【高考数学】四心与向量完美结合

1、三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式知识点总结1) O 是 ABC 的重心 0A OB 0c 0；1S BOC S AOC S AOBS若0是ABC的重心，则3 1-*f故 OA OB OC 0 ；uuur uur uuu uurPG /(PA PB PC) G 为 ABC 的重心. 32) O 是 abc 的垂心 Oa Ob Ob OC OC Oa若O是ABC （非直角三角形）的垂心,BOC : S AOC : S AOBtan A :tan B ：tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 02 2 23) O 是 AB

2、C 的外心 |OA| |OB| |OC|(或 OA OB OC)若O是ABC的外心S BOC： S AOC： S AOB sin BOC：sin AOC：sin AOB sin 2A : sin 2B :sin 2c故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 04) O是内心ABC的充要条件是OC AB AC BA BCOA (-)OB ()|AB | AC| BA | | BC |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB，BC，CA的单位向量为e1,e2,e3,则刚才。是ABC内心的充要条件可以写成OA (ei e3) OB (ei e2) OC (e2 e3)0O是ABC内心

3、的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0若 O 是 ABC 的内心，贝U S BOC： S AOC： S AOB故 aOA bOB cOC 0或sin AOA sin BOB sin COC 0;uuur uuuruuin uuu uuu uuu r|AB|PC |BC|PA |CA|PB 0P ABC的内心;uuuuiur向量（淄8 -UuUr）（0）所在直线过 abc的内心（是|AB| |AC|BAC的角平分线所在直线）；范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA崔j谷），0,则P点的轨AB AC迹一

4、定通过 ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为售是向量AB的单位向量设Ar与AC方向上的 AB单位向量分别为0和e2,又OP OA AP,则原式可化为AP （q e2）,由菱形的基本性质知 AP平分BAC ,那么在ABC中，AP平分BAC ,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是 “新颖、陌生”，首先碧AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性 质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道 题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“

5、垂心定理”例2 . H是弥BC所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点H是弥BC的垂心.由 HA HB HB HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB, HA BC.故H是小BC的垂心.（反之亦然（证 略）例3.（湖南）P是9BC所在平面上一点，若PA PB PB PC PCPA,则 P 是出BC 的（D ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0贝u PB CA同理PA BC,PC AB所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查

6、平面向量有关运算，及“数量积为零，则两 向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形 垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量 所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是AABC所在平面内一点，GA gb gC=0点G是从BC的重心.证明作图如右，图中GB GC GE连结BE和CE,则CE=GB, BE=GC BGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将 GB GC GE 代入 GA GB GC = 0 ,得GA EG = 0 GA GE 2GD ,故G是MBC的重心.（反之亦然（证略）例5 . P是小B

7、C所在平面内任一点.G是MBC的重心i _ PG -(PA PB PC).证明 PG PA AG PB BG PC CG3PG (AG BG CG) (PA PB PC).G是2BC的重心/.Ga Gb Gc= 0 AGBGCG = 0, 即 3pg pa pb pc由此可得Pg -(PA PB PC).(反之亦然(证略)3uur uuu uuur r,6。为 ABC 内一点，OA OB OC 0 ,则'A.而心B.外心 C.垂心a , uuu uuu uur r uuu uur uuu ，一O是ABC的D.重心OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则uur uur uuur,OB OC

8、 OD ,由平行四边形性质解析：由OA OB OC 0得OB OC OA ,如图以uur 1 uuu,知OE 2OD , |OA 2OE,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线 互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点， 所分这比为2。本题在解题的过程中将平面向量的有关运1算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相 关知识巧妙结合。（四）.将平面向量与三角形外心结合考查uuu uur uuur例7若。为ABC内一点，OA OB OC,则。是ABC的（ ）A.内心B.外心 C.垂心 D.重心解析：由向量模的定义知O到

9、ABC的三顶点距离相等。故 O是ABC的外心，选B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8 ,已知向量 OP1, OP2, OP3满足条件OP1+ oP2 + OP3 = 0 ,|Op1|=| Op2 |=| OP31=1 ,求证 咛1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明 由已知op1+ op2=- op3 ,两边平方得op1 op2 = -2 ,1同理 OP2 OP3 = OP3 OPl =-,/.|P1P21=| P2P31=| P3p1 |= V3,从而PiP2P3 是正三角形.反之

10、，若点O是正三角形 PiP2P3的中心，则显然有 市+OP2+ OP3= 0 旦|OP1|=| OP21=| OP|.即O是MBC所在平面内一点，OP1 + OP2 + OP3 = 0 J=L| OP1 |=| OP21=| OP31 点 O 是正APiP2P3 的 中心.例9.在2BC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、 重心、垂心。求证： Q、G、H三点共线，且 QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B (xi,0)、C(X2,y2), D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有:xiD (,0)、E(2Xi X2

11、y2、x2 y2F(,)2 2由题设可设，丫 3)、H (X2,y4),Xi XG(tLUUU AH I2 y 2) "1TLW(X2y3)uurBCLULLQ AHLULLAHy，(X2 Xi,y2)LLLTBCLmr?BC x2(x2X2J2 Xi)丫2Xi)y2y4uur QQFuurQFLULLACuuur ?AC/X2X2(Ty3X2(X2 Xi)2y2XiIy22“2 y2(2y3)uunu QH(X2Xi 7,y4y3)(2X 2I Xi23x 2(X22ylXi)LuurQG(公Xi3Xiy22x X(2-i 6i LLiir= 1QH32 33x2(x26y2y3)

12、Xi)2x26xi y2y26)3(31 2xX2(X2 Xi)2y2xi 3x2(x 2, 2y2Xi)uuuuuuir即QH=3QG,故 Q、G、H 三点共线，且 QG： GH = 1 ： 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和 几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向 量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密 地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题 的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例10 .若O、H分别是4ABC的外心和垂心.求证 OH OA OB OC证明 若MBC的垂心为H,外心为 O,如图.连BO并延长交外接圆于 D,连结A

13、D , CD.，AD AB, CD BC.又垂心为H,AH BC , CH AB , AH /CD, CH /AD四边形AHCD为平行四边形,/.AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心” 外心、重心、垂心的位置关系：欧拉线”；(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线 的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11 .设O、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证 OG - OH3证明 按重心定

14、理G是AABC的重心 oG J（oA oB oc）3按垂心定理OH OA OB OC由此可得OG -OH .3补充练习1 .已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足1 i 1 op=-（；oa+/B+2 OC）,则点 P一定为二角形 ABC 的322（B ）A.AB边中线的中点分点（非重心）C.重心B.AB边中线的三等D.AB边的中点111.B取AB边的中点 M，则0A OB 20M，由0P =- (-OA1 2 + OB+2 OC )可得 30P 30M 2MC ，MP MC ,即点23'P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.

15、uuur2 .在同一个平面上有ABC及一点o满足关系式：0A? +uuuuuu uuuuuuuuuuir uuuuuinuLuuuuBC2 = 0B2+CA2=0C2+AB2,则0为 ABC的(D )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心3 .已知AABC的三个顶点 A、B、C及平面内一点 P满足：uuu uuu unrPA PB PC 0 ,则 P 为 ABC 的(C )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心4 .已知0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：0p 0a (Ab Ac),则P的轨迹一定通过 ABC的(C )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心5 .已知

16、AABC, P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足：uuu uur uur uuu uur unrPA?PC PA?PB PB?PC 0,则P点为三角形的A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心6 .已知AABC , P为三角形所在平面上的一点， 且点P满足:uuu uuu uura PA b PB c?PC 0 ,则P点为三角形的(B )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 2 2 7 .在三角形ABC中，动点P满足：CA CB 2AB?CP,则P点轨迹一定通过 ABC的：(B )A 外心B 内心 C 重心D 垂心8 .已知非零向量与满足(+) =0且=1，则9BC为()A.三边均不相等

17、的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形uuuuuur解析：非零向量与满足("AB" -AC-) =0 ,即角A的平分线垂|AB| |AC|uuu uuur 1直于BC,AB=AC ,又8sA德|篦| = 2所以MBC为等边三角形，选 D.9 . ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH m(OA OB OC),贝U实数 m = _19.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ,贝U 点 O 是 ABC 的(B )(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交10.如图1 ,已知点G是ABC的重心，