(完整word版)【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一.知识点总结1)O 是 ABC 的重心 OA Ob- OC 0 ；1一 一 ，一S BOC S AOC S AOB - S ABC ,若O是ABC的重心，则3 故OA OB OC 0；uuur . uur uur uuurPG 1(PA PB PC) G 为 ABC 的重心.2)O 是 abc 的垂心 Oa OB Ob Oc Oc Oa ；若。是 ABC (非直角三角形)的垂心，则S BOC ： S AOC ：

2、S AOB tan A - tan B - tan C故tan AOA tan BOB tan COC 0- 2 2 23) O 是 ABC 的外心 |OA| |OB| |OC|(或 OAOB OC)若O是ABC的外心则$ BOC： S AOC： S AOB sin BOC：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin2B : sin 2c故sin2AOA sin2BOB sin 2COC 04) O是内心OA (AB- |AB |ABC的充要条件是AC、 z BABC、 z CAr) OB () OC (AC|BA | |BC |CA | |CB |CB-) 0I. I. I.p

3、- *引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3,则刚才ABC内心的充要条件可以写成：OA （e1 e3） OB （e e?） OC e3） 0I，IO是 ABC内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC 0若 O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a： b ： c vrfrr»f故 aOAbOB cOC0或 sin AOAsin BOB sin COC0；uur uuruur uur uuuuu r|AB |PC| BC | PA | CA |PB 0 PABC 的内心；uuruuu向量（-ABL -AC

4、L）（0）所在直线过 ABC的内心（是BAC的角平分|AB| |AC|线所在直线）；二.范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点 PAB AC?两足OP OA（尸i=j） ,0, 则P点的轨迹一止通过 ABC的（AB AC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心ABuuiruuu umr解析：因为 空 是向量AB的单位向量设 AB与AC方向上的单位向量分别为ABOP OA AP ,则原式可化为 AP（e 62）,由菱形的基本性质知 AP平分 BAC ,那么在ABC 中，AP平分 BAC,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“

5、新颖、陌生”，首先产是什么？没见过！想想，一个非零 AB向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查 “垂心定理”例2. H是4ABC所在平面内任一点，ha HB HB HC HC HA 点H是4ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB , hA bc.故H是AABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是 ABC所在平面上一点，若

6、PAPB PB PC PCPA,则P是4ABC的（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0.即 PB （PA PC） 0,即PB Ca 0贝U PB CA,同理 PA BC, PC AB所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及 数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等 相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及 数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相 关知识巧妙结合。222222变式：若H为ABCff在平面内一点，且 HA BC HB CA HC AB则点H是 ABC的垂心 22证明： HA

7、HB2 2CA BC(HAHB)?BA (CA CB)?BA得(HA HB CA CB)?BA 0即(HC HC)? BA 0AB HC同理 AC HB , BC HA故H是ABC勺垂心（三）将平面向量与三角形重心结合考查例4.G是4ABC所在平面内一点,心.证明作图如右，图中GB GC GE连结 BE 和 CE,则 CE=GB , BE=GC 点，AD为BC边上的中线.“重心定理工Ga GB Gc=0 点 G 是4ABC 的重BGCE为平行四边形 D是BC的中将 GB GC GE 代入 GA Gb GC=0,得GA EG =0 GA GE 2GD ,故G是 ABC的重心.(反之亦然(证略)1

8、 (PA PB PC).3uuir i uur uun 贝 1 PO -(PA PB4uur uurPC PD).证明:uuirQ POuuur i uuuPO (PA41 uuu uur uuir -(PA PC) , PO 2uuu uuir uur PB PC PD) .1 uur (PB2UULTPD),点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则， 证法2运用了向量加法的平行四边形法则.（2）例5.P是4ABC所在平面内任一点.G是 ABC的重心pG证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA .G是 ABC的重心.GA GB GC =0 AG

9、BG CG =0,即 3PG PA PB PC由此可得pG 1(pA pB pc).(反之亦然(证略)3uuu uuu uuur r例6若O为 ABC内一点，OA OB OC 0 ,则O是 ABC的(A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 uuuuuu uuurr uuruuuruuu解析：由OAOB OC0得OBOCOA,如图以 OB OC为相邻两边构作平行四边形，则uur uuruuruuir1 uuurOB OCOD,由平行四边形性质知OE-OD ,OA 2 OE ,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识， 平行四边形的对角线互相平分及三角形重心

10、性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为-o本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形1 的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。uur uur uur变式：已知D, E, F分另I为ABC的边BC, AC, AB的中点.贝AD BE CF 0 .证明：3 -ADGA23 -BEGB23 CF-GC23AD BE CF 3(GA GB GC)2GA GB GC 0uur uur uuuAD BE CF 0 .变式引中：如图4,平行四边形ABCD的中心为O , P为该平面上任意一点,uuu uuu uur uult若P与O重合，则上式变 OA OB OC OD 0.（四）.

11、将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为ABC内一点,uuuOAuuuOBuurOC ,则O是ABC的(A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8.已知向量 OP1, OP2, op3满足条件曲+OP2+O工=0, |oP1 |=|oP2|=|OP31=1, 求证 APiP2P3是正三角形.(数学第一册(下)，复习参考题五B组第6题) 证明 由已知OP1+OP2=-OP3,两边平方得OP1 - OP2 =-,

12、21同理 0P2op3=op3 "=万， .|Pip2|=|p2P3 |=|P3P1 |二百，从而 PiP2P3是正三角形.反之，若点o是正三角形 pip2P3的中心，则显然有 函+0P2+0P3 =0且函|二|0P21二|0瓦|.即0是 ABC所在平面内一点，0P1+0P2 + 0P3 =0 且|0P1 |=|0P2 |=|0P | 点 o 是正 PiP2P3 的中心.例9.在4ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： Q G H三点共线, 且 QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(xi,0

13、 )、C(X2,y 2) , D E、F分别为AB BG AC的中点，则有：XiX x9 v 9x9 y 9D (j。)、E(7A V2)、F (芋 V2)由题设可设 Q(U,y3)、H (x2,V4),G(3A 也) 233uuuu AHuurBC (xuuuuQAHuur(X2,y4)QF2 Xi, y 2 ) uuir BCULUU UJLTAHy4iurQQFiur?BC x2(x2X2(X2 Xi)UULUAC uuury2QF ?AC/x2X2( 2y3X2(X2 Xi)2yUUUUQH(X 22Xi万,九uuir QGXi(七2x9 X1 (；i uuui =，QHXi2(x2X

14、i)7)V22y3)匕L v )2,2 y3)y2y40y 2y2j(2x 2 X i22x 2V 3)(3x2(x 2 xi)6y 23x2(x2 Xi)Xi6y 2i)-(632y2y2 X2(X232x 2 x i22yXi)23 uuur uur 即QH =3QG，故Q G H三点共线，且QG GH:i：3x 2 (x 2F2y2)Xi)【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向H著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心 心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一- 离是重心到外心距离的

15、2倍。“欧拉线”外心、重垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从 而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例10.若O、H分别是 ABC的外心和垂心.求证 OH Oa OB OC .证明 若4ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD, CD.AD AB , CD BC.又垂心为 H, AH BC , CH AB , .AH / CD, CH /AD,一四边形AHCD为平行四边形，AH DC DO OC, 故 OH Oa AH OA Ob OC .例

16、11.求证证明- 1 OG 1OH3按重心定理G是 ABC的重心OG-(OA OB OC) 3按垂心定理OH OA OB OC“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题设O、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.由此可得 OG 10H.3、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用例1: (2003年全国高考题)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足AB AC、0P OA (行尸1),AB AC0,则动点P的轨迹一定通过 ABC的(A)外心(C)重心(B)内心(D)垂心事实上如图设AEAB , AFABAC者B是单位向重AC)易知四边形AETF是菱形

17、故选答案B例2: (2005年北京市东城区高三模拟题)。为 ABC所在平面内一点，如果 OAOBOB OC OC OA,则O必为 ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实上OA OBOB OC (OA OC) OB 0 CA OB 0 OBLCA故选答案D例3:已知。为三角形ABC所在平面内一点，且满足|同园2厨2 CAOC2,则点O是三角形ABC的()uuurOHuuuOAuuurAHuuuOAuuuruuuuuuuuur故OHOAOBOC,所以muuuDC(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实上由条件可推出 OA OBOB OC OC OA故选答案D例4:设O是平面上

18、一定点,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP OAABAC),0,则动点P的轨迹一定通过 ABC的()(A)外心(B)事实上ABAB cosB2005AB cosBAC cosC内心(C)重心(D)垂心uuurOHuuu m(OA先解决该题:作直经BDAH BC故 AHCDuuur uuurDC OCAC )?BCAC cosC年全国(I )卷第uuurOB，连DA(BCBC)故选答案DABC的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,uuurOC),则实数uuuDC ,有 OBuuurOD , DA AB ,AB ,故 CH / DA ,是平行四边形，进而uuu uuur uuuOD

19、OC OBAH / DCUULTAHuuuDCDC BC评注：外心的向量表不可以完善为:若O为ABC的外心，H为垂心,uuurOHuuuOAuuuOBuuuOC 。其逆命题也成立。例6.已知向量 OP1 , OP2 , OP3 满足条件 OP1 +OP2 +OP3 =0, |OP1 | 二 |OP2 | 二 |OP3 | = 1 ,求证:证明: P1P2P3是正三角形.(数学第一册(下)，复习参考题五 B组第6题)1由已知OP1+OP2=-OP3 ,两边平方得 OP1 - OP2 =同理OP2-Op=Op3-OP1=1，|PP2|=|P2P3 |=|PK尸石，从而P1P2P3 是正三角形.反之

20、,若点 。是正三角形 P1P2P3的中心,则显然有 OPi +OP2 +OP3 =0 且|OPi |=|OP2 |二|OP3 |,即 O 是 ABC所在平面内一点,点O是正 P1P2P3的中心.OPi + OP2 +OP3 =0 且 |OP1 |二|OP2 |二| OP3 |四、练习uuu 1 1 uuu 1 uuiruuir1 .已知A、R C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC勺重心，动点P酒足OP=3(2OA+-OB +2OC),则点P一定为三角形ABQ( B)A AB边中线的中点B. AB边中线的三等分点(非重心)C重心D.AB边的中点LLU uur uuu分析：取AB边的中点M则O

21、A OB 2OM ,uul 1, 1 uur i uuu mruur ulul uuiu由 OP=a(5OA+OB+2OC)可得 30P 3OM 2MC , 3 22.Mur 2MC ,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。32.在同一个平面上有ABC及一点O满足关系式：OA2+BC2=OB2 的(D )uuu+ CA2 urrr 2 uuu 2=OC + AB ,则。为 ABCA.外心B.内心C.重心D.垂心3.已知 ABC的三个顶点A.外心B.内心., “一 uuu uuuA、B、C及平面内一点P满足：PA PBC.重心D.垂心uurPCr,一0,贝U P为ABC4

22、K C )4.已知O是平面上一定点uuin uuuOP OAA.外心A B、C是平面上不共线的三个点，动点uuu uur(AB AC),则P的轨迹一止通过 ABC(C )B.内心 C.重心 D.垂心P满足:5.已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且满足: 角形的(D )uuu uur uuruurPA? PC PA? PBuuu uuuPB?PO 0,贝U P 点为二A.外心B.内心 C.重心 D.垂心6.已知AABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a PA b PB形的(B )c?PC 0 ,则P点为三角A.外心B.内心C.重心D.垂心7.在三角形A.外心ABO,动点B.内心uuu 2P酒足：CAC.重心uru 2 unr uurCB 2AB?CP ,则 P点一止通过 ABC白(B )D.垂心uu