2020年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷

1、高三（上）期中数学试卷题号二一总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合/ = xx + 1<O,B = xx之a,若力U 8 = R,则实数a的值可以为（）A. 2B. 1C. 0D. -2 2.下列函数中，在区间（0,+8）上不是单调函数的是（）A. y = %B. y = %2C. y = x + /x D. y = |x - 1|3.已知等差数列an的前八项和为斗，若$3=。3,且。3工0,则£ =（）A. 1B. IegD.34.不等式：,1成立的一个充分不必要条件是（）A. 0 < x < - B. % > 1C. 0 <

2、 % < 125.如图，角a以。x为始边，它的终边与单位圆。相交于点P,且点P的横坐标为士贝IJsinG+a）的值为（）5/D. % < 06.A.B.C.D.在四边形ABC。中，/8CD,设就=2宿+ 而（儿 7?）.若；1 + =：，则同一（）A. -B. -C. 1D. 2327.已知函数f （x） =x3 + x2- 2|x|- k.若存在实数x0,使得f （一与）=一f （右）成立，则 实数4的取值范围是（）A. 1,+8） B. （co,1C. 0,+co）D.（co, 08 .设集合A是集合N*的子集，对于i 6 N",定义外（/） = ：；，%给出下列三个

3、结 论：存右W*的两个不同子集A, 8,使得任意iCN都满足例（408） = 0且4（力1；第1页，共17页8)= 1；任取N*的两个不同子集月，B,对任意i WN*都有WiG4 n B)=外(力”外(8)；任取N*的两个不同子集A, B,对任意iN*都有外(4UB) =心(力)+外(8) 其中，所有正确结论的序号是()A.B.C.D.二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9 .已知向量2=(1,2),3=(3,幻，a/b,则实数x= .10 .函数f(x)=xH6的零点个数是.11 .已知数列即的前n项和为S” = log2n,则以 =,a3 + a6 + a7 + a8 =D12 .如

4、图，网格纸上小正方形的边长为1.从A, B, C,。四点中任取 两个点作为向量蔚勺始点和终点，则之前勺最大值为.A13 .已知数列a“的通项公式为a” = Inn,若存在p G R,使得a” < pri对任意的"G N*都 成立，则的取值范围为.14 .已知函数f(x) =g(x) = Vcossx,其中3 > 0, A, B, C是这两个函数图象的交点，且不共线.当3 = 1时， 48C面积的最小值为:若存在4 48。是等腰直角三角形，则3的最小值为.三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15 .已知数列斯为各项均为正数的等比数列，S，为其前/?项和，&=3

5、, %+。4 = 36 (I )求数列a“的通项公式； (11)若5"<121,求的最大值.第#页，共17页16 .已知函数f(x) = 2sinxcos(x + -) + . 32(I)求函数f(x)的最小正周期;(11)若/(幻+加0对工0日恒成立，求实数机的取值范冏17 .已知函数f(%) = ：ax3+/ + bx + c,曲线y =f(x)在(0/(0)处的切线方程为/ = x + 1.(I)求仇C的值；(D)若函数f(x)存在极大值，求的取值范围.18 .在力BC中,a = 7, b = 5, c = 8.(I)求sinA的值;(U)若点P为射线AB上的一个动点(与

6、点A不重合)，设黄=k.求女的取值范围：直接写出一个的值，满足：存在两个不同位置的点P,使得"=%.19 .已知函数f(x) =等.(I)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并说明理由:(口)求证：/(X)<20 .已知集合MG N*,且财中的元素个数大于等于5.若集合M中存在四个不同的元 素“，b, c, d,使得a + b = c + d,则称集合M是“关联的”，并称集合a,'c, 码是集合M的“关联子集”：若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独 立的”.(I)分别判断集合2,4, 6, 8, 10和集合12 3, 5. 8是“关联的”还是“独立 的”

7、？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；(U)已知集合Qg，%，/，的是“关联的”，且任取集合勺，电 CM，总存在M 的关联子集子使得(即勺 U 4若的< a2 < a3 < a4 < aSf求证：做，。3,。4, 即是等差数列；(DI)集合M是“独立的”，求证：存在使得匕山.4答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算.可以求出/ = xx < 1,根据/ UB =在即可得出a < -1,从而得出&的值可以为一2.【解答】解：/=x|x<-l, B = xx > a, W1U8=R,a &

8、lt; -1».a的值可以为一2.故选：D.2 .【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题.结合一次函数，二次函数，索函数的性质可进行判断.【解答】解：由一次函数的性质可知，y = x在区间(0,+8)上单调递增；由二次函数的性质可知，y = /在区间(0, +8)上单调递增；由事函数的性质可知，y = x +正在区间(0, +8)上单调递增：结合一次函数的性质可知，y=|x-1|在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.故选：D.3 .【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础

9、题.利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.【解答】解：设等差数列%的公差为差53=%，且。3或0,第1页，共17页 3al +3d = a1 + 2d,化为：-2% = d W 0.包=x+3-d = 22j+3x(-2a力=8品 3% +号d - 3 -ai-2013"2故选：c.4 .【答案】A【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题.解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件.【解答】解：该不等式的解集为：(0,1),则其一个充分不必要条件可以是：(0)；故选：A.5 .【答案】B【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.由题意利用任

10、意角的三角函数的定义，求得sin©+a)的值.【解答】解：角a以Or为始边，它的终边与单位圆。相交于点P,且点尸的横坐标为&则sinG + 5乙、3a) = cos a =故选：B.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平而向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.过C作CE/D,又CD/8.可得四边形AECQ是平行四边形.就= AE + AD，根据前=2宿+ 方 R).可得 =1，於=XAB,又;I + =也可得;I =挪可得出结论.【解答】过。作CE力D,又CDAB.四边形AECD是平行四边形.AC = AE +nD，又力C

11、= XAB + AD (4 G R).：从=1，AE A AB f又a + =，1则国=国=士|AB| AB 2故选：B.7 .【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数与方程的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题.存在实数%0,使得f(-Xo) = -/(%o)»转化为”-2x = k有根，进而转化为y = x2 - 2|x|与y = k的图象有交点.【解答】解： f (x) = x3 +x2 - 2x - fcfif (-x0) = _f(Xo)，-Xo + 北一 2|x0| - k = -(%0 +%q - 2|x0| - A)整理得k-2|x0l = k，原题转化为y

12、 = x2 - 2|x|与y = /c的图象有交点，画出y = / 一 2团的图象如下：% = 1时、=-1,由图可知，k > -1.故选A.8 .【答案】A【解析】【分析】本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.对题目中给的新定义要充分理解，对于i G N*,%=0或1,可逐一对命题进行判断, 举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题.【解答】解：,对于iN*,定义外(/)=：'：；：,例如= 正奇数), 8 = 正偶数，力n B = 0,力U 8 = N*,.Wi(4 n B) = 0：(Pi (A U 8) = 1,故正确:若Wi(

13、nnB) = 0,则iCpnB),则iwn且iWB,或iC8且i/力，或力且i£B： Wi(4)Wi(B) = 0；若e(/n8) = i,则icanB),则iWA且i8：p(/)Wi(B) = l：二任取N*的两个不同子集A, B,对任意iN*都有e(/nB) = e(/)*Wi(8)：正确， 故正确：例如：A = 1,2, 3, 8 = 2,3, 4,n UB = 1,2, 3, 4,当i = 2时，(pi(A U B) = 1;外(4) = 1,例(8) = 1：夫(A U B) H4(A) + w,(B)： 故错误；所有正确结论的序号是：: 故选：A.9 .【答案】6【解析】

14、【分析】本题考查向量共线，考查计算能力.直接利用向量的共线的充要条件求解即可.【解答】解:由向量日=(1,2), b = (3,x)» 若Z/E，可得x = 2X3 = 6.故答案为：6.10 .【答案】1【解析】【分析】本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标.解方程，根据方程的根的个数，即可得出f(x)的零点个数.【解答】解：由题意可知4之0时，f(x) = xy/x6 = 0可得(我)2 Q6 = 0,解得病=一2(舍去)或正=3,x = 9 ；函数外乃=%-疝一6的零点个数是1.故答案为：1.11 .【答案】0

15、: 1【解析】【分析】本题考查数列的前项和的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题型.直接利用题目所给的数列的前项和公式求出数列的首项和+。6 +。7 +。8的值.【解答】解：数列册的前n项和为% = log2n,第1页，共17页则= Si = log2l = 0.则+。6 + a7 +a8= S8-S4= 10§28 10§24 =1故答案为：0; 1.12 .【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的数量枳与投影的应用，向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个 向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，转化为向量的投影值即可.【解答】解：由题意可知：a - b = |

16、a | | |cos <a,b >= b |cos < a, b >»其几何意义是E在N方向上的投影值，由图形可知：向蜀=就时，投影值最大，且最大值为3.故答案为：3.13 .【答案】早,+8)【解析】【分析】本题考查的知识要点：利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区 间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果.【解答】解：数列册的通项公式为an = bm,若存在P R，使得“ K A对任意的 N*

17、都成立，枷设中)=竽则尸(幻=廿，令尸(乃=簧=。，解得x = e, 0 < x < e时,f(x) > 0,x > e时，尸(幻 < 0,故函数的单调增区间为(0, e),函数的减区间为(e, +8),所以函数在 = e时函数取最大值，由于tiCN*,当n = 3时函数值为殍,当n = 2时函数值为殍，易知等 >苧, 所以的取值范围是乎,+8).故答案为：殍,+8).14 .【答案】27r :%【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换 能力及思维能力，属于一般题型.直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形

18、的底和高，进一步求出三角形的而积.利用等腰直角三角形的性质的应用求出3的最小值.【解答】解:当3 = 1时，f(x) = y/2sinx» g(%) = yflcosx 当HBC而积最小时,所以第一象限的两个交点间的距离为一个周期2兀，力BC的高为夜1+亭心=2.所以：SdABC = ：, 2口，2 = 2口.当3 = 1时， 48c面积的最小值为2兀：若存在/BC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则空=2 ,(夜它+夜,马， 322解得3的最小值为故答案为：27T； p15 .【答案】解：(I)设等比数列a的公比为/ q>0, a2 = a3 + a4

19、 = 36,3(q + q2) = 36,解得q = 3.又3al = 3,解得的 = 1,:.an = 3"T.(n)sn = <i2i,3n < 243, 解得：n < 5.满足S” < 121, 的最大值为4.【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题.(I)设等比数列斯的公比为q，由的=3, a3+a4= 36,可得3(q + q2)= 36,解得q.又3% =3,解得内,进而求得数列0的通项公式.(n)Sn = <121,即可得出结论.16.【答案】解：(I )函数/' (x) = 2sinx

20、cos(x + g) + ；.1 V3V3=2sinx(- cosx sinx) + 2 22L 2 W=sinxcosx - V3sin % H21 V3=-sin2x Hcos2x2 2= sin(2x + 7).所以函数的最小正周期为T =y = 7T.(H )/(%) +m< 0 对x G 0,刍恒成立，所以fCOmox + m < 0,由于“0勺，所以2x +频 生刑.当2x + ?=g时，即X =盛时，m+140时，实数，的取值范围为(一8,-1.【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，

21、属于基础题型.(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步 求出函数的最小正周期.(n)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果.17 .【答案】解：(I = ax2 +2x + b,曲线y = /'(外在(0)(0)处的切线方程为 = x + 1,搬二;，解得:忆;(II)"去一：由(I)f(x) = ax3 +x2 +x+ 1,当a = 0时，f(x)=# + x + i不存在极大值，不合题意，当q>0时，fx) = ax2 + 2x + l,令 a/ + 2%+ 1 = 0,(。当4= 4 4a < OBPa &

22、gt; 1时，不合题意,(万)当= 4- 4a > 0即0 V a V 1时，方程a/ + 2x + 1 = 0有2个不相等的实数根，设方程两根为%2»且x1<%2，X,尸(%), f(x)的变化如下：X(- 8,0X1(4"2)g(X2，+8)广+1)0+f(x)递增极大值递减极小值递增故fOi)为极大值：当QV0时，恒成立, 设方程两根为气，必且占不，X,f(%)，f(%)的变化如下:X(一 8,%)(卬“2)“2(42, +8)f'M0+0fW递减极小值递增极大值递减故f(%2)为极大值，综上，若函数f(x)存在极大值， 则”的取值范围是(8,0)

23、 U (0,1).法二：尸(%) = ax2 + 2x + 1,若函数f(x)存在极大值,则；】：.4°。，解得：。1且。，°,故a的取值范围是（一8,0） U （0,1）.【解析】本题考查了导数的几何意义，考查运用导数研究函数的单调性，极值问题，考 查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题.（I）求出函数的导数，结合切线方程得到关于b,。的方程组，解出即可: （II）法一：求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数存在极大值，确定"的范围即可, 法二：结合二次函数以及极大值的定义判断即可.18 .【答案】解：（I）在力8c中，a = 7

24、, b = 5, c = 8.利用余弦定理cos力=匕士£2 be由于力e （0,所以sin/ = J1 _）2 = 11.（口）由黄=% 根据正弦定理焉=告r-r K| J APsinACPsinACP2>/3 .所以 k =赤=j- = .壮=-SinZ>lCP, CPsmLA sm3s由于点P为射线A8上的一个动点（与点A不重合）, 所以乙4cp 6 （0考）,所以k的取值范围为（0,等.由于P为射线AB上的一个动点，所以k的取值只要在区间（1,当上即可,3故时，满足条件.【解析】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力 和转换能力及思维

25、能力，属于基础题型.（I ）直接利用余弦定理的应用求出A的余弦值，进一步求出正弦值.（n）直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k的取值范围.根据共线的条件求出在区间（1,出）上即可.319 .【答案】解：（I）函数f（x）在区间（0,1）上是单调递增函数.理由如下：由f(幻=等，得尸(幻=匕：因为4 G (0,1),所以? > 0, Inx < 0,因此：Inx > 0.又因为e* > 0,所以(“)>0恒成立.所以f (乃在区间(0,1)上是单调递增函数.(II)证明"幻<9等价于证明“fCOmaxVF .由题意可得，% G (0,+8),因

26、为尸(幻=二：再令g(x) =nx,则g'(x) = -< o.所以g (x)在(0, + 8)上单调递减.因为g(l) = 1 > 0，g(e) = ： - 1 V 0,所以存在唯一实数%o,使得9(%)=0,其中”o(l,e).x,尸(幻，f(x)变化如下表所示：X(0，40)&(&, +8)+0f(x)7极大值所以fOo)为函数f(“)的极大值.因为函数f(x)在(0,+8)有唯一的极大值.所以f= f (久0)=黄因为一=/出, X。所以/(乃皿="。)=等=木,设m(x) = xexfx G (l,e),mf(x) = (x + l)ex

27、> 0,故m(x)在(l,e)上单调递增，故m(x) > m(l) = e.因为%o G (l,e),所以第1页，共17页所以fO) v也【解析】本题考查了函数单调性求法，函数极值与最值的求法，属于导数在函数中综合 应用，属于综合题.(1)对(%)求导，判断尸(外的符号，即可得函数的单调性：(II)证明力幻等价于证明“f(X)maxVj .求f(“)的最大值即可证明.20 .【答案】解：(I )2,4, 6, 8, 10是“关联的”，关联子集有2,4, 6, 8, 4,6, 8,10, 2,4, 8, 10).1,2, 3, 5, 8是“独立的”.(D)记集合M的含有四个元素的集合

28、分别为：i = a2, a3,a4,a3,A2 = a1,a3,a4, a5, 。4,= tli，O,2> a3> a5)*= 。1，。2,。3,。4卜所以，M至多有5个“关联子集”，若42=%。3，。4，%为“关联子集”，则4=%的，/，的，不是“关联子集”，否则以 = a2>同理可得若a=%,。3，。4，即为“关联子集”，则4, 4不是“关联子集”，所以集合M没有同时含有元素的，。5的“关联子集”，与己知矛盾.所以包=3,%，%一定不是“关联子集”，同理4 = 3,02，%，的一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为41，力3,力5，若A不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素如，as的“关联子集”，与已知矛盾；若心不是“关联子集”，则此时集合"一定不含有元素as的“关联子集”，与已知矛盾；若4不是“关联子集”，则此时集合“一定不含有元素。3的“关联子集”，与已知矛盾；所以冬，冬，公都是“关联子集”，所以有=。3 +。4，SPa5 -a4 = a3- a2：a1 + a5= a2 + a4,即-a4 = a2- a1；aL + a4 = a2 + a3, HPa4 a3 = a2 %；所以a$ - %-% 做=。2 。1，所以劭，a3, a4,他是等差数列.(ID)不妨设集合M = (alta2，.,an(n > 5),