五类抽象函数解法例说课件

1、五类抽象函数解法例说江苏省海安县中学吴跃年海安县立发中学解发圣文1把一类没有给出具体解析式的函数称之为抽象函数。由于抽象函数具 有一定的抽象性，其性质隐而不露，因而学生对抽象函数问题比较害怕。其实， 大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想 出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路。本文从这一认识出发，例谈五种 类型的抽象函数及其解法。1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例 1、已知函数 f (x)对任意实数 x，y，均有 f (x + y)= f (x)+ f

2、 (y)，且 当 x 0 时，f (x) 0，f (- 1)= 2，求 f (x)在区间2，1上的值域。分析：由题设可知，函数 f (x)是，： -:的抽象函数，因此求函数 f (x) 的值域，关键在于研究它的单调性。解.设孟0.当孟0 时(兀)0./(乃-孟)0:，即f (x)为增函数。在条件中，令 y 二一 x，贝j，再令 x= y= 0,则 f (O)= 2 f(0)，. f (0)= 0，故 f ( x)= f (x) ，f (x)为奇函数，.f (1)= f ( 1)= 2,又 f ( 2)= 2 f ( 1)= 4，.f (x)的值域为4, 2。例 2、已知函数 f (x)对任意-

3、 ，满足条件 f (x) + f (y)= 2 + f (x+y)，且当 x0 时，f (x)2, f (3)= 5,求不等式匕 f d的解。 分析：由题设条件可猜测：f (X)是 y= X+ 2 的抽象函数，且 f (X)为单调增 函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号， 从而可求得不等 式的解。解：设-，当汀： ，. 一-；.：则.- I -h：-1I - - -:1，即 f (X)为单调增函数。70=伦+D-/ff)+/Cl) - 2 = /Cl) + /Cl)- 2+ ) - 2 = 3/(1)-4，又.f(3)= 5，二 f (1)= 3。二严、打 d ：门二，.：/

4、_： 一 一： I，即-：-11，解得不等式的解为1 a 0。解：( 1)令0 代入1-，则，二/Wi-A0) = 0o若 f(x)= o,则对任意可空,有 e】)= /m)= o,这与 题设矛盾，. f (x)工0,. f (0)= 1 o(2) 令 y 二 x 工 0,则,;.，又由(1)知 f(x)工 0, .f (2x) 0,即 f (x) 0,故对任意 x, f (x) 0 恒成立。例 4、是否存在函数 f (x)，使下列三个条件：f (x) 0, x N；*：- - -=-;f (2)= 4。同时成立？若存在，求出 f (x)的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在r，

5、又由 f (2)= 4 可得 a= 2.故猜测存在函数1 2,用数学归纳法证明如下:(1) x= 1 时，一 ，又 x N 时，f (x) 0,二= 二&，结论正确。(2)假设一 丁时有HJ，则 x=k+1 时， X= k+ 1 时，结论正确。综上所述，x 为一切自然数时：o3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例 5、设 f (x)是定义在(0，+)上的单调增函数，满足于(&) = /(对+于 3), 70)=1，求：1(疋-2) 0_8 ，解之得：8vx 9。例 6 设函数 y = f (x)的反函数是 y= g (x)。如果 f (ab)

6、= f (a)+f (b), 那么 g (a+ b)=g (a) g (b)是否正确，试说明理由。分析：由题设条件可猜测 y = f (x)是对数函数的抽象函数，又Iy = f (x)的 反函数是y = g (x),.y = g (x)必为指数函数的抽象函数，于是猜想 g (a+ b) =g (a) g (b)1f (1)；2若 f (x)+ f (x 8) 2,求 x 的取值范围。分析：由题设可猜测 f (x)是对数函数f的抽象函数，f (1)二 0, f (9)=2o解:( 1)丄f (1)= 0o(2)【，从而有 f(x)+ f (x 8)0，a 是定义域中的一个数)；3当 Ovxv2a

7、 时，f (x)v0o试问：(1) f (x)的奇偶性如何？说明理由。(2)在(0，4a) 上, f (x)的单调性如何？说明理由分析：由题设知 f (x)是=- 的抽象函数，从而由；二一 及题设条件猜想：f (x)是奇函数且在(0, 4a) 上是增函数(这里把 a 看成进行猜想) 解：(1)vf (x)的定义域关于原点对称，且-是定义域中的数时有 f ( X)是奇函数(2)设 OvXiVX2V2a,贝UOvX2-XiV2a,v在(o,2a)上 f(x)v0,了(E)了(西)+1 f (Xi), f (X2), f (X2-Xi)均小于零，进而知中的八； ，于是 f (Xi)vf (X2),.

8、在(0, 2a) 上 f (X)是增函数f (2a)= 0,设 2avxv4a,贝UOvX 2av2a,了(，于是 f (X)0,即在(2a, 4a) 上 f(x) 0。设 2avxivX2V4a,贝UOvX2 xiv2a,从而知 f (Xi), f (X2)均大f (Xi)vf (X2)，即 f (X)在(2a, 4a)上也是增函数。综上所述，f (x)在 (0, 4a)上是增函数。5、幕函数型抽象函数幕函数型抽象函数，即由幕函数抽象而得到的函数。例 8、已知函数 f (x)对任意实数 x、y 都有 f (xy)= f (x) f (y)，且 f (i)= i, f (27)=9,当11-

9、1 时，一卩。畑他)+1_、I 在定义域中。力？(可乃)=了(耳一眄)+1/(Xj)-/(X2)-器帶f(a) = f(2a-d)又/(加)/(+1畑3Tf(a)=-1,/+1/-心)于零(X2Xi)v0,/(花)/() +1/佃)-y(码)畑)-亢巧)o，即(1)判断 f (x)的奇偶性；(2)判断 f(x)在0,+x)上的单调性，并给出证明;(3)若心 H 亠 I：丄；，求 a 的取值范围分析：由题设可知 f (x)是幕函数：的抽象函数，从而可猜想 f (x)是偶 函数，且在0,+)上是增函数。解：(1)令 y=1,则 f( x)=f(x) f(-i),vf(-i)=if ( x)= f (x), f (x)为偶函数。z0l