第一章集合与简易逻辑(教案)

1、24 高中数学第一册（上）第一章 集合与简易逻辑教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆【数学思想】1等价转化的数学思想；2求补集的思想； 3分类思想； 4数形结合思想【解题规律】1 如何解决与集合的运算有关的问题？1） 对所给的集合进行尽可能的化简；2） 有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3） 有意识运用

2、数轴或其它方法来直观显示各集合的元素2 如何解决与简易逻辑有关的问题？1） 力求寻找构成此复合命题的简单命题；2） 利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。1、 分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、 要解决问题，也需要集合与逻辑的知识在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了§1.1集合教学目的通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；

3、 (2)初步了解“属于”关系的意义； (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点与难点本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单的集合教学过程本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子1、 集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一13，所有大于2的实数都是它的解我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等

4、式的解集在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合几何图形都可以看成点的集合一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集这句话，只是对集合概念的描述性说明集合则是集合论中原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识 例如， “我校篮球队的队员”组成一个集合； “太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。大西洋，印度洋，北冰洋)为了方便起见，我们还经常用大写的拉丁字母表示集合例如，A太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，B1，2，3，4，5集合中的

5、每个对象叫做这个集合的元素例如，“地球上的四大洋”这一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋集合的元素常用小写的拉丁字母表示。2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：集合中的元素必须是确定的。这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定7。例如，给出集合(地球上的四大洋)，它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素其他对象都不是它的元素又如。 “我国的小河流”就不能组成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。集合中的元素是互异的。这就是说，集合中的元素是没有重复现象的，任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素集合中的元素是无序的。这就是说，集

6、合中的元素排列与顺序无关。3、常用的数集及其记法： 全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N或N； 全体整数的集合通常简称整数集，记作Z； 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q； 全体实数的集合通常简称实数集，记作R （教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意以下两点： (1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0； (2)非负整数集内排除0的集，表示成N或N。 新的国家标准定义自然数集N含元素O这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国 际标准，以便与之早日相

7、衔接；另一方面，o还是十进位数0，1，2，9中最小的数，有了0，减法运算aa仍属于N，其中aN）4、 集合的表示方法，常用的有列举法和描述法： 列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法例如，由方程10的所有的解组成的集合，可以表示为-1，1；又如，由所有大于0巳小于10的奇数组成的集合，可以表示为1，3，5，7，9。描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法例如，不等式x-32的解集可以表示为x Rx-32;（列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定）5、集合

8、的分类： 一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集 一般地，含有无限个元素的集合叫做无限集 不含任何一个元素的集合叫做空集记作。6、 素与集合之间的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aÏA(或aA) 例如，设B1，2，3，4，5，那么5B，8ÏB7、练习：P5与P6练习。P7习题1.1第1题、第2题的、。8、 小结：（略）。9、作业：P7习题1.1第2题的、。练习册：§1.1集合的内容。§12子集、全集、补集教学目的通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)了解集合的包含、相等关系的

9、意义； (2)理解子集、真子集的概念； (3)理解补集的概念； (4)了解全集的意义教学重点与难点本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。教学过程本小节分为两部分：第一部分讲子集，第二部分讲全集与补集第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出于集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质第二部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念1、子集的定义： 先看集合与集合之间的“包含”关系设A1，2，3， B1，2，3，4，5，集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含集合A。一般地，

10、对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AÍB(或BÊA)这时我们也说集合A是集合B的子集当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AÍB(或BÊA)规定：空集是任何集台的子集。也就是说，对于任何一个集合A，有ÍA。2、集合与集合的相等 ： 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素， 我们就说集合A等于集合B。记作 AB。3、真子集的定义： 对于两个集合A与B， 如果AÍB，并且A

11、B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AÍB(或BÊA)。（关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意；在开始接触子集与真子集的符号时，要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错）4、性质： AÍA（任何一个集台是它本身的子集）； 空集是任何非空集合的真子集； 对于集合A，B，C，如果AÍB，BÍC，那么AÍC同样可知，如果AÍB，BÍC，那么AÍC对于集合A，B，如果AÍB，同时BÊA，那么AB5、一些容易混淆的符号的区分： 与Í的区别：

12、是表示元素与集合之间关系的，因此，有1N， 1N等；Í是表示集合与集合之间关系的，因此，有NÍR，ÍR等 a与a的区别：一般地，a表示一个元素，而a表示只有一个元素的一个集合因此，有11,2,3,00,1Í1,2,3等，不能写成0=0,11,2,3 0与的区别：0是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，因此，有Í0，不能写成0、0 与的区别：是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，因此，有Í、Í、，不能写成6、补集和全集的定义： 一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AÍS)，由S中所有不属于A的元素

13、组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)。记作，即 xxS，且xÏA如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示例如在实数范围内讨论问题时，可以把实数集R看作全集。有理数集Q的补集Q是全体无理数的集合。 （关于补集，新的国家标准规定。与补集相关的概念是集合的差，教科书中没有这个概念集合A与集合B之差或集合A减集合B记作AB，即ABxxA，且xÏA 要注意，上式等号右边与补集定义中的式子类似，但意义不同在中，要求B是A的子集； AB中，B可以不是A的子集当B是A的子集的时候，也可以写成AB）7、 补集性质： CUU=，CU=U

14、，CU （CUA）=A。8、例题： 例 写出集合a、b、a、b、c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集并总结出集合中的元素个数与它的子集数、真子集数之间的关系。解：（略）。 例解不等式x-32，并把结果用集合表示 解： x5， 原不等式的解集是xx5 9、练习：P9与P10练习。P10习题1.2第1题、第2题。10、小结：（略）。11、作业：P10习题1.2第3题、第4题、第5题。练习册：§1.2集合的内容。 §13 交集、并集 教学目的通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)理解交集与并集的概念； (2)掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合

15、教学重点与难点本小节的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系习本小节，关键是要能达到会正确表示一些简单集合的目标教学过程本小节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质1、交集、并集的概念：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)，即AB且由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)，即AB或“xA或xB” 2、交集、并集的性质： AA=A，A=，AB=BA； AA=A，A=A，AB=BA； A

16、BÍAÍAB、ABÍAÍAB； A Í BÛ AB=AÛAB=B； CUAA=，CUAA=U； CU（AB）=（ CUA）（ CUB），CU（AB）=（ CUA）（ CUB）； A（B C）=（AB）（AC）；A（BC）=（AB）（AC）；3、 例题：例1、设Ax | x > -2，Bx | x < 3，求AB 解：ABx | x > -2 x | x < 3 x | -2 < x < 3（解决有数集的运算问题，往往借助数轴进行数形结合。） 例2、设Ax | x是等腰三角形，Bx | x是

17、直角三角，求AB 解：ABx | x是等腰三角形x | x是直角三角x | x是等腰直角三角形 例3、设A4，5，6，8，B3，5，7，8，求AB AB4，5，6，8，3，5，7，8=3，4，5，6，7，8。（ 集合中的元素是没有重复现象的，在两个集合的并集中，原两个集合的公共元素只能出现一次。） 例4、设Ax | x是锐角三角形，Bx | x是钝角三角形，求AB 解： AB x | x是锐角三角形x | x是钝角三角x | x是斜三角形。 例5、设Ax | -1x2，Bx | 1x3，求AB 解： ABx | -1x2x | 1x3x | -1x3。（解决有数集的运算问题，往往借助数轴进行数

18、形结合。）例6、设A(x，y) |y=4x +6，B(x，y) |y=5x3，求AB解： AB= (x，y) |y=4x +6(x，y) |y=5x3=(x，y) | (1，2) 。（本题中，(z，y)可以看作直线上的点的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解）例7、 已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求AB，AZ，BZ，AB，AZ，BZ。 解： AB奇数偶数， AZ奇数Z偶数=A， BZ偶数Z=偶数B， AB奇数偶数z， AZ=奇数Z=Z， BZ=偶数Z=Z。 （学习有关集合的初步知识，其目的主要在于应用具体地说，就是在学习其他知识时，能读懂其中的简单的集合概念和符号；在处理简单的实际问

19、题时，能根据需要，运用集合语言进行表述在安排训练时，要把握一定的分寸，不要搞偏题、怪题） 8、练习：P12与P13练习。P13习题1.3第1题第6题。9、小结：（略）。9、 作业：P13习题1.3第7题、第8题。练习册：§1.3 交集、并集的内容。§14 含绝对值的不等式解法教学目的通过本小节的学习，使学生达到掌握ax+bc与ax+bc (c0)型的不等式的解法教学重点与难点重点是xa与xa (a0)型的不等式的解法，关键是对绝对值意义的理解教学过程本小节首先由实际问题引出含绝对值的不等式，然后由易到难，顺次介绍了xa与xa (a0)型、ax+bc与ax+bc (c0)型的

20、不等式的解法本小节开始讲了一个有关商品质量的例子，这是为了说明含绝对值的不等式是解决实际问题所需要的，教学时，还可以适当补充学生熟悉的实例在学习含绝对值的不等式的解法时，可以先复习初中数学学过的不等式的三条基本性质： (1)如果ab，那么a+c b+c ； (2) 如果ab， c0，那么acbc； (3) 如果ab， cO，那么acbc 不等式的基本性质是解不等式的基础1、不等式xa (a0)解集是x axa； 不等式xa (a0)解集是x xa，或xa。（xa与xa (a0)型不等式的解法，教科书是从具体例子人手讲述的先考虑含绝对值的方程x2的解，由此出发，根据绝对值的意义，结合数轴表示，就

21、得到了含绝对值的不等式x2与x2的解。 对这个结论，应根据绝对值的意义，结合数轴表示进行讲解注意，从数轴上看，xa (a0)的解集是a与a之间的部分，xa (a0)的解集是a左侧与a右侧两部分。2、把不等式xa与xa (a0)中的x替换成ax+b，就可以得到ax+bc与ax+bc (c0)型的不等式的解法了在具体求解时，可以先直接在xa与xa (a0)型不等式的解集中进行替换，这时，原不等式化成了一元一次不等式，然后就可以根据不等式的基本性质求解 （教学时，要注意对cax+bc (c0) 型不等式的化简做必要的说明初学解这类不等式时，为了方便，如果所解ax+bc与ax+bc (c0)型的不等式

22、中的a是负数，可以先把a化成正数，例如要解不等式2 x 5，可以先把它变形成x 2 5，再求解（教学时，要注意控制教学要求本小节的练习、习题所解的不等式，只限于绝对值号内为一元一次的代数式，并且是数字系数，只在习题14的最后，编排了x a b (b>0)这样的简单的带有字母常数的题目3、例题：例1、解不等式x 5005。例2、解不等式2x +5>7。例3、解不等式x+x 25。（根据绝对值的定义，采用“零点区分法”。）4、练习：P16练习。P16习题1.4第1题、第2题、第3题。5、小结：（略）。6、作业：P16习题1.4第3题、第4题。练习册：§1.4含绝对值的不等式解

23、法的内容。§15 一元二次不等式的解法教学目的通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)掌握一元二次不等式的解法；(2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组s (3)了解简单的分式不等式的解法教学重点与难点重点是一元二次不等式的解法，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系教学过程本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法 1、

24、引入新课：首先利用一次函数的图象，讨论一无一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，进而导出一元一次不等式的解集这些基本内容学生都比较熟悉，但是，初中数学并没有专门讲述这种解法，安排这些内容，既可以复习、巩固初中的知识，也为接下来讨论二次的问题做了铺垫直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根，进一步，结合直线的位置，就可以确定对应的一元一次不等式的解集了2、通过一个具体实例，开始对一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间关系进行讨论的先给出二次函数y x 2 x6的对应值表与图象，然后，由对应值表与图象得出： 当x2，或x3时，y0，即x 2 x60； 当x2，或x3时，y0，

25、即x 2 x60； 当2x3时，y0，即x 2 x60教科书中不但给出了函数的图象，还给出了函数的对应值表，这是因为结合函数的对应值表才能确定函数的图象与x轴交点的坐标，进而确定对应的一元二次方程x2 x60的根要确定一元二次不等式x 2 x60与x2 x6 0的解集，既要考虑一元二次方程x2 x60的根，还要考虑抛物线的开口方向在讲本例时，可以只就本例的具体情形考虑，暂不讨论抛物线的开口向下类型的问题。3、结合图象指出，抛物线y = ax 2 + bx + c(a0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的判别式b 2 4 a c的三种取值情况

26、(0、0、0来确定因此，要分三种情况讨论，以寻求对应的一元二次不等式ax 2 + bx + c0与ax 2 + bx + c0 (a0)的解集在讨论了a0的情况以后，再提出a0的情况，由学生完成4、 可以结合例题，指出解一无二次不等式的步骤： 先把二次项系数化成正数； 解对应的一元二次方程； 根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集例1、解不等式2x 2 3x2 0；例2、解不等式3 x 2 + 6x 2；例3、解不等式4x 2 4x + 10；例4、解不等式x 2 + 2x 30。5、关于( xa ) ( xb ) 0、( xa ) ( xb ) 0 ( a b 型的不等式，

27、有简便的解法，由( xa ) ( xb ) = 0的根是a与b，结合“不等号的方向”可直接写出解集 教科书是为了介绍一种更一般的解法，即把二次或二次以上的不等式化成一次不等式组的方法一方面，这种解法可以为以后解比较复杂的不等式打基础；另一方面，这种方法也涉及了集合知识的应用6、对分式不等式的基本要求，仅限于可以化成一元二次不等式的类型在全章最后的复习参考题一的B组题中，有两个简单的、相当于三次不等式的小题，它们不属于基本要求，但可以用简便的方法求解7、练习：P20及P21练习。P21习题1.5第1题第4题。8、小结：（略）。9、作业：P22习题1.5第5题第8题。练习册：§1.5一元

28、二次不等式的解法的内容。集合的元素个数1本阅读材料介绍了有关集合的元素个数的初步概念及简单的性质编排这个阅读材料是为了扩页：11展学生的知识，提高学生的兴趣，在关于中学生数学课外活动的材料中，常常会遇到与之有关的问题2阅读这撂材料，可以与本章章头的引言结合起来顺便指出，由于章头引言的问题比较简单，不用有关集合元素个数的公式也可以处理（用文氏图），另外，复习参考题一的B组题的第1题，同样可以用有关集合元紊个数的公式§16逻辑联结词教学目的通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)了解含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成； (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。教学重

29、点与难点本小节的重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解教学过程初中数学中已经有了一些关于命题的初步知识，在此基础上，本小节首先由简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题真假的方法1、命题的定义：判断一件事情的句子，叫做命题（初中）可以判断真假的语句叫做命题（高中）虽然说法不同，但实质是一样的。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立不能判断真假的语句，就不能叫命题例如， “这是一棵大树”；“x2” 都不能叫命题由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假由于x是未知数，也不能判断“x2”是否

30、成立在教学时，不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式： p或q(记作“pq” )； p且q(记作“pq” )； 非p(记作“q” ) 。（开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起

31、来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同在进行命题教学时，要注意命题与开语句的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、“且”、“非”的例子时，容易把两者混淆）3、了解含有“或”、 “且”、 “非”的复合命题的构成，指的是：给一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题，能说出构成它的简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”；给出两个简单命题，能由它们构成含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题。4在讲述逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，可以适当联系集合与不等式的有关知识集合中的 “井”、“交”、“补

32、”，与逻辑联结词“或”、“且”、“非”密切相关。5对逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的理解，与判断复合命题真假分不开的逻辑中的“或”、 “且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，要直接讲清楚它们的意义，比较困难，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解6“或”、 “且”、 “非”的真值表先讲“非P”形式复合命题的真假，再讲“p且q”形式复合命题的真假，“P或q”形式复合命题的真假理解起来最困难，放后面讲。在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉

33、及简单命题的具体内容对于三个真值表，可做如下说明： (1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； (2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假； (3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真7在给出真值表之后，教科书又通过实例说明逻辑中的“或”与日常用语中的“或”的区别“苹果是长在树上或长在地里”这句话按真值表判断，其为真，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的。在教学中，应告诉学生逻辑中的“或”与日常用语中的“或”是不同的，可以结合教科书下面给出的两个日常生活中和“或”、“且”有关的例子，进一步体会学习逻辑联结词“或”、“且”的意义（为什么要学习逻

34、辑呢?一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，教科书中介绍的“或门电路”、“与门电路”就是两个在这方面应用的实例可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的让学生找出这样的例子，可以结合日常生活中电器的自动控制功能考虑，更可以充分发挥他们的想象力。由此，也就明确学习逻辑联结词“或”、“且”的意义了）8逻辑符号：“或”的符号是“”，例如“P或q”可以记作“P q”；“且”的符号是“”，例如，“P且g”可以记作“Pq”；“非”的符号是“”，例如，“非P”可以记作“P”（不增加学生负担，这部分没有使用这些符号，只是在后面讲否命题时，使用了符号“”）9、练习

35、：P26及P28练习。P29习题1.6第1题第4题。10、小结：（略）。11、作业：补充题（略）。练习册：§1.6一元二次不等式的解法的内容。§17 四种命题教学目的通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)初步理解四种命题及其关系； (2)初步掌握反证法教学重点与难点本小节的重点是四种命题的关系教学过程从初中数学的命题知识出发，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，介绍反证法教学时，要注意控制教学要求。本小节的内容，只涉及比较简单的命题，不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题。1、在初中数学中，只学习了原命题与逆命题的

36、初步知识，否命题与逆否命题已经从初中数学中删除了。否命题所用的符号“”，与过去不同。这么是新内国家标准规定了的符号“”叫做否定符号。 “P”表示P的否定；不是P；非P。2、逆命题、否命题与逆否命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件（或题设），那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做逆命题。如果第一个命题的条件和的结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论否定，那么这两个命题叫做互否命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做否命题。如果第一个命题的条件和的结论，分别是另一个命题的的结论的否定和条件

37、的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做逆否命题。即： (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题： (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题四种命题的形式：原命题：若P则q；逆命题：若q则p；否命题：若P则q；逆否命题：若q则p。3、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。4、反证法：（初中数学中有关反证法的内容，要求比

38、较低，并且基本没有涉及代数命题。到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授。 学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高。教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法。）反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。（对于反证法的概念，本小节未再给出，沿用初中的说法就可以了）。从逻辑角度看，命题“若P则q”的否定，是“P且非q”，由此进行推理，

39、如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若P则q”为真。像这样证明“若P则q”为真的证明方法，叫做反证法。 用反证法证明命题“若P则q”时，可能出现以下三种情况： (1)导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； (2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； (3)导出一个恒假命题。（考虑到教科书只安排了初步的逻辑知识，以上内容不必都向学生讲述）5、例题：例1、把下列命题写成“若P则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：负数的平方是正数；正方形的四条边相等。（解略）（例1中的第(1)小题，有两种解答，另一种解答如下：原命题可以写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数。逆命题：若一

40、个数是正数，则它是负数的平方。否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数。逆否命题：若个数不是正数，则它不是负数的平方。）例2、设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假。（解略）例3、用反证法证明：如果a>b>0，那么>。（解略）例4、用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。（解略）6、练习：P30、P32及P33练习。P33习题1.7第1题第4题。7、小结：（略）。8、作业：补充题（略）。P34习题1.7第5题。练习册：§1.7四种命题的内容。§18充分条件与

41、必要条件教学目的通过本小节的学习，使学生初步掌握充要条件。教学重点与难点本小节的重点与难点是关于充要条件的判断。教学过程本节首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识。学习本小节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系。本小节所讲的充分条件、必要条件与充要条件的知识，主要是与判断“若P则q”形式命题的真假相关的。本小节“若P则q”形式命题中的p与q，基本都是简单的，而不是复合的，即，一般不含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”，并且，p与q本身也不是“若P则q”的形式。1、符号“”叫做推断符号“pq”表示“若P则q”为真；也表示“p蕴含q”。“pq”

42、也可写为“qp”，有时也用“pq”。2、符号“”叫做等价符号。“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”。“pq”有时也用“pq”。3、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。例如： “两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件4、如果既有pq，又有qp，就记作pq，这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件。例如， “x是6的倍数”是“x是2的倍数”的充分而不必要的条件； “x是2的倍数”是“x是6的倍数”的必要而不充分的条件； “x既是2的倍数也是3的倍数”是“x是6

43、的倍数”的充要条件； “x是4的倍数”是“x是6的倍数”的既不充分也不必要的条件。5、例题：例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： (1)p：xy ；q：x2y2； (2)p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等；分析：可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断。（解略）例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)?（1）p：（x-2）（x-3）=0；q：x-2=0；（2）p：同位角相等；q：两直线平行；（3）p：x=3；q：x2=9；（4）p：四边形的对角线相等

44、；q：四边形是平行四边形。（解略）（数学上充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常用语中的“充分”、必要”意义相近不过，要推确理解它们，还是应该以数学定义为依据。教科书是结合实例给出充分条件、必要条件与充要条件的概念的，要掌握它们，主要还得通过对实例的考察和研究因此，对学生的要求，要有一个随着学习的深入，逐步提高的过程。在进行有关充分条件、必要条件与充要条件的判定时，既可能用到直接证法，也可能用到间接证法反证法就是一种间接证法，学习本小节，可以巩固上一节反证法的内容。）6、练习：P35、P36练习。P36习题1.8第1题第3题。7、小结：（略）。8、作业：补充题（略）。练习册：

45、67;1.8充分条件与必要条件。一、小结与复习1小结与复习分作三部分第一部分概括了本章所学的集合与简易逻辑的主要内容其中，有关集合的知识包括集合的基本概念、集合与集合的关系、不等式解法等；有关简易逻辑的知识包括逻辑联结词、四种命题、充要条件等第二部分分别提出了关于集合的五条学习要求和关于简易逻辑的三条学习要求，并指出了学习中需要注意的几个问题第三部分给出了两道参考例题。2复习集合的初步知识，可以从两方面入手，一方面是集合的有关概念之间的联系与区别；另一方面，也是更为主要的方面，是集合知识的应用。关于集合的概念，主要是把握集合与元素、集合与集合这两个关系，弄清有关的术语和符号关于集合知识的应用、

46、可以考虑下面几个内容： (1)本章章头引言中的例子，体现了可以利用集合语言表述问题，可以利用集合的思想、方法解决问题； (2)有关不等式的解法，既涉及交集、并集的概念，又涉及集合的表示； (3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”，是与集合中的“并”、“交”、“补”相关的，两者可以相互对照、相互说明，从而加深对双方的认识和理解。 (4)中学数学的其他内容及日常生活中的应用像代数中的方程与方程组的解集，几何中的点集，等等。3本章只学习了一些简易的逻辑知识，在复习时，主要是要抓住所学的几个知识点，通过对以前学过的数学知识的说明，及解决一些简单的问题，达到理解、掌握简易逻辑知识的目的例如，可以利用几何中

47、的主要定理复习四种命题及其关系；可以利用一无二次方程根的判别式的有关内客复习充要条件的知识，等等。二重点提示与例析（1）集合的表示法有哪几种？如何理解集合的特征性质描述法？【答案】 集合的表示法主要有：列举法（主要用在有限集）、描述法（主要用在无限集）、还有字母表示法（如：R，Z，Q，N，N+等）、图形表示法（如维恩图、数轴等）等； 用特征性质描述法表示集合的常用形式为，竖线前面的表示集合的特征元素，竖线后面的P指出元素所具有的公共属性，集合表示：1）集合A是由所有具有性质P的那些元素组成的；2）不具有性质P的元素一定不是A中的元素用下列例题检验是否理解和掌握了：例1 指出下列几个集合之间的区

48、别：；【解】集合A是由抛物线上的所有点的坐标组成的；集合B是由抛物线上的所有横、纵坐标都为整数的点的坐标组成的；集合C是由所有不小于2的实数组成的例2 若集合 ，则集合与的关系是：（A） （B） （C）（D） 【解】由集合的含义我们很容易用列举法将N写出来即为：，所以，故选（A）【评析】在看一个用特征性质描述法表示的集合时，我们首先应该注意集合的特征元素，看它是图形，坐标，还是数等等；其次我们再看它的特征性质，从而由特征性质来决定具体的元素（2）如何判断两个集合A与B是否相等？【答案】 两个集合相等是指这两个集合中所包含的元素完全相同；即：若且则A=B； 判断两个有限集是否相等，常用的方法是将

49、它们都用列举法表示出来，然后看它们的元素是否完全相同； 判断两个无穷集，是否相等，我们需要用逻辑的方法判断： 即：满足性质P的元素都满足性质q，即：满足性质q的元素都满足性质P用下面的例题检验是否理解和掌握了：例3 集合A=小于5的自然数，则下列各集合中与A相等的有（）（A）（B）（C） （D）（E）【答案】(A)，(B)，(D)，(E)【评析】 0是自然数；(在以前的教科书上，1是最小的自然数，但从现代数学的观点看，将0作为自然数要更合理一些，所以我们新的教材将0作为自然数提了出来，希望大家注意) 一个集合往往有多种不同的特征性质，在判断两个集合是否相等时，我们的注意力应放在特征性质所决定的

50、元素上，而不是特征性质本身 例4 若集合, 求证：A=B【证明】证明：1）证对任意的x属于A,x属于A存在着mZ，有x=2m1x=2m1=2(m1)+1存在着n=m1，有nZ，且x=2n+1xB，2）证对任意的x属于Bx属于B存在着nZ，有x=2n+1x=2n+1=2(n+1)1存在着m=n+1，有mZ，且x=2m1xA综上得A=B【评析】本题我们首先看到的是它们都表示奇数集，所以应该是相等的但这不能作为一个严谨的证明过程，对于两个无穷集合来说，我们没有办法用一一比较的方法来说明两个集合的元素完全相同，所能借用的只能是抽象的逻辑推理（3）元素、集合之间及集合与集合之间的关系：【答案】 元素与集合之间的关系用来表示； 两个集合之间的关系用来表示，用下面的例题来检验自己的掌握情况：例5 用符号“”填空：1) 0 N ，0 ， 0 0； 2) R， 0，Q Z；3) A= B=【答案】1） 0 N，0 ，0 0；2） R，0， Q Z；3） A= B=【评析】首先应看清各