二次函数与一元二次方程的关系

1、一、情景导入一、情景导入 小唐画小唐画y=xy=x2 2-6x+c-6x+c的图象时，发现其的图象时，发现其顶点在顶点在x x轴上，请你帮小唐确字母轴上，请你帮小唐确字母c c的值的值是多少吗？是多少吗？问题：求二次函数图象问题：求二次函数图象y=xy=x2 2-3x+2-3x+2与与x x轴的交点轴的交点A A、B B的坐标的坐标. .解：解：A A、B B在在x x轴上，轴上，它们的纵坐标为它们的纵坐标为0 0， 令令y=0y=0，则，则x x2 2-3x+2=0-3x+2=0 解得：解得：x x1 1=1=1，x x2 2=2=2； A A（1 1，0 0） ， B B（2 2，0 0）

2、你发现方程你发现方程 的解的解x x1 1、x x2 2与与A A、B B的坐标有的坐标有什么联系？什么联系？x x2 2-3x+2=0-3x+2=0二、合作探究二、合作探究探究点探究点 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程结论结论1 1：方程方程x x2 2-3x+2=0-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=y=x x2 2-3x+2-3x+2与与x x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标. .因此，抛物线与一元二次因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的方程是有密切联系的. .即：若一元二次方程即：若一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两个根是的两个

3、根是x x1 1、x x2 2， 则抛物线则抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴的两个轴的两个交点坐标分别是交点坐标分别是A A（ ），）， B B（ ）x x1 1，0 0 x x2 2，0 0 x xOO A AB By yzxxkw知识要点知识要点问题：抛物线与问题：抛物线与x x轴的公共点个数能不能用一元二次方轴的公共点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？程的知识来说明呢？OOx xy y与与x x轴的公轴的公共点个数共点个数一元二次方一元二次方程根的个数程根的个数2 2个个2 2个不等根个不等根b b2 2-4ac-4ac0 01 1个个2 2个等个等根根

4、0 0个个0 0个个b b2 2-4ac-4ac0 0b b2 2-4ac=0-4ac=0一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴有两个公共点轴有两个公共点抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明：抛物线抛物线y=ax

5、y=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴有唯一公共点轴有唯一公共点抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴没有公共点轴没有公共点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0没有实数根没有实数根 1 1、b b2 2-4ac-4ac0 0 2 2、 b b2 2-4ac-4ac =0 =0 3 3、 b b2 2-4ac-4ac 0 0 知识要点知识要点 1 1、下列各抛物线与、下列各抛物线与x x轴是否有公共点，如果轴是否有公共点，如果有，求出公共点的坐标有，求出公共点的坐标. .（1 1）y=6xy=6x2 2-2x+1 -2x+1 （2

6、 2）y=-15xy=-15x2 2+14x+8+14x+8（3 3）y=xy=x2 2-4x+4-4x+4关键关键: :令令y=0y=0时时, ,看看b b2 2-4ac-4ac. .三、典例精析三、典例精析2 2、已知抛物线、已知抛物线y=xy=x2 2-6x+a-6x+a的顶点在的顶点在x x轴上，则轴上，则a=a= ；若抛物线与；若抛物线与x x轴有两个交点，则轴有两个交点，则a a的范围是的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则公共点，则a=a= ；顶点在顶点在x x轴上轴上b b2 2-4ac=0-4ac=0与与x x轴有两个交点轴有两个交点方程有两个方

7、程有两个不等不等实根实根xyo2400bacc2400bacc9 9a9a0.y0.x x 时，时，y y0.0.-4x3-4x0y0？（3 3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移, ,才能使它与才能使它与坐标轴坐标轴仅有仅有两个交点两个交点, ,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式的解析式. .xyoABDC-15-2.5y= (x+1)(x-5)y= (x+1)(x-5)21= (x-2)= (x-2)2 2- -2129xyoABDC-15-2.5 5 5： 已知已知: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1 1）

8、求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）当）当x x取何值时，取何值时，y0y0？（3 3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移, ,才能使它与才能使它与坐标轴坐标轴仅有仅有两个交点两个交点, ,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式的解析式. .y= (x+1)(x-5)y= (x+1)(x-5)21= (x-2)= (x-2)2 2- -2129xyoABDC-15-2.5 5 5、 已知已知: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）当）当x x取何值

9、时，取何值时，y0y0？（3 3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移, ,才能使它与才能使它与坐标轴坐标轴仅有仅有两个交点两个交点, ,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式的解析式. .y= (x+1)(x-5)y= (x+1)(x-5)21= (x-2)= (x-2)2 2- -2129xyoABDC-15-2.5 5 5： 已知已知: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）当）当x x取何值时，取何值时，y0y0？（3 3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样

10、的一次平移平移, ,才能使它与才能使它与坐标轴坐标轴仅有仅有两个交点两个交点, ,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式的解析式. .y= (x+1)(x-5)y= (x+1)(x-5)21= (x-2)= (x-2)2 2- -2129zxxkw1 1、若一元二次方程、若一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两个根是的两个根是x x1 1、x x2 2， 则抛物线则抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴的两个交点坐轴的两个交点坐标分别是标分别是A A（x x1 1，0 0 ），）， B B（ x x2 2，0 0 ）2 2、若一元二次方程、若一元二次方程a