P点坐标【详解】（1）略（2）略 用两点间的距离

28、公式分别计算出CD2 CF2 FD2的长，再由勾股定理判定（3）因为CFD固定（）CFDOPQ （FDC=Q,FCD=PCQ）（）CFDQPO （FDC=POQ,FCD=Q）当（i）FDC=POQ RtCFDRtQPO设P点的坐标为（x,x2）= = P(2,1)(ii) FDC=POQ RtCFDRtOPQ=2 P(8,16)先把H点分为，在QB上和上OQ上两种情况确在哪上面之后再用上面的方法，按锐角相等分两种情况解题。【变型训练】1、已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A、B两点，交轴于点C，且对称轴为直线（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是轴上的一个动点

29、，探究：如图是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtAOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由 【思路导航】（1）先判断以AD为斜边的直角三角形的直角顶点是否在y轴上（2）分别以点A、为D直角顶点，用角的正切值相等来判别两三角形相似 2、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）C（0，-3），直线与BC边相交于点D.（1）求点D的坐标（2）若抛物线经过点A，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线中的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与OCD相似，求符合条件的点P的坐标【思路导航】（1）先设

30、点的坐标（2）用角的正切值相等来判别两三角形相似3、如图，抛物线经过三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；OxyABC41（第26题图） 【思路导航】先根据在抛物线上的位置，分为两种情况，在轴上方、在轴下方。再仿照前面的例题解，一、 知识框架回顾yOxCNBPMA（1）解直角三角形常用知识勾股定理：C2=a2+b2三角函数正弦余弦正切（2）二次函数及其图像（A） 解析式的确定 三点式 顶点式 交点式（B）函数图象及其性质 a 、b 、c的符号与图像

31、的关系 图像的增、减性 图像的对称性（）二次函数与二次方程的关系（）、补充运用解析法计算线段的长（） 一般步骤 设动点坐标 注意线段的长为正，概括为（右减左，上减下）（）补充了两点间的距离公式 在数轴上的两点间的距离公式 在平面上的两点间的距离公式（）补充中点坐标公式（）、补充铅垂高定理（）动点题-存在性问题（三角形，四边形）二、题型回顾【典题举例1】、已知点P（1，m）和Q（5，n）分别是抛物线y=(x-h)2-3上的两个点，当抛物线的顶点D沿着直线y=-3从左到右平移，问：(1) 当h为何值时m=n(2) 当h为何值时m>n 当h为何值时m<n【思路点拨】 图像的平移情况等同于顶点的平移情况，顶点D沿着直线y=-3从左到右平移，图像也是沿着直线y=-3从左到右平移。 根据抛物线的对称性，只有当点P、Q的横坐标到对称轴的距离相等时，才有m=n 自己完成后面的问题【典题举例2】如图已知直线L的表达式为y=-x+8，且与x轴y轴相较于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2各单位长度的速度向点A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1 各单位长度向点O移动，设点Q、P移动的时间为t，(1)求：A、B两