第八章第2讲知能训练轻松闯关

1、1若直线 l1：ax2y60 与直线 l2：x(a1)ya210 垂直，则实数 a()A.23B1C2D1 或 2解析：选 A.由 a1(a1)20，a23.2直线 l1的斜率为 2，l1l2，直线 l2过点(1，1)且与 y 轴交于点 P，则 P 点坐标为()A(3，0)B(3，0)C(0，3)D(0，3)解析：选 D.l1l2，且 l1的斜率为 2，l2的斜率为 2.又 l2过点(1，1)，l2的方程为 y12(x1)，整理即得：y2x3，令 x0，得 y3，P 点坐标为(0，3)3(2015广州模拟)直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy3

2、0Dx2y30解析：选 D.由题意得直线 x2y10 与直线 x1 的交点坐标为(1，1)又直线 x2y10 上的点(1，0)关于直线 x1 的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得y010 x313，即 x2y30.4已知过点 A(2，m)和点 B(m，4)的直线为 l1，直线 2xy10 为 l2，直线 xny10 为 l3.若 l1l2，l2l3，则实数 mn 的值为()A10B2C0D8解析：选 A.l1l2，kAB4mm22.解得 m8.又l2l3，1n(2)1，解得 n2，mn10.5若向量 a(k2，1)与向量 b(b，1)共线，则直线 ykxb 必经过定点()A(1，2

3、)B(1，2)C(1，2)D(1，2)解析：选 A.因为向量 a(k2，1)与向量 b(b，1)共线，则 k2b，即 b2k，于是直线方程化为 ykxk2，即 y2k(x1)，故直线必过定点(1，2)6(2015昆明三中、玉溪一中统考)已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2xy0 和 xay0 上，且线段 AB 的中点为 P(0，10a)，则线段 AB 的长为_解析：依题意，a2，P(0，5)，设 A(x，2x)、B(2y，y)，故x2y02xy10，则 A(4，8)、B(4，2)，|AB| （44）2（82）210.答案：107 已知直线l1与l2： xy10平行， 且l1与l2的距

4、离是 2， 则直线l1的方程为_解析：因为 l1与 l2：xy10 平行，所以可设 l1的方程为 xyb0(b1)又因为 l1与 l2的距离是 2，所以|b1|1212 2，解得 b1 或 b3，即 l1的方程为 xy10 或 xy30.答案：xy10 或 xy308设直线 l 经过点 A(1，1)，则当点 B(2，1)与直线 l 的距离最远时，直线 l 的方程为_解析：设点 B(2，1)到直线 l 的距离为 d，当 d|AB|时取得最大值，此时直线 l 垂直于直线 AB，kl1kAB32，直线 l 的方程为 y132(x1)，即 3x2y50.答案：3x2y509已知两直线 l1：axby4

5、0 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值(1)l1l2，且直线 l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)l1l2，a(a1)b0.又直线 l1过点(3，1)，3ab40.故 a2，b2.(2)直线 l2的斜率存在，l1l2，直线 l1的斜率存在k1k2，即ab1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb.故 a2，b2 或 a23，b2.10已知直线 l：3xy30，求：(1)点 P(4，5)关于直线 l 的对称点；(2)直线 xy20 关于直线 l 对称的直线方程解：设 P(x，y)关于直

6、线 l：3xy30 的对称点为 P(x，y)kPPkl1，即yyxx31.又 PP的中点在直线 3xy30 上，3xx2yy230.由得x4x3y95y3x4y35.(1)把 x4，y5 代入，得 x2，y7，P(4，5)关于直线 l 的对称点 P的坐标为(2，7)(2)用分别代换 xy20 中的 x， y， 得关于直线 l 对称的直线方程为4x3y953x4y3520，化简得 7xy220.1若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M到原点的距离的最小值为()A3 2B2 2C3 3D4 2解析：选 A.依题意知，AB 的中点 M 的集合为与

7、直线 l1：xy70 和 l2：xy50距离相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点 M 所在直线的方程为 l：xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|2|m5|2|m7|m5|m6，即 l：xy60，根据点到直线的距离公式，得中点 M 到原点的距离的最小值为|6|23 2.2(2015洛阳统考)已知点 P(x0，y0)是直线 l：AxByC0 外一点，则方程 AxByC(Ax0By0C)0 表示()A过点 P 且与 l 垂直的直线B过点 P 且与 l 平行的直线C不过点 P 且与 l 垂直的直线D不过点 P 且与 l 平行的直线解析：选 D.因为点 P(x0，y0)

8、不在直线 AxByC0 上，所以 Ax0By0C0，所以直线 AxByC(Ax0By0C)0 不经过点 P，排除 A、B；又直线 AxByC(Ax0By0C)0 与直线 l：AxByC0 平行，排除 C，故选 D.3已知点 A(1，3)关于直线 ykxb 对称的点是 B(2，1)，则直线 ykxb 在 x 轴上的截距是_解析：由题意得线段 AB 的中点(12，2)在直线 ykxb 上，故3112k12k（12）b，解得 k32，b54，所以直线方程为 y32x54.令 y0，即32x540，解得 x56，故直线ykxb 在 x 轴上的截距为56.答案：564已知平面上三条直线 x2y10，x1

9、0，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数 k 的所有取值为_解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时 k0或 2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时 k1，故实数 k 的所有取值为 0，1，2.答案：0，1，25已知直线 l1：xa2y10 和直线 l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若 l1l2，求 b 的取值范围；(2)若 l1l2，求|ab|的最小值解：(1)因为 l1l2，所以b(a21)a20，即 ba2(a21)a4a2(a212)214，因为 a20，所以 b0.又因为 a213，所以 b6.故 b 的取值范围是(，6)(6，0(2)因为 l1l2，所以(a21)a2b0，显然 a0，所以 aba1a，|ab|a1a|2，当且仅当 a1 时等号成立，因此|ab|的最小值为 2.6(选做题)A，B 两个工厂距一条河分别为 400 m 和 100 m，A，B 两工厂之间距离 500m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供 A，B 两工厂用水，要使供水站到 A，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为 x 轴，过点 A 的垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则点 A(0，400)，点 B(a，100)过点 B 作 BCAO 于点 C.在ABC 中，AB500