2019上半年高等数学(2)问题答疑资料

1、高等数学2答疑材料我们罗列一些同学们易错的问题，这些问题也非常重要，是必考 题。第七章向量代数与空间解析几何1、向量的加减？答：简单来说就是横坐标加减横坐标，纵坐标加减纵坐标。已知 a=(1,3,4),b=(5,2,6)，则AB =(5,2,6) -(1,3,4) =(4,-1,2) AB = (1,3,4) (5,2,6) = (6,5,10) ).第八章、多元函数微分法及其应用在多元函数中大家问的多的首先是1、函数的偏导z = x44x2y2,求它的一阶，二阶偏导以及混合偏导。分析：那么应该是先对x求偏导，再对y求偏导数，根据公式有一一一 2N ，32二 z2cz2一=4x 8xy , 一

2、 =-8x y , -2 = 12x -8y2x二 y二x一 2.2-2- = -8x2,= -16xy:y；x :y 原则：对x求偏导的时候把y看做是常数，对y求偏导数的时候把x看做是常数, 二阶偏导数是在一阶偏导数的基础上继续求偏导得到的。2、连续，偏导，可微之间的关系是什么？答：同学们只需记住这几句总结的话：A.连续的函数不一定可导。B.可导的函数 是连续的函数。 C.越是高阶可导函数曲线越是光滑。 D.存在处处连续但处处 不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左 极限二右极(左右极限都存在)。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当 然可导是更高

3、一个层次。例：对于一元函数，可导等价于可微分，可导一定连续， 连续不一定可导，例如y=|x| ,在x=0时连续，但不可导。二元函数的二阶偏导 数有四个：fxx,fxy,fyx,fyy.注意：fxy与fyx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对 x求偏导.当fxy与fyx都连续时，求导的结果与先后次序无关，此时它们是相 等的。偏导数存在并且偏导数连续=可微=函数连续(这里的连续是指没求导的函数)偏导数存在并且偏导数连续=可微=喇导数存在以上所有关系倒推均不 成立。函数连续与偏导数存在之间谁也推不出谁。3、怎样判断奇函数和偶函数？|答：这个其实可以

4、根据奇函数和偶函数的性质来区分，如果对于函数定义域 内的任意一个x,者B有f(-x尸一f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。如果对于函数定义域内的任意一个x, f(-x)=-f(x) 与f(-x)=f(x) 都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。第九章、重积分1、如何计算二重积分、三重积分？答：不管是算二重积分还是三重积分我们都先要明白积分区域是什么，在二重积分中，根据条件画出积分区域，把二重积分逐步转化为一重积分， 得到最后的结 果。在三重积分中，先画出立体简图，找

5、出立体在某坐标面上的投影区域并画出 简图，确定另一积分变量的变化范围，选择一种次序 ，化三重积分为三次积分。192、计算一重积分I = JJ2xdxdy,其中区域D有曲线y=-,y = x及直线x = 2围成。DQ111x= (2x3-2)dx=-(16-1)-2(2-1) = 122在这一章中，大家一定要掌握二重积分的算法，必要的时候可以用对称性或者极 坐标来算二重积分，通过做练习题来巩固这些方法。第十二章、微分方程1、怎么学习微分方程答：首先理解好微分方程的基本概念，微分方程的定义，初始条件，微分方 程的阶通解和特解。一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程， 叫做

6、微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的、 叫做偏微分方程。微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶 数。微分方程不是称次，而是称阶。微分方程中最高阶导数的阶数就是微分方程的阶。如：y”+2y+xsinx*y=cosx,三阶微分方程。另外，还有一些其他重要的知识点，罗列如下：1.求方程x2+2y2=0所确定的隐函数y的导数型。；:x解：设 F(x, y) =x2+2y2，则 Fx=2x, Fy=4y ,由公式得:yFx2x x .x - Fy - 4y - 2yx_x2.用洛必达法则求lim e-e-的极限。x 0 x高等数学2答疑材料以下问题是同学们在

7、平时问到的，有些问题出现的次数比较多，有些问题不是考试重点只需要大家作为一般性的了解即可。下面我们将一一讨论大家所提及到的问题。第七章向量代数与空间解析几何2、什么是单位向量，向量平行，垂直，共线的条件是什么？答：长度为1的向量叫单位向量，单位向量的方向是任意的，所以单位向量不一 定相等。a,b垂直的充要条件是：a.b=0.a,b平行的充要条件是：a*b=0。向量既 有大小也有方向在计算的时候注意方向。3、空间中直线与平面的位置关系答：直线和直线的关系：（1）直线和直线平行；（2）直线和直线相交直线和平面有三种位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交； （3）直线与平面平行平面和平面

8、的关系：（1）平面和平面平行；（2）平面和平面相交 这一章同学们要掌握垂直、平行的充要条件，了解零向量，会简单的向量加减， 掌握切平面方程、法线的算法。第八章、多元函数微分法及其应用在多元函数中大家问的多的首先是4、什么多元函数，多元函数与一元函数的区别是什么？答：多元函数就是含有几个自变量，一元函数只含有一个自变量，在求偏导数的 时候它们的本质都是一样的，只是多元函数要稍微复杂一点而已。5、极值点、驻点、拐点的概念和计算？答：极值点：函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 拐点：一般的，设y=f（x ）在区间I上连续，x0是I的内点（除 端点外的I内的点）。如果

9、曲线y=f（x ）在经过点（x0,f（x0 ）时，曲线的凹 凸性改变了，那么就称点（x0,f（x0 ）为这曲线的拐点。 驻点：函数的一阶导 数为0的点称为函数的驻点，驻点可以划分函数的单调区间（驻点也称为稳定点， 临界点。）判断极值点的步骤：是求出一阶导数等于0的点（也就是驻点），和不可导 点，然后再判断在这些点左右邻近的情形，根据左右导数符号来判断是否为极值， 所以极值点不一定是驻点，驻点也不一定是极值点。只有知道函数在这一点是极 值且知道在这点可导时，才能得到这点一定是驻点。而拐点是通过求二阶导数等 于0和不存在的点，通过判断该点左右两侧邻近的符号来判断是否为拐点，如果知道是拐点，且二阶可

10、导，则二阶导数一定是等于 0,则根据判断极值的第二充 分条件，这点是不是极值点无法判定，因此拐点和极值点也没有必然联系。6、连续，偏导，可微之间的关系是什么？答：同学们只需记住这几句总结的话：A.连续的函数不一定可导。B.可导的函数 是连续的函数。 C.越是高阶可导函数曲线越是光滑。 D.存在处处连续但处处 不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左 极限二右极(左右极限都存在)。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当 然可导是更高一个层次。例：对于一元函数，可导等价于可微分，可导一定连续， 连续不一定可导，例如y=|x| ,在x=0时连续，但不可导。二

11、元函数的二阶偏导 数有四个：fxx , fxy , fyx , fyy.注意：fxy与fyx的区别在于：前者是 先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对 x求偏导.当fxy与fyx都连续时，求导的结果与先后次序无关，此时它们是相 等的。偏导数存在并且偏导数连续=可微=函数连续(这里的连续是指没求导的 函数)偏导数存在并且偏导数连续=可微=喇导数存在以上所有关系倒推均不 成立。函数连续与偏导数存在之间谁也推不出谁。7、怎样判断奇函数和偶函数？ |答：这个其实可以根据奇函数和偶函数的性质来区分，如果对于函数定义域 内的任意一个x,者B有f(-x尸一f(x),那么函数f

12、(x)就叫做奇函数。 如果对于 函数定义域内的任意一个x ,都(f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。如果对于函数定义域内的任意一个 x, f(-x)=-f(x) 与f(-x)=f(x) 都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。8、函数最大值和最小值的判断方法？ |答：用导数判断函数的最大值和最小值。函数的导数为 0的点称为函数的驻点， 驻点可以划分函数的单调区间。用导数求到的，将会是函数的单调区间，然后， 根据驻点，可以确定出函数的极值点。然后，比较所有的极值点，以及端点(闭 区间的话)，就可以得到最值了。极值点的确定：左增右减，那么该驻点为极大

13、 值点，其函数值有机会成为最大值；左减右增，那么该驻点为极小值点，其函数 值有机会成为最小值。第九章、重积分1、如何计算二重积分、三重积分？答：不管是算二重积分还是三重积分我们都先要明白积分区域是什么，在二重积分中，根据条件画出积分区域，把二重积分逐步转化为一重积分， 得到最后的结 果。在三重积分中，先画出立体简图，找出立体在某坐标面上的投影区域并画出 简图，确定另一积分变量的变化范围，选择一种次序 ，化三重积分为三次积分。 2、旋转曲面的定义是什么定义：曲线C绕定直线 旋转一周所形成的曲面称为 旋转曲面。其中C-一 母线，与 垂直的任一平面与旋转曲面交成一圆一一维圆，过的任一平面与旋转曲面交

14、成一圆一一经线(子午线)注：旋转曲面的母线不唯一，它的任一经线均是其母线。在这一章中，大家一定要掌握二重积分的算法，必要的时候可以用对称性或者极 坐标来算二重积分，通过做练习题来巩固这些方法。第十章、曲线积分与曲面积分1、曲面积分的定义设2为光滑曲面，函数f(x,y,z)在2上有界，把2任意地分成n个小曲面 AS,在每个小曲面A Si上任取一点(Xi,Yi,Zi) 作乘积f(Xi,Yi,Zi)dS ,并求和 2 f(Xi,Yi,Zi)dS，记入=max(A S 的直径), 若 f(Xi,Yi,Zi)dS 当人-0 时的极限存在，且极限值与2的分法及(Xi,Yi,Zi )在2上的取法无关，则称极

15、限值 为f (x,y,z )在2上对面积的曲面积分，也叫做第一类曲面积分。即为/ f(x,y,z)dS ;其中f(x,y,z)叫做被积函数，2叫做积分曲面，dS叫做面积函数。 2、应用格林公式的难点是什么？ 答：首先大家要明白格林公式的概念是什么，条件是：L封闭的曲线，分段光滑有向；P, Q具有一阶连续偏导数。如果满足条件直接应用就行了。第十一章、无穷级数1、如何计算级数的收敛域？答：通过收敛半径的公式可以得到级数的收敛半径 (如果是隔了一项的不能直接 用收敛半径公式，具体怎么做书上有例题请大家查看)，当x等于端点值是观察 原级数是瘦脸的还是发散的决定函数收敛域的开闭区间。2、柯西审敛的原理是

16、什么答：数列xn有极限的充要条件是：对任意给定的 0,有一正整数N,当m,nN时，有 |xn-xm|0,有Z属于实数， 当 x,yZ 时，有 |f(x)-f(y)|0且2 x0因此x-0,5IL 3洛必达法则求极限也是重要知识点，当分子分母都趋于0或者无穷的时候才能用，分子分母都求导就能得到答案。x_x例3、用洛必达法则求lim岂二e-的极限。 x0 xx . x解：lim e_Ze_ =lim(ex+e,)=2x 0 xx 0例4、偏导数，函数连续，函数可微之间的关系？解：函数可导与连续的关系：f(x, y)在点(x,y)可微分是f(x, y)在该点连续的充分条件。f(x)在x=x0可导的充

17、分必要条件是f(x)在x=x0的左右导数存在且 相等。在此之前大家要明白多元函数的意思，多元其实跟一元没有本质的区别， 多元是指有多个自变量，一元就一个自变量。偏导数的几何意义在论坛上大家提 到很多次，同学们应该很熟悉了吧。如何求偏导数，这是一个基本问题，当然大家肯定要记熟求导的公式， 不要是没 法做题的，具体公式这里就不列举了，请参考教材并记住他们。先从简单的一元 求导开始，求y=2x+x2+e2的导数dydx利用公式有：dy=2xln2+2x ,对常数求导是等于0的。dx例5、z=x4-4x2y2,求它的一阶，二阶偏导以及混合偏导。分析：那么应该是先对x求偏导，再对y求偏导数，根据公式有-

18、2z. 3 一 2二 Z- 2CZ2-=4x 8xy ,=8x y , -2 = 12x -8y:x：:yFx-2 ：z-2 y=-8x2,-2二 z=-16xyx .y原则：对x求偏导的时候把y看做是常数，对y求偏导数的时候把x看做是常数, 二阶偏导数是在一阶偏导数的基础上继续求偏导得到的。例6、求函数z = x4 -4x2y2的微分解析，微分是根据导数而来的，所以求微分之前要先求导解：根据上面的求导有： 底=4x38xy2 , = 8Xx2y x: y322所以 dz =(4x - 8xy )dx - 8x ydy也就是说如果求到了一阶偏导数就可以了。 一些常用的公式比如 格林公式，牛顿-莱布尼茨公式，求导的常用公式大家要知道。12例7、计算一重积分I = J,j2xdxdy,其中区域D有曲线y = -,y = x及直线x = 2围成。Dx.2xdxdy=2j2xdy . . 2x(x2 Jdx3111(2x ”二万例8、求椭球面x2 +2y2+3z2 =36在点(1,2,3 )处的切平面方程及法线方程。解：令：F(x,y,z ) =x2+2y2+3z2-36rr法向量 n =(2x,4y, 6z) , n(1,2,3)= (2