2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷,含答案)

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分 3至4页。满分150分。考试用时120分钟。考生注意：1 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。2 .答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。14参考公式：若事件 A, B互斥，则 P(A+B) =P(A)+P(B)若事件A, B相互独立,则 P(AB) =P(A)P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次独立重复试验中事件 A恰好

2、发生 k次的概率R(k)=cnpk(1p)n(k =0,1,2, |,n)台体的体积公式 V =(§ , S瓦- S2)h3其中S,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高柱体的体积公式V = Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式v=3Sh3其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S 二4 二 R2球的体积公式43V 二 R3其中R表示球的半径选择题部分(共40分)、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, A=1 , 3,则 

3、9;A=A. 0B. 1 , 322 双曲线x-y2=1的焦点坐标是 3A.(-夜，0),(艮 0)C. (0,-无)，(0,收)C. 2, 4, 5D. 1 , 2, 3, 4, 5B. (-2, 0) , (2 , 0)D. (0 , -2) ,(0,2)3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 84.复数2（i为虚数单位）的共轲复数是1 -iA. 1+iB. 1-iC -1+iD. -16.已知平面 a ,直线mj n满足 mz a , nu a ,则"m/ n"是"m/ a ”的A.充分不必

4、要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设0<p<1,随机变量E的分布列是012P1 -p12_P2则当p在(0, 1)内增大时，A. D ( E )减小B. D ( E )增大C. D ( E )先减小后增大D. D ( E )先增大后减小8 .已知四棱锥 S-ABCD勺底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设 SE与BC所成的角为0 1, SE与平面ABC所成的角为02,二面角SABC的平面角为0 3,则A. 0 100 3B. 0 3 00 1C. 0 1 0 3 0 2D. 0 2& 0 3 0 19 .已知a, b

5、, e是平面向量，e是单位向量.若非零向量 a与e的夹角为,向量b满足b2-4e b+3=0,3则| a- b|的最小值是A.3-1B. 3+1C. 2D. 2- . 310 .已知 a1,a2,a3,a4成等比数列，且 a +a? +a? +a4=ln(a1 +a2 +aa).若 a >1 ,则A.国 :二a3,a2 :二aB. a1 a3,a2 :二 a4C. a1 :二a3,a2a4D. a1a3,a2a4非选择题部分(共 110分)二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分。11 .我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡

6、母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几彳si? ”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x, y, z,x y z =100,贝U41 当 z =81 时， x =, y =.5x 3y z =100,3x -y -0,12 .若x,y满足约束条件2x+y <6,则z =x+3y的最小值是 ,最大值是 .x y -2,13 .在 ABCK角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=", b=2,A=60°,则 sinB=,c=.14 .二项式(改+工)8的展开式的常数项是.2xlx -4,x 一，15 .已知ICR,函数f(x)= 2 2，当入=2时

7、，不等式f ( x)<0的解集是.若函数lx2 - 4x 3,x :：'f(x)恰有2个零点，则 入的取值范围是 .16 .从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字，从0, 2, 4, 6中任取2个数字，一共可以组成 个没 有重复数字的四位数.(用数字作答)时，点B横坐17 .已知点P(0, 1),椭圆：x_+y2=mm>1)上两点A, B满足靠=2下B,则当m=4标的绝对值最大.三、解答题：本大题共 5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 .(本题满分14分)已知角 a的顶点与原点 O重合，始边与 X轴的非负半轴重合，它的终边过点P-4)(I )

8、求sin ( a +兀)的值;(n )若角 3满足sin ( a + 3 )=,求cos 3的值.1319 .(本题满分15分)如图，已知多面体 ABC/BC, AA, BB, CC均垂直于平面 ABC /ABG120。，AiA=4,CC=1, AB=BC=BB=2.A(I)证明：AB,平面ABC;(n)求直线 AG与平面ABB所成的角的正弦值.20 .(本题满分15分)已知等比数列an的公比q>1,且a3+a4+a5=28, a4+2是a3, a5的等差中项.数列bn满足b1 = 1 ,数列 (bn+1-bn) Hn的前n项和为2+5(I)求q的值；(n)求数列bn的通项公式.21 .

9、(本题满分15分)如图，已知点 P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线 C： y2=4x上存在不同的两点 A, B满足PA PB的中点均在C上.(I )设AB中点为M证明：PM帆直于y轴；2(n)若P是半椭圆x2+_y_=i(x<0)上的动点，求 PAB0积的取值范围.422 .(本题满分15分)已知函数f (x)= xx - ln x.(I)若 f(x)在 x=xi, x2(xi wx2)处导数相等,证明：f (xi)+f (x2)>8-8ln2 ;(n)若a<3-4ln2 ,证明：又行1任意 k>0,直线y=kx+a与曲线y=f (x)有唯一公共点.、选择题：本题考查

10、基本知识和基本运算。每小题参考答案4分，满分40分。1.C2.B3.C4.B5.D6.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题7.D8.D9.A10.B6分，单空题每题 4分,满分36分。11.8 ; 1112.-2; 813.且37 ，14.717.515. (1,4)；(1 ,3 |J(4,二)16.1260三、解答题：本大题共 5小题，共74分。18 .本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。344(I)由角 支的终边过点 p( ,)得sins , 555 4所以 sin(« + © = -sin a =.343(n)

11、由角 豆的终边过点 P(一一，一一)得cosot =-一，555.5-12由 sin(a + B)=不得 cos(a + B) = ±.由 P =(ot + P) _o(得 cos P =cos(ot + P )cosa +sin(a +P )sin a ,所以 cos - - -56或 cos -. 656519 .本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。方法一:(I)由 AB =2,AA =4,BBi =2,AA _L AB,BB _L AB 得 AB = AB1 =2行，222所以 A1B1ABi = A

12、A .故 AB1 AB.由 BC =2, BBi =2,Cg =1,BBi 1BC,CCi± BC 得 B1cl =75,由 AB =BC =2,/ABC =120 口得 AC =2卮由 CCi 1 AC ,得 AC1 =而，所以 AB2 + B1C12 = AC；,故 ABi _L BCi .因此ABi _L平面AB1C1 .(n )如图，过点Ci作CiD _L ABi ,交直线ABi于点D ,连结AD.3B由ABi _L平面ABiCi得平面ABiCi _L平面ABBi ,由 CiD _L ABi 得 CiD _L 平面 ABBi,所以ZCiAD是ACi与平面ABBi所成的角.由

13、BCi =75, AB1 =2拒,蛆1=72?得cos/CiAB =6，sin/GABi = J所以 CiD =73 ,故 sin NCiAD =CiD . 39ACi i3因此，直线ACi与平面ABBi所成的角的正弦值是 逅i3方法二:(I)如图，以AC的中点O为原点，分别以射线 OB OC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意知各点坐标如下:A(0, -V3,0), B(i,0,0), A (0, m,4), B (i,0,2), Ci(0,m,i),uuu _uuu_uuu_因此 ABi =(1,、.3,2), AB =(1,、,3,.2),ACi =(0,2 .3,

14、-3),uuu uuu由 AB1ABi =0 得 ABi _L ABi.uuu uuu由 AB1 AC1 =0得 ABi I ACi.所以ABi，平面ABiG.(n)设直线 ACi与平面ABBi所成的角为9.uuur _ uuu _ uuur由(l)可知 ACi =(0,2、.3,i),AB =(1，3,0), BB =(0,0,2),设平面ABBi的法向量n =(x, y,z).uuun AB = 0,由u uuu 即n BBi =0,J_x , 3 y = 0,2z =0,可取 n (_,3,i,0).uuur一 . uuul . IAC nl所以 sin 二-|cos:. ACi, n

15、.： | = uum|ACi|n|. 39i3因此，直线ACi与平面ABBi所成的角的正弦值是. 39i320 .本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分i5分。(I)由a4+2是a3, a5的等差中项得23+25=224+4,所以 a3 +a4 +a5 = 3a4 + 4 = 28 ,解得a4 =8.一 i、 一由 a3+a5 =20得 8(q+) =20 , q因为q >i ,所以q =2.(n )设cn =(bn书-bn)an ,数列cn前n项和为Sn.由Cn =Si, n =i, Sn -Sn.解得 Cn =4n _1. n -

16、2.由（I）可知an =2n所以bn书bn=(4n1)(2厂,，1故bn bn'=(4n5) (一)T,n 之2,2bn- bl- (bn- bn 1)(bn J_ bn _2 )I H(b3-b2)(b2-bl )= (4n -5) (1)n2 (4门-9)(。)心 | 7 1 3. 222一111 设 Tn =3 +7 - +11 (-)2+| + (4n -5) <-)n,n>2 , 2221111-Tn =3 - 7 (-)2 川 (4n-9)(-)2222所以 1Tn =3 4 1 4 (1)2 川 4 (22221 n 2因此 Tn =14 (4n +3)，(一

17、) ,n >2, 2n .21 n(4n -5)(二)2厂_(4n5)夕,又 1bl =1 ,所以 bn =15(4n +3)(占内221 .本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分 15分。(I)设 P(xo,y。)，A(1 y12,y1),412、B(4y2，y2)-因为PA,PB的中点在抛物线上，所以 y1，y2为方程(V yo '21 2 十22一 4 v %即y2 2yoy+8xo y0 =0的两个不同的实数根.一 42所以 yi + y2 = 2 yo.因此,pm垂直于y轴.-Lyi . y2 =

18、2yo,(n)由(i)可知2)42 =8x° - yo,所以1PM 尸孤2 +信-x0 4y2 -3x0，|yi 72 Lio) .因此,吨的面积& pabPMU尸哈yo-x/2因为 x2 + 血=1(x0 <0),所以 y2 -4xo =-4xo -4xo +4= 4,5. 4因此，zPAB面积的取值范围是6J2,里10. 41522.本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分分。(I )函数f (x)的导函数f (x)=由 f (xi) =f (x2)得111因为“土，所以西+反=2.1 一 由基本不等式得 2，为*2 =8 十席之23为中 .因为 x1 #x2 ,所以 xx2 >256 .由题意得f(x1) f(x2).x1 -Jn x1 -Jx2 -Jn x2Jxx2 ln(x1x2).1 设 g(x) - x ln x ,1则 g (x) =一 (Jx4),4x所以x(0, 16)16(16, +00