2020高考数学秒杀基本不等式中“1”的妙用

1、2020高考数学秒杀基本不等式中“1”的妙用一、考法解法命题特点分析此类.题目主妾特点是：1.两个变量是正实按使用基本不等式的前提r2,有一个代数式的值已知，求另一小代数或的最小值,其中两个代数式一个是差式大+如，一个是分式巴+ 2,当然会在此基硼上进行变形，A V*解息方法吞举主霎是凄出可以使用基本不等式的形式:型49的形式，乡敷情况下是 工 y让两个代数式相乘。二，典型题剖析保1： ( O已知kje". a + Zj1 = L求的最小值； x v17(2)已知Kyw/T,H+2y = 3,求上+上的最小值； m y(3)已知x,下口田"， + =2 P求6属+ 2j”的

2、最小值： x y( 1)已知工十),£/?* x + 2>j = X3 求# + 的最小值1【解析】这四个题目中，(1)是T的替换门的最基础题目，已知整式的值为I, 求分式的最小值，(2)是将已知标变成了 3,需要调节系数，(3)是已知分式的 值求整式的最值，(4)对分式进行等价变换"【答案】(1)-+- = (x-b2/X- + -) = 1 + + 24 = 9 x y x y y x当且仅当三二立即主=y = _L时取等号V .T3(2)十一=(x+ 2j，X十)=(14-+-4- 4)2 (5 + 24) = 3x y 3 x y 3 y x 3当且仅当生=殳

3、即*=，=!时取等号y x3当且仅岭T即心，警时取等号o1 7 Y 4v（4）因为、十2T二“、所以一十一二1.然后上十2），气了十2yX十一尸一十一-十428 y xy jc y x当且仅当二=业即x=2卜=4时取等号 y 了17例2： （1）已知了J£*，x + y=l,求-+的最小值；x + 1 j，3（2）已知xje*, x + y = l,求二十二的最小值；x+l y+112（3）已知xjw*, a + jJ = 1,求+的最小值： 2xy y+3（4）已知xjw*, 2x+3j = 1,求一!一十二一的最小值；X十y y+3【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）

4、是分式的分母分别加上一个 常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形：（2）在上 一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个 代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个 常数，而是混搭的形式；4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是 需要配凑一个系数，【答案】(1)整式变形成X+1+y + l = 3,12 I, 12、 1,1c y+3 2(/ + 1)、. 20万? +声啰2 +k3)( 77r声)=/2+告 + e)力亍当且仅当詈智取等号 £十£=卜+严-2("：)+。3二及

5、5寸=4"2十-!-十尸十1.2十工x+1 y+I j + 1j+1x + lj+1X+l V+I然后求当=此代数式£十卡的最小值 整式变形3 = 5,求代数式六十后最小值(4)假设分式变形为一-?尸，的形式,保证x的系数与y的系数之比 3 + >)My+ 3);7等于整式中拘系数之比、即_=二.>1=2/ ,二4=1,，=2,分式变形为 2十"3224- 2x+2y y+3整式变形为2x + 2y+y + 3 = 4.然后求一- 十，一的最小值。 2x+2y y + 3例3： Cl)已知xjeW. x + >? = 1.求'+ &

6、;的最小值； x y12(2>已知xw(O)g,求上十六的最小值；x It【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，(1)主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是二的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式, y所以对另一个分子替换；(2)中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分 母之和为定值。【解析】(1) _1 +三=±+2： +主=1+¥+空21 + 20当且仅当三=工时取等号 x y x y x yy x(2)因为x + (l - x)=l,然后求一+ ; 的最小值X 1-X三、达标与拓展1 .若正数、，y满足k + 3v = 5.w，则3x +

7、4y的最小值是()【解析】:正数上，y满足其，3了 = 5叶，.,.上+-=1,5x 5 v)4(31 Y. 4 9 4 12歹 3x、13 r ly 3x <qjv + 4v= + (»x + 4t) = + + >b2J-:=5 ,/ (5jt 5y/ 力 5 5 5x 5y 5 丫 3“ 5y当且仅当国二手时取等号即3.x + 4j的最小值是5【答案】C.巾 5y2 .已知xy均为正实数,且x+3y=2,则出上的最小值为【解析】试题分析；7+型盘 7 + 2庐.生.，=(x+ 3y 心 + $ T = 2 ¥ = ； +娓，x + 3y= 2 当且仅当，3

8、p lx = .X V等号成立,即等的最小值日+而3 .设若c是3,与卞的等比中项，则的最小值为()a bA. 8 B. 4 C. I D. 1 4【解析】因为&是于与手的等比中项，所以 +力=114.1=(l + lxz/+6) = 2 4-y + -2 + 2 = 4 【答案】B.abacb a4 .已知a>0, b > 0,a+力=1,则一-+ -的最小值是.2a+ b a 4-36【解析】令a + b=x (2a +/») + y (a +3b),解得x =彳，> 二二十: |"2(2a + b)中(a + 33)/h!、2a+b + 3b

9、 155(2o + b a + 3/>J3 。+3b 2(2a+b)>3 + 31 2(277? 3,2五一M , 5(2o + 1)+ 5(a + 3b)十 ”，5(204>/>). 5(a + 3/>) = -5当著J =即(a+3力=历2。十b)取等号.52a + b) 5( a + 3b)5 .已知实数x, y满足4/+V+3*y=l,则2工+y的最大值为.【解析】,实数k, 丁满足4/十/+3刈=1,4x2 + y2 +-4aj= l + .vy,.(2f=1+；.2”小+以),解关于2x + y的不等式可得2x + y«斗a,故答案为：半.6

10、 .已知q>0, b>0, a+26 = 1,则一?+一取到最小值为 317 + 463b【解析】试题分析：令o+26 =2(3。+ 4力+(+3。) = (3之+幺)。+(42+3)8,'IJ3；i" = l X = 547+3 = 2= 2j "玄+-TT = (+ 知 4 4b) + 38)|3a 十 4力 a±5b 3。+46 a3n 553lr2(a + 3A)3a+ 4532 /2("3b) 3"433 + 20'55 3。+ 48。+3355、3。+4b 。+ 3b 5a + 2b = 1当且仅当(2(

11、a + 3b) 30+4力时,等号成立，3 + 4b + 3b即一+一的最小值是史也.3a + 4b a + 3b57,已知正数为尸满足个W1.则M= J-+的最小值为1 +x 1 + 2v9【解析】A/ = (ri-+T"!;-)(l + x)+(l +2y)|之41+A l + 2v则 A/2,令,=2十工十2y y = -/-I , x)= x(-x + -r-1)< 12+* + 2y2222恒成立，由A£0得2-20工，42+20, M>->4-=272-22 + X+2, 2 近十 28.若正数五,以1满足3x+4p + 5=6,则 J+ 4上+2二的最小值为2y 4- z x 十 二 3*Y14y 十 2二16-3休+ z)16 ,【第析】 十+=-D2y+ r x +二 2y+r x + r 2y+= x +=令2y十二=。,工十二二8则 2(2)二)+ 3(+ 二)=3万 + 4)，+ 5二=2a+ 36 = 6 ,即 g + g = l,29 .已知%>0.y>0,且2 +土 =1,