二次函数和几何图形综合

1、1 / 7二次函数与几何图形综合类型 1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上一点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求 出线段长度、三角形面积.I针对训练I1.（牡丹江中考）如图，抛物线 y = ax2+ 2x+ c 经过点 A（0，3），B（- 1，0），请回答下列问题:（1）求抛物线的解析式；抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 E,连接 BD，求 BD 的长.212二次函数 y 二x2+ mx + n 的图象经过点 A（ 1，4），B（1，0），y= x+ b

2、 经过点 B，且 与二次函数 y= x2+ mx + n 交于点 D.（1）求二次函数的表达式；点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 BD 上方），过 N 作 NP 丄 x 轴，垂足为点 P,交 BD 于 点M，求 MN 的最大值.3.如图，抛物线经过 A（4，0），B（1，0），C（0， 2）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标.2 / 73 / 7类型 2 二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造 “线段之和最短”问题解决，如果两条线段没 有公共端点，那么需要通过平移将两

3、条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短问题解决.4.如图，已知抛物线 y=2(x + 2)(x 4)与 x 轴交于点A B(点 A 位于点 B 的左侧)，与 y8轴交于点 C, M 为抛物线的顶点.(1)求点 A、B、C 的坐标；设动点 N( 2，n)，求使 MWBN 的值最小时 n 的值.15.如图，已知抛物线 y = m(x + 2)(x m)(m0)与 x 轴相交于点 A，B,与 y 轴相交于点 C,且点 A 在点 B 的左侧.(1) 若抛物线过点 G(2, 2)，求实数 m 的值；(2) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点6 .如图，抛物线 y= 1x2+ bx + c

4、 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C,且OA= 2, OG= 3.(1) 求抛物线的解析式.(2) 点 D(2 , 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使得 BDP 的周长最小,若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.H,使 A 卅 CH 最小，并求出点 H 的坐标.:I4 / 77.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 勺边 0A 在 y 轴的正半轴上，0C 在 x 轴的正半轴上，/ AOC 勺42平分线交 AB 于点 D, E 为 BC 的中点，已知 A(0, 4) , C(5, 0)，二次函数 y = x2+ bx + c 的图象抛物

5、线经5过 A, C 两点.(1) 求该二次函数的表达式；(2) F , G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 D, E, F, G 构成四边形 DEFG 求四边形 DEFG 周长的 最小值.5 / 78如图，抛物线 尸 x2+ bx + c 经过点 A( 1, 0), B(3, 0)请解答下列问题: (1)求抛物线的解析式；点 E(2, m)在抛物线上，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，点 F 是 AE 中点，连接 FH, 求线段 FH 的长.1! 1V419.如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+(2k-1)x+k+1 的图象与 x 轴相交于 0、A 两点.(1) 求

6、这个二次函数的解析式；(2) 在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使 AOB 的面积等于 6,求点 B 的坐标;(3) 对于(2)中的点 B,在此抛物线上是否存在点 P,使/ POB=90 ?若存在，求出点 P 的坐 标，并求出厶 POB 的面积；若不存在，请说明理由.6 / 7参考答案2c 3,a 1,1. (1)V抛物线 y ax1 2+2X+ c 经过点 A(0 , 3), B( 1, 0)，:解得二i0 a 2+ c.lc 3.抛物线的解析式为 y x2+2X+3. vy X2+2X+ 3 (X 1)2+ 4，二抛物线的顶点坐标为(1 , 4).二 BE 2 , DE 4.二 B

7、D BE2+ DE2 2 5.o4 1 m + n ,2. (1)v二次函数 y X2+ mx+ n 的图象经过点 A( 1 , 4) , B(1 , 0)，解10 1+ m+ n.m 一 2 ,2得*二二次函数的表达式为 y X 2X+ 3.小=3.1 1 1 1 1 1 1(2)vy X+ b 经过点 B, 2X1+ b 0.解得 bp.： y 尹 + 勿设 M(m ,尹+引,22112353249则 N(m , m 2m+ 3) ,MN m 2m+ 3 (m + ) 一 m m +一一(m+玄)+MN 的最大值为 49.3.(1)v该抛物线过点 C(0 , 2),设该抛物线的解析式为 y

8、 ax2+ bx 2.将 A(4 , 0) , B(1, 0)设 D 点的横坐标为 t(0t4),则 D 点的纵坐标为一 2 + |t 2 过 D 作 y 轴的平行线交 AC1115于 E.由题意可求得直线 AC 的解析式为 y X 2.： E 点的坐标为(t ,空2).DE彳2+2 t 2 (夕2) 2+ 2t.SADCA qX( 2 + 2t)X4 1?+ 4t (t 2+ 4.当 t 2时, DCA 面积最大.D(2 , 1).y2L4.(1)令 y 0，得 8(x +2)(X 4) 0,解得 X1 2 , X2 4;令X0，得 y 2.：A( 2 ,0)、B(4, 0)、C(0, .2

9、).(2)过点 A( 2, 0)作 y 轴的平行线 I，则点 B 关于 I 的对称点 B 8, 0),又 M(1 ,代入，得16a+ 4b 2 0 ,Q+b 20.解得1a 2 ,5b.此抛物线的解析式为y- *2+5X2.7 / 7连接 BM与 I 的交点即为使 MN + BN 值最小的点设直线 BM的解析式为 y= kx + b,贝U0 8k+ b,8 芒-k + b,解得k-82b V2.二 y 8,2X .2.A当 X 2时,8 / 71 1Tm= 4，二 y = 4(x + 2)(x 4).令 y= 0, jx + 2)(x 4)= 0,解得 xi= 2, X2= 4则2+ 4A(

10、2, 0), B(4,0).A抛物线对称轴为直线 I: x =厂 =1令 x = 0,则 y= 2,所以 C(0,2).TB 点与 A 点关于对称轴对称，二连接 BC, BC 与直线 I 的交点便为所求点 H.vB(4, 0),133C(0, 2),二求得线段 BC 所在直线为 y = qx + 2.当 x= 1 时，y=Q,： H(1 ,).c= 3,lb = 3,6.(1)由已知条件得 A( 2,0), C(0, 3),代入二次函数解析式，得*“ 门解得$22 2b+ C= 0.I小lc= 3.抛物线的解析式为 y= 2x2+ 2x+ 3.连接 AD，交对称轴于点 P,则 P 为所求的点.

11、设直线 AD 的解析式为y= kx +1.由已知得1b 1直线 AD 的解析式为 y = x +1.T对称轴为直线 x=名=2,将x=2 代入 y 二 2x+1,得 y=4.二 p(2 4).427.(1)将 A(0 , 4)、C(5, 0)代入二次函数 y = gx + bx + c,得二次函数的表达式为 y=gx224x + 4.延长 EC 至 E,使 ECEC,延长 DA 至 D,使 DA=DA，连接 D E交 x 轴于 F 点，交 y 轴于 G 点，GD = GD , EF= E , (DG + GF+ EF+ ED)最小二 D 科 DE，由 E(5, 2), D(4, 4),得 D

12、( 4 , 4) ,E(5 , 2).由勾股定理，得 DE = 22+ 12二 5 , D E 二/ (5+ 4)2+( 4 + 2)2= 3,13, (DG + GF+ EF+ ED)最小=D E+DE= 3,13+ ,5.T点 E(2, m)在抛物线上， m = 4 4 3 = 3. E(2 , 3) BE = . (3 2)2+( 0+ 3)2= , 10.T点 1VT0F 是 AE 中点，抛物线的对称轴与x 轴交于点 H , H 是 AB 中点， FH = BE =亠厂.9、.(1)T函数的图象与 x 轴相交于 O,： 0=k+1 , k=-1,二次函数的解析式为y=x2-3x.假设存在点 B,过点 B 作 BD 丄 x 轴于点 D.1AOB 的面积等于 6,. AO - BD=6.2当 y=0 时，x(x-3)=0.解得 x=0 或 3. AO=3.： BD=4, 即卩 4=x -3x.解得 x=4 或 x=-1(舍去).2k+1 = 0,2k +1= 2.解得k=1t= 1.20+5b+c=0,Q 4,解得b=-24故c= 4.8.(1)T抛物线 y= x2+ bx + c 经过点 A( 1, 0),B(3, 0),1 b+ c= 0,9 + 3b + c= 0.解得=2,_c= 3.9 / 7又T顶点坐标为(1.5, -2.25), 2.25V4,. x 轴下