五年级奥数周期问题

1、八周期性问题(A)年级 班 姓名 得分一、填空题1 .某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 .2 . 1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期.3 .按下面摆法摆80个三角形，有个白色的.4 .节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一 盏彩灯.也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏 灯是 T.5 .时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是6 .把自然数1,2,3,4,5如表依次排列成5歹1，那么数“ 1992”在列.第一列第二列第三列第四列第五列123459876101

2、1121314181716157.把分数4化成小数后，小数点第110位上的数字是.8. 循环小数0.1992517与0.34567 .这两个循环小数在小数点后第 位,首次同时出现在该位中的数字都是7.9. 一审数：1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有 1991 个数.(1) 其中共有个1,个9个4;(2)这些数字的总和是 .10. 17 474 27 4.437 所得积末位数是.50个二、解答题11. 紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8 9=72，在9后面写2,9 2=18，在2后面写8,得到一串数

3、字:1 9 8 9 2 8 6这串数字从1 开始往右数，第1989个数字是什么？12. 1991 个 1990 相乘所得的积与 1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13. 设 n 21 424 22 4.432 ，那么n 的末两位数字是多少？1991 个14在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1 厘米的短木棍有多少根？八周期性问题(B)年级 班 姓名 得分一、填空题1.1992 年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期.2 .黑珠、白珠共102颗，穿成一串

4、，排列如下图：o »ooo oooeooo 这串珠子中，最后一颗珠子应该是 色的，这种颜色的珠子在这串中共有颗.3 .流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1 个白，然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白，继续下去第1993个小珠的颜色是 色.4 .把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入 A、B、C、D E、F袋中.第1992 粒珠子投在袋中.5.将数列1,4,7,10,13依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列么数列18的数-349应排在第一1167 1011314131228 2522 19 16789104 念7 40 3432

5、左到右依次名口，从行第列.58 5跄231611 16.分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字137 .旦化成小数后，小数点后面1993位上的数字是148 .在一个循环小数中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节 的两个小圆点，应分别在?口这两个数字上.9 . 1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是 .10 .算式(367367+762762)123123的得数的尾数是 .解答题11 .乘积1 2 3 4是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12 .有用自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的5恰好是第二个6

6、数的1,从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这申数的第1991个数被34除所得的余数是几？共产党好共产党好共产党好13 社会主义好社会主义好社会主义好上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会）， 那么第340组是.14.甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔 5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米,这样交替做到底.然后，乙从木棍同一端点开始留出6 厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上没有被涂黑 部分的长度总和为厘米.1 二因为 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29 天

7、，且 2 月 1日与 2月 29 日均为星期日， 3 月 1 日是星期一，所以从这年3 月 1 日起到这年6 月 1 日共经过了31+30+31+1=93（ 天）.因为93 7=13-2,所以这年6月1日是星期二.2 日依题意知，这十年中 1992年、 1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有365 10+2=3652（天）因为（ 3652+1）7=521- -6,所以再过十年的12月5日是星期日.3 注 上述两题 （题 1题 2）都是推断若干天、 若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答. 在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又

8、一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400 的倍数才是闰年 .3. 39从图中可以看出 , 三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3 个白色三角形.因为80 6=13 -2,而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13 3=39（个）.4. 白依题意知 , 电灯的安装排列如下:白，红，黄,绿，白，红，黄,I白，这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为 4.由73 4=18-1可知第73盏灯是白灯.5. 13 时.分针旋转一周为1小时，旋转1991周为19

9、91小时.一天24小时,1991 24=82- -23, 1991 小时共 82 天又 23 小时 . 现在是 14 时正 , 经过 82 天仍然是 14 时正 , 再过 23 小时 , 正 好是 13 时.注在圆面上 , 沿着圆周把1 到 12的整数等距排成一个圈 , 再加上一根长针和一根短针 , 就组成了我们天天见到的钟面. 钟面虽然是那么的简单平常, 但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题 , 周期现象就是其中的一个重要方面.6. 3仔细观察题中数表.奇数排）9 8 7 610 11 12 13 14 ( 第二组418 |17 16 15 (19 20- 21 22 23 (第三组J27

10、126 25 24 (可发现规律如下：偶数排）奇数排）偶数排）奇数排）偶数排）（1）连续自然数按每组9个数，且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四个数的规 律循环排列；（2）观察第二组，第三组，发现奇数排的数如果用9除有如下规律：第1列用9除余数 为1,第2列用9除余数为2,，第5列用9除余数为5.（3）10 9=1 1, 10 在 1+1 组,第 1 列199=2-1, 19在 2+1 组，第 1 歹U因为1992 9=221- -3,所以1992应排列在（221+1） =222组中奇数排第3列数的位 置上.7. 7它的循环周期是6,具体地六个数依次是5, 7, 1, 4, 2, 8110

11、 6=18 2因为余2,第110个数字是上面列出的六个数中的第 2个，就是7.8. 35因为的循环周期是7,的循环周期为.5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小 数在小数点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都是7.9. 853,570,568,8255.不难看出，这申数每7个数即1,9,9,1,4,1,4 为一个循环，即周期为7,且每个周期中 有3个1,2个9,2个4.因为1991 7=284- 3,所以这申数中有284个周期，加上第285 个周期中的前三个数1, 9, 9.其中1的个数是:3 284+1=853（个）,9的个数是2 284+2=570（个）,4的个数是2 284=

12、568（个）.这些数字的总和为1 853+9 570+4 568=8255.10. 9先找出积的末位数的变化规律：71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 7 4末位数1; 75=74+1末位数为7,76=74+2末位数为9 , 77= 74+3末位数为3, 78=74 2末位数为1由此可见，积的末位依次为7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1，以4为周期循环出现.因为50 4=122,即750=74 12 2 ,所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是9.11. 依照题述规则多写几个数字:可见1989后面的数总是不断循环重复出现 286884,每6个一组，即循环周期为6.

13、因为 （1989-4） 6=330- 5,所以所求数字是8.12. 1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末 两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的 积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11 个1991相乘积的末两位数字是 91,由此可见，每10 个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990 10=199,所以1990个1991 相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.13. n是1991个2的连乘积，可记为n

14、=21991,首先从2的较低次幕入手寻找规律，列 表如下：nn的十 位数字n的个 位数字nn的十 位数字n的个 位数字21022129622042139223:082148 :424162156825322163626r 642177 1227282184428562198829122207621024221522114822204观察上表，容易发现自22开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为 20.因为1990 20=99- 10,所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是 4,个位数字是8.所以，n的末两位数字是48.14. 因为100能被5整除，所

15、以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看 作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循 环，每一周的长度是30厘米，如下图所示.由6示可知长11厘；WJ短点棍，每一周期中有两池,如第1周期中,6-5=1,55-6 4=1.剩余15）厘米中有一吃.所以锯开后长1厘米白9短木9昆共有7段.综合算式为：2 （100-10）30+1=2 3+1二7（段）注解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易. 答案1. 五在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365

16、10+3,365被7除余1,所以总 天数被7除的余数是(13-7=)6,因此10年后的1月18日是星期五.2. 黑,26根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色”交替循环出现的， 也就是这一排列的周期为4.由(102-1) 4=25-1,可知循环25个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有1 25+1=26(颗).3. 黑小木球是依次按5红,4黄,3 I,2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个 周期为15.由1993 15=132-13知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应 该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.4. B通过观察可以发现，

17、第11次到第20次投进的袋子依次与第1次到第10次投进的袋 子相同，即当投的次数被10除余1,2,3,8, 9, 0,分别投进A, B, C,D, C, B 袋中，1992被10除余2,所以第1992粒珠子投在B袋中.5. 24,2这个数列从第2项起，每一项都比前一项多3,(349-1)3+1=117，所以349是这列数中的第117个数.从排列可以看出，每两排为一个周期，每一周期有10个数.因为117 10=11- -7,所以数“ 349”是第11个周期的第7个数，也就是在第24行 第2列.6. 699 =0.69230713它的循环周期是6,因为1993=6 332+1,所以化成小数后，其小

18、数点后面第1993位上 的数字是6.7. 73 _ _ 一 =0.2142857 14它的循环周期是6,因为(1993-1) 6=332，则循环节“ 142857'恰好重复出现332次. 所以小数点后面第1993位上的数字是7.8. 3,7表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面，且数字“ 5”肯定 包含在循环节中，设前一个小圆点加在“ 5”的上面，这时循环周期是3,(100-4) 3=32, 第100位数字是7.设前一个小圆点加在“ 4”的上面，这时循环周期是 4, (100-3) 4=241,第100位数字是4.设前一个小圆点加在“ 3”的上面，这时的循环周期是

19、5, (100-2)5=19- -3,第100位数字正好是5.注拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在7的上面，但前一个圆点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办？唯一的办法就是“试”.因为循环节肯定要包含5,就从数字5开始试.逐步向前移动，直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索：先试一试这条，再试一试那条.9. 2由特例不又t归纳出：(1)9的连乘积的个位数字按9,1循环出现，周期为2;(2)8的连乘积的个位数字按8,4,2,6循环出现，周期为4;(3)7的连乘积的个位数字按7,9,3,1循环出现，周期为4.因为1991=995 2+1,所以1

20、991个9的连乘积的个位数字是 9;因为1990=497 4+2, 所以1990个8的连乘积的个位数字是4;因为1989=497 4+1,所以1989个7的连乘积 的个位数字是 的个位数字是2,即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位 数字是2.10. 97的连乘积，尾数(个位数字)以7,9,3,1循环出现，周期为4.因为367 4=9»-3,所以， 367367的尾数为3.2的连乘积，尾数以2,4,8,6循环出现，周期为4.因为762 4=190- 2,所以，762762 的尾数为4.3的连乘积，尾数以3,9,7,1循环出现，周期为4 =30 -3,所以，12312

21、3的尾数为7.所以,(367 367+762762) 123123的尾数为(3+4) 7=49的尾数，所求答案为9.11. 从1开始，将每10个数分为一组，每一组10个数从右到左第一个不等于零的数 字是乘积=3628800从右到左第一个不等于零的数字是8,11991可分为110, 1120, 2130,，19811990, 1991; 8 的连乘积末位数字 8、4, 2, 6 重复出现, 199 4=49- -3,所以199个8相乘的末位数字是2, 1991个位数字是1,所以，乘积1 2 3 从右到左第一个不等于零的数字是 2.12. 因为第一个数 5=第二个数 1,所以第一个数：第二个数=二：5=3: 10.又 6446两数互质，所以第一个数为3,第二个数为10,从而这