二分法求函数零点的近似解及零点个数

1、课题函数求零点问题教学目标深刻了解函数的应用，用二分法求函数零点的近似解及零点个数重点、难点二分法就函数零点的近似解及零点个数考点及考试要求函数零点问题的综合应用教学内容函数与方程、目标认知 学习目标(1)进一步了解函数的广泛应用；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联 系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点 近似解的常用方法.重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法 求函数零点的近似解.难点对函数零点的性质，二分法求函数零点近似

2、解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解 二、知识要点梳理知识点一、函数的零点1 .函数的零点匡i一般地，如果函数丁力在实数a处的值等于零，即/(二o,则窗叫做这个函数的零点要点诠释：函数 y=/W的零点就是方程/国=o的实数根，亦即函数 y =的图象与x轴交点的横坐标.归纳：方程/二°有实数根o函数y=jw 的图象与工轴有交点Q函数7二有零点.2 .二次函数零点的判定匡1二次函数y=。/+从+。的零点个数，方程口= o的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点A>0两个不相等的实根两个零点A = 0两个相等的实根一个一重零点A <0无实根无零点3 .二次函数零点的性质恒j

3、二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立4 .二次函数的零点的应用匡J利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数5 .变号零点与不变号零点也j如果函数 户/W 在一个区间ME（弧b），使跖）=。.如 b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即,则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点果函数图象通过零点时穿过 X轴，则称这样的零点为变号零点

4、，如果没有穿过X轴，则称这样的零点为不变知识点二、二分法1 .二分法国J所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而 得到零点近似值的方法2 .用二分法求函数零点的一般步骤：E已知函数二定义在区间D上，求它在D上的一个零点X0的近似值x,使它满足给定的精确度第一步：在D内取一个闭区间际瓦k。，使与/闻异号,即,零点位于区间1%耳中.第二步：取区间3，%的中点，则此中点对应的坐标为w为+4）计算 /伉）和/（4） ,并判断:如果/二°,则M就是/卜） 的零点,计算终止;如果 /同加卜Q ,则零点位于区间%/中，令如果 力弘力。,则零点位于区

5、间【看热中，令第三步：取区间用，4）的中点，则此中点对应的坐标为工产%+（出+4） 乙乙计算 /和/（R） ,并判断:如果 瓦）二°,则看就是一（1） 的零点，计算终止;如果/ /h)<0，中，令曲二厮务二十如果则零点位于区间出二M瓦二h；继续实施上述步骤，直到区间%也，函数的零点总位于区间%，4上，当勺和4按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度 三、规律方法指导1 .如何求函数的零点？答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.2 .如果函数y=在其定义域内为单调函数，则函数 J

6、二1）在其定义域内最多有几个零点?答：单调函数在其定义域内最多有一个零点经典例题透析类型一、求函数的零点1 1,求下列函数的零点.但（1）阳=4*-3；（2）.思路点拨：根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.解：_ 33由“力二4工-3二。得'4 ,所以函数的零点是4；（2）由,*一1二口+1）（，+1）卜-1）,令/1得x=i, -1 ,故函数的零点是1,-1.总结升华：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的 根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：7 二 一/一21+3；（2）y=/-万+

7、 6的零点.解：（1）由求根公式解得"I办二一（2）方程x3-7i+6 = 0可化为短一 6# 靠+ 6 = 口一 1） 一6（- 1） = 、卜 + 1）（工一1）一 6卜一 1）二（x-1乂工* +1- 6）=（1-1）（l- 2）（x + 3）= 0由卜-1）卜-2）卜+ 3）=。知"-3西二1丙二2,所以函数了 二 一/-2工+3的零点为1, 3；函数丁 = 77i+6的零点为-3, 1, 2.总结升华：三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题 目可相互转化.【变式2 （2011山东理16）已知函数 /。）=1空包工十1一

8、伙白且女=1）,当2 <a <3 & <4时，函 数了（工）的零点/ £ （”方+D泮£”,则R二.解：用数形结合法log口1=一1+”作出尸kg#及产脸工的图象,作出"-x+3及广-x+4由图象可知，当 。在亿3) 内变动， 施(3,4) 内变动时, 显然对数函数图象与直线 y = -x+b的公共点皆在区间(2,3)内,即函数/W的零点 犷(23),故 ” 2.类型二、确定函数零点的个数2,则函数的零点的个数是()忌.二次函数="+b+c中，比<0A 1 B. 2C. 0 D.无法确定思路点拨：可以利用函数图象或方程的判

9、别式解法 1： VOC<O,：,k = F Yac> 0方程ar2 =0有两个不相等的实数根2，函数P =+b工+。有两个零点，选b.解法 2：% > 0 Ta < 0, <或V' (。卜。"少不论哪种情况，二次函数图象与 x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.类型三、用二分法求函数的零点的近似值3.求函数/(1)二工+2h 一%一6的一个正数零点(精确到0.1).隹j解：由于/0)二一6仅)=4 >0,可取区间12作为计算的初始区间,用二分法逐步计算，列表如下:区间中点中点函数值1，21.5-2.6251.5 , 21.750.23

10、441.5 , 1.751.625-1.30271.625 , 1.751.6875-0.56181.6875 , 1.751.71875-0.1709由上表计算可知,区间 1.6875 , 1.75的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.总结升华：应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求 其近似值.【变式1】用二分法求函数/（同二/一5的一个正零点（精确到0.01）解:由2）二TJ（25）二 1.250可知函数的一个正零点在 2,2,勺区间中;取22,的区间中点2.25 ；计

11、算由于八2.25b5.。625-5=0,。625；,则有零点的新区间为2,225取2,225的区间中点2125；计算4 2.125） = 4.494425-5=305575；由于2125卜/（2.25）。则有零点的新区间为225,2.25；取二二二的区间中点2,1875；计算/(2 闾 *47851563-* 0.24841由于/(2.1875)«/(2.25)<0,则有零点的新区间为2.1875,2.25.(11)取218乃,2.25的区间中点2.21375 ；计算由于12.21375) = 4刎689-5二-0烟川；/(2.21375)-/(2-25)<0,则有零点的

12、新区间为221375,225；(取2.21375.2.25的区间中点 2231875计算（16）由于八 223 5） = 4981266 - 5=-。卸34；范.231875讨（225）Q,则有零点的新区间为2231875225；取2231875,2.局的区间中点2.2409375 ；计算/12M93乃)勿22081-5 =。,022081；Q9）由于（20）由于津23 明力224。93730, /(2r23640625)-/(2.2409375)<0,则有零点的新区间为.2.236406255,2,2409375；又因为零点要求精确到0.01 ,而区间两端点近似值相同都是2.24 ,所

13、以函数工）二工一5的一个正零点为：2.24.类型四、用二分法解决实际问题命 > ”土，、什人* 4.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了； 700元，低了； 880元，高了； 850元，低了； 851元，恭喜你，猜中了 .表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了 “逼近” 的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间500,

14、 1000的中点750,如果主持人说低了，就再取 750 , 1000的中点875;否则取另一个区间500, 750的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案， 游戏过程猜价如下：750, 875, 812, 843, 859, 851,经过6次可以猜中价格.总结升华：此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养基础达标一、选择题1 . （2011东北四市6）已知函数力=/ 2/+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）2 .有两个互为相反数的零点的函数（）A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3. （2011广东广州3月6）若函数力=4+2工+4没有零点，则实数的取值范围是（）A. 1B. a . 1 C. ，一 D.一： 一4.设函数二T +/'是-1,1上的增函数，且T力匕尸，则方程加=0在-1,内（）A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知J尸”，则下列说法中