全国各地中考数学压轴题汇编之

1、2017全国各地中考数学压轴题汇编之一1. (2017江苏淮安，28, 14分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= lx2 bx c的图像与坐标轴交于 A R C三点，其中点A的坐标为(一 33, 0),点B的坐标为(4, 0),连接AC BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点 C作匀速运动；同时，动点 Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点 B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ(1)填空：b=, c=;(2)在点P、Q运动过程中， AP的能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图像上

2、是否存在点M使PQM6以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t;若不存在，请说明理由；(4)如图，点N的坐标为(3,0),线段PQ勺中点为H,连接NH当 2点Q关于直线NH的对称点Q恰好落在线段BC上时，请直接写出点 Q的坐标.yyyx图图备用图【分析】（1）将A（3, 0）、B （4, 0）代入y= 1x2 bx c即可求解； 3若APCJ直角三角形，则/AP690 （/PAQf/PQAF可能为直角）.连 接QC则AC aP=qC PC = PQ,据此列出关于t的方程求解，若t的值满 足0&t04,则APQT能是直角三角形，否则不可能；（3）过点P作DE / x轴，分别过点

3、 M Q作MDL DE QEL DE垂足分别为 D E,构成“一线 三直角”全等模型，用含t的式子表示点M的坐标；将点M的坐标代入二 次函数的表达式求解；（4）分别求直线BG直线NQ的函数表达式； 解直线BG NQ的函数达式组成的方程组.【解析】（1） b = 1, c = 4. 3（2）在点P、Q运动过程中， APQ可能是直角三角形.理由如下：若4AP混直角三角形,因为在点 P、Q运动过程中，/ PAQ /PQA台终为 锐角，所以/ AP090 .aQ- aP= qG - pG = pQ.连接QG由（1）知抛物线的函数表达式为 y= 1x2 1x 4,当x=0时，y=4. 33G （0, 4

4、）.0G= 4.-A (-3, 0),由题意，得AP= OQ= t .AQ= OA OQ= 3 t.在Rta AOW,由勾股定理得 AO VOA2 OC2 = 厅产=5.PC= 5 t .在 RtaocQK q6= o0+ o6= t2 42./ZAPQ=90 ,，A。- aP=qC-pC=pG.22222 (3 t) t = t 4(5 t).解得t =.由题意知0&t&4.：t=不符合题意，舍去.在点P、Q运动过程中， APQf可能是直角三角形.y(3)如图，过点P作DE/ x轴，分别过点 M Q作MCLDE QELDE垂足 分别为点D E, MD* x轴于点F,过点P作PGL x轴，垂足

5、为点G,则PG/ y轴，/ D= / E= 90 . .APG AACO. PGAGAPPGAGt= 冈=一.OCOAAC435.Pa 4t, a生 3t.PE= G令 GO- O令 AO- A丁 O6 3 3t t = 3 -t , D已 EO -t. 555 / MP 90 , / D= 90 , /DM 用/DP附 Z EPO- / DP附 90 . / DMP/ EPQ又一/ D= / E, PMPQ.MDAPEtQ，PA EQ= 4t , M乐 PE= 3 -t . 55 A阵 MD- D已 3 2t 4t = 3 -t ,555。已 Fa GO= PE OA AG= 4t 33t

6、= 3 1t. 555，M ( 3 1t,3 2t).55丁点M在x轴下方的抛物线上,.2_11 2113t(3t)(3- t)4 .53535解得t =65 5.2052 0 t B。（图），使AB与DC重合，得到折 痕EF,把纸片展平（图）.第二步，如图再一次折叠纸片，使点 C落在EF上的P处，并使折痕经 过点B,得到折痕BG折出PB, PC,得到 PBC.（1）说明 PBO等边三角形.【数学思考】（2）如图.小明画出了图的矩形 ABCB口等边三角形PBD.他发现，在矩形ABCD中把4PBC经过图形变化，可以得到图中的更大的等边三角 形.请描述图形变化的过程.(3)已知矩形一边长为 3cm

7、i另一边长为acm对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围.8Cfl 【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm【分析】(1)由折叠的性质，线段垂直平分线的性质可判断;(2)根据旋转的性质和位似变换直接作图，写出过程即可；(3)根据图形，由勾股定理和等边三角形的性质求解；(4)由勾股定理和正方形的性质的性质直接求解.【解析】(1)由折叠，PB= PC EF是BC的垂直平分线，. PB= PC，PB= PO BC. APB混等边三角形.(2)本题答案不

8、惟一.例如,如图，以点B为中心，在矩形 ABCDK把PBC时针方向旋转适当的角 度，得到 PiBiC;再以点B为位似中心,将 PBC放大，使C的对应点C落在CD上，得到 BBC.(3)当等边三角形的边长为acm为高时，则当等边三角形的边长为acm,3cm为高时,则a= 2V3,心二八 C ,)3行 3市 aBF时，若将点G向点C靠近(DGAB,经过探索，发现:2 s四边形EFGH= S矩形ABcM- S巨形abcD .如图3,当AH BF时，若将点G向点D靠近(DGc AB,请探索S四边形efgh S矩形ABC用S巨形ab1cl2之间的数量关系，并说明理由.迁移应用:请直接应用“实验探究”中发

9、现的结论解答下列问题:(1)如图4,点E、F、G H分别是面积为25的正方形ABC咯边上的点, 已知 AH BF, AE DG S 四边形EFGH二 11, H已图，求EG的长.(2)如图5,在矩形 ABCD3, AB= 3, AD= 5,点E、H分别在边 AB AD上, BE= 1, D用2,点F、G分别是边BG CD上的动点，且FG师,连接ER HG请直接写出四边形 EFGHM积的最大值.【分析】问题呈现：根据矩形的性质，通过割补法利用三角形的面积和矩形 的面积可得到结论；实验探究：由题意得当将点 G向点D靠近（DG AE）时，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论；迁移应用：（

10、1）由上面的结论，结合图形，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到 结论；（2）直接根据规律写出结果即可.【解析】问题呈现：证明：如图1中,四边形ABC亮矩形,，AB/ CD /A= 90A& DG四边形AEG星矩形, Sahge= 1 S 矩形 AEGD2同理 Sa EGF= 1 S矩形BEGC cc , c 1c S 四边形 EFGHF S HgE- S EFG= S 矩形 BEGC2实验探究：结论：2s 四边形EFGHF S矩形ABCD &巨形ABCD .理由：Sa ehc_1oc_1oc_1oc_1；1S巨形 AEC1H,Sa HGD1S巨形 HDGD1,SA EFB1S巨形 E

11、BFB,SA FGA12222S巨形 CFA1G ，一S 四边形 EFG干 SA EHC1 + SA HGD1 + SA EFB + SA FGA, 一 S巨形 ABC1D1 , 2 S 四边形 EFGH= 2 SAEHC1 + 2 SA HGD1 + 2 SAEFR + 2SaFGA1 2 S巨形A1B1GD1)2 S四边形EFG产 S矩形ABCD- S巨形ABCD .迁移应用：解：（1）如图4中,酬二2 S四边形EFG产 S矩形ABCD S巨形a BCD . S巨形2 = 25 2X11= 3= AB . AD,正方形的面积为25,一边长为5, A1D2 = HFf 52 = 29 25

12、= 4, AiD = 2, A1B1 =. EG= aB2+52= I09,4eg J09.2(2).2 S四边形EFGH= S矩形ABC# &巨形ABCD .四边形ABCD面积最大时，矩形 EFGH勺面积最大.如图51中，当G与C重合时，四边形 AiBCD面积最大时，矩形 EFGH的面积最大.此时矩形AiBCD面积=1 ( M 2)=而如图52中，当G与D重合时，四边形 AiBCD面积最大时，矩形 EFGH的面积最大.此时矩形AiBCiD面积=2 1=2, /0 2,矩形EFGH勺面积最大值=174. (2017江苏南通，28, 13分)已知直线y=kx+b与抛物线y= ax2 (a0)相交

13、于 A B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点 C,过 点A作ADLx轴，垂足为D.(1)若/AOB= 60 , AB/x 轴，AB= 2,求 a 的值；(2)若/AO&90 ,点A的横坐标为一4, AC= 4BC求点B的坐标；(3)延长AD BOfi交于点E,求证：DE= CO【分析】(1)如图1,由条件可知 AO时等边三角形，则可求得OA勺长， 在RtAO前可求得AD和OD的长，可求得 A点坐标，代入抛物线解析式 可得a的值；OE BE(2)如图2,作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据 CF/ BG由A的 横坐标为一4,得B的横坐标为1,所以A (4, 16a), B (1,

14、a),证明 ADSAOEB则殷=OD,得a的值及B的坐标；(3)如图3,设AC= nBC由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设Bam2),则A(mn am2n2),分别根据两三角形相似计算 DE和CO勺长即可得出结论.【解析】解：(1)如图1, 抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB/ x轴,.A与B是对称点，O是抛物线的顶点,. .OA OB. /AO匡60 ,.AO呢等边三角形，. A及 2, AB OC.AO BO 1, / BOe 30 ,.OC=石，把A(1,4)代入抛物线y=ax2 (a0)中得：a=布;(2)如图2,过B作BHx轴于E,过A作AGL BE交BE延长线

15、于点 G交y轴于F,图2 CF/ BG.AC AFBC FG,.AO 4BC .AF=4, FG . AF= 4FG A的横坐标为一4,B的横坐标为1,A( 4, 16a),B (1, a), / AOR / BO曰 90/AO / DAR 90 / BO展 / DAO/ ADG / OE&90 .ADS AOEB.股=OD. OE-BE 16a_ 4 ,1 a16a2 = 4,; a0, B（1，2）；(3)如图 3,设 AO nBC由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设 B (no, am2i),贝U A ( mn arfn2),AD= am2n2,过B作BFL x轴于F,D

16、E/ BF, .BO 岸 AEOD. OB OF BF = = , OE OD DE2.OB m am= , OE mn DE也=1, DE= an2n, OE n. OB 1 .- BE 什n OC AE.BCS ABAE CO OB 1 : : AE BE 1+nCO2 2 i 2 d am n + am n 1+n2.am n 1+n 2一 CO= amn,1+ n. DE= CO5. (2017江苏苏州，28, 10分)如图，二次函数 y=x2 + bx + c的图象与x 轴交于 A B两点，与y轴交于点C, O氏OC点D在函数图象上，CD/ x 轴，且C氏2,直线l是抛物线的对称轴，

17、E是抛物线的顶点.求b、c的值；(2)如图，连接BE线段OC的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标； 如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M 与抛物线交于点 N.试问：抛物线上是否存在点 Q,使彳# PQNtAAPMJ 面积相等，且线段 NQ勺长度最小？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，说明理由.(图)僵)【分析】(1)由条件可求得抛物线对称轴，则可求得 b的值；由。房OC可 用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；(2)可设F(0 , m),则可表示出F的坐标，由R E的坐标可求得直线 BE的 解析式，把F坐标代入直线BE解析式可得到

18、关于 m的方程，可求得F点 的坐标；设点P坐标为(n, 0),可表示出PA PB PN的长，作QRLPN垂足为 R,则可求得QR勺长，用n可表示出Q R N的坐标，在RtQRNt3,由勾 股定理可得到关于 n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值 时n的值，则可求得 Q点的坐标，【解析】解：(1) CD/ x 轴，CE2,二抛物线对称轴为x=1. O比 oc qo, c）,，B点的坐标为(一c, 0),，0 = c2 + 2c+c,解得 c= 3 或 c=0(舍去)，. c= - 3;(2) 设点 F 的坐标为 (0 ， m) 对称轴为直线x=1, ，点F关于直线l的对称点F的坐标为(

19、2 , m).由(1)可知抛物线解析式为 y=x2 2x3 = (x1)2 4, 二 E(1 , - 4),.直线 BE经过点 B(3 , 0) , E(1 , 4),利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x 6.丁点F在BE上， m= 2X26= 2,即点 F 的坐标为(0, 2);(3)存在点Q满足题意.设点 P 坐标为（n, 0）,则 P好 n+1, P及 P阵 3-n, PN= - n2+2n+3.作QRL PN垂足为R, 1(n+1)(3- n) = 1(-n2+2n+ 3) QR Q电 1.R点的坐标为点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n1, n2 4n),(n, n2 4

20、n), N点的坐标为(n, n2-2n-3). .在 RtQRN, NQ= 1 + (2n 3)2,. n= 3时，NQK最小值1.此时Q点的坐标为(，-15)； 224点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n+11, n2 4).同理，NQ= 1 + (2n-1)2, . n= 1时，NC最小值1.此时Q点的坐标为(，-15). 224综上可知存在满足题意的点 Q,其坐标为(，-竺)或(9 , - 15). 24246. (2017江苏泰州，26, 14分)平面直角坐标系xOy中，点A B的横坐标 分别为a、a+2,二次函数y=- x2+ ( mi-2) x+2m的图象经过点 A B,且a、

21、 m满足2a m=d (d为常数).(1)若一次函数yi=kx+b的图象经过A、B两点.当a=1、d=- 1时，求k的值；若yi随x的增大而减小，求d的取值范围；(2)当d=4且a乎一2、a才一4时，判断直线 AB与x轴的位置关系，并 说明理由；(3)点A、B的位置随着a的变化而变化，设点 A B运动的路线与y轴分 别相交于点G D,线段CD的长度会发生变化吗？如果不变， 求出CD的长； 如果变化，请说明理由.【分析】(1)当a=1、d=-1时，m=2a-d=3,于是得到抛物线的解析式， 然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线 AB的解析 式求得k的值即可；将x=a, x=a

22、+2代入抛物线的解析式可求得点 A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到一(a m) (a+2) (a+2-mj)(a+4), 结合已知条件2an=d,可求得d的取值范围;(2) 由 d=4 可得到m=2a+4， 则抛物线的解析式为y= x2(+ 2a+2)x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点 A和点B的纵坐标，最后 依据点A和点B的纵坐标可判断出 AB与x轴的位置关系；(3)先求得点A和点B的坐标，于是得到点 A和点B运动的路线与字母a 的函数关系式，则点 C (0, 2m D (0, 4m8),于是可得到CD与m的关 系式【解析】解：(1)当a=

23、1、d=1时，m=2a-d=3,所以二次函数的表达式是y= x2+x+6 a=1,.，点A的横坐标为1,点B的横坐标为3,把 x=1 代入抛物线的解析式得：y=6 ， 把 x=3 代入抛物线的解析式得：y=0， .A (1, 6), B (3, 0).将点a和点b的坐标代入直线的解析式得：爆柴6n，解得：k 03，3k b 0b 9所以 k 的值为 3 : y= x2+ (no-2) x+2m=- ( x m (x+2),二当 x=a 时，y= a2+ (nn-2) a+2im,当 x=a+2 时，y= (a+2) 2+ (nn- 2)丁 yi随着x的增大而减小，且av a+2,二.一 ( a

24、-m) (a+2) ( a+2-nr) (a+4),解得：2am 4,又2 a n=d,，d的取值范围为d-4.(2) .d=4且 a乎一2、a乎一4, 2am=d,m=2a+4.二二次函数的关系式为 y=-x2+ (2a+2) x+4a+8.把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8.把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8. .A (a, a2+6a+8)、B (a+2, a2+6a+8).丁点A、点B的纵坐标相同，.AB/ x 轴.(3)线段CD勺长随m的值的变化而变化.y=-x2+ (rn- 2) x+2m过点 A、点 B,a+2) +2m， ，A (a, a2+ (

25、rn-2) a+2m)、B (a+2, (a+2) 2+ (rn-2) (a+2) +2m). ，点A运动的路线是的函数关系式为 y尸一a2+ (rn-2) a+2m,点B运动的路 线的函数关系式为y2=( a+2) 2+( n 2) ( a+2) +2n ，点 C (0, 2mi), D (0, 4m-8).DC=|2 mn (4rn-8) |=|8 -2m) . 线段CD勺长随m的值的变化而变化.当82m=0时，m=4时，CD=|8 -2m)=0 ,即点C与点D重合；当 m4时，CD：2m- 8;当 mx 4 时，CD=82m7. (2017江苏无锡，28, 8分)如图，已知矩形 ABC前

26、，A及4, AA m 动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点 A运动，连接 CP，作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t (s).(1)若m= 6,求当P, E, B三点在同一直线上时对应的 t的值.(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,求所有这样的m的取值范围.【分析】（1）如图1中，设PD= x.则PA= 6 x.首先证明RtABP中利用勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形求出 AD的值即可解决问题：如图 2中, 合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3.如图3 重合时，点E在BC的上方，点

27、E到BC的距离为3;【解析】 解：（1）如图1中，设PAx.则PA= 6-x.BP= BC= 6,在当点P与A重中，当点P与A. P、B、E 共线，./ BPC= / DPCV AD/ BC/ DPG / PCB/ BP(C= P PCB. BP= BG= 6,在 RtAB呻，. Am+AP=PB,2 .一 、2_ 24 + ( 6 x) = 6 ,，x = 6 2 j5或6+2方(舍弃)， PA 6 2 ，t = (6-275) s 时，B、E、P共线.(2)如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离 为3.作 EQL BC于 Q EML DC于 M 贝U ECt 3,

28、CE= DG= 4图2易证四边形EMC差矩形， C阵 E0 3, / W90 ,E阵 EC2 - CM2 = 7, / DAG / EDM / ADG / M .ADa ADMEAD _ DCDM EM . AD = 4丁 . AA 4 7,如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3.作 EQL BC于 Q,延长 QE交 AD于 M 则 E03, CE= DO4Q 3 C3在 RtECQ, Q仁 D阵 7=77由DMSCDA. DM _ EM =CD AD-7- 1 4 AD. AA 42-,7综上所述，在动点 P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t,使点

29、E到直线BC的距离等于3,这样的m的取值范围 &m4币.8. (2017江苏宿迁，26, 10分)如图，在矩形纸片 ABCW,已知A及1, BC=点E在边CD上移动，连接 AE将多边形 ABCE甘直线AE翻折, 得到多边形AB C E,点R C的对应点分别为点B、C .(1)当B C恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;(2)若B C分别交边 AD CD于点F, G,且/ DA打 (如图2),求 DFG的面积;(3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点 C运动的路径长.【分析】 如图1中，设C巳EC =x,则D 1-x,由AADB DEC可得 竺=胆；，列出方程即可解决问题； DE EC。

30、(2)如图2中，首先证明 ADB , DFGTB是等腰直角三角形，求出 DF即可解决问题；(3)如图3中，点C的运动路径的长为Cc3勺长，求出圆心角、半径即可解决问题.【解析】解：(1)如图1中，设CE= EC = x,则DE= 1-x, / ADB + / EDC = 90 , / B AA / ADB = 90 ./ B AA / EDC , . /B = Z C =90 , AB =A及 1, AA 屈, DB = J3- 1 =近,.ADB DECAD = DB 0DEEC=显, 1 - x x X = 46 2 .CEE=46 2.(2)如图2中，. /BA& / B = / D=

31、90 , / DAM / EA氏 / EAB =./ B AF / B FA= 45/DF岸 /AFB = / DGM 45. D已 FG在 RtAAB F 中，AB = FB = 1,AF= 2 AB = 2 D巳DG=召一应,SADFG= 1 （逐 一 2） = 5 - 76 22 如图3中，点C的运动路径的长为Cc由勺长,在 Rt ADCK -tan / DAG CD =史 AD 3 /DAG30 , AO2CA2, / C AA / DAG 30 ./ CAC =60 ,Cc由勺长=60n二=2九.18039. (2017江苏徐州，28, 10分)如图，已知二次函数y=fx2 4的图象

32、与x9轴交于A B两点，与y轴交于点C, OC的半径为55, P为。C上一动点.(1)点b, c的坐标分别为 母), q)；(2)是否存在点P,使彳# PBC为直角三角形？若存在，求出点 P的坐标;若不存在，请说明理由；(3)连接PB,若E为PB的中点，连接OE则OE的最大值=【分析】(1)在抛物线解析式中令 y = 0可求得B点坐标，令x=o可求得C点坐标;(2)当PB与。相切时， PBa直角三角形，如图1,连接BC根据勾股定理得到BO5, BP=2j5,过R作REx轴于E, PzFy轴于F,根据相 似三角形的性质得到 PF 事=2,设。0BE= 2x, CP =。巳x,得到BE= 3-x,

33、 CF= 2x4,于是得到 FB=U, EP= 22 ,求得 P/U ,当)，过 p5555作PiGS x轴于G, PiHIl y轴于H,同理求得R(1, 2),当BCL PC时， PBCJ直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；(3)如图3中，连接AP, 二。氏OA BE= EP,推出。巳1AP,可知当AP最2大时，OE的值最大,【解析】解：(1)在y = 4x24中，令y = 0,则x= 3,令x= 0,则y = 94,. B(3 , 0), qo , -4);故答案为：3, 0; 0, 4;(2)存在点P,使彳# PBCJ直角三角形，当PB与。相切时， PB直角三角形，如图(

34、2) a,连接BC, O氏 3. OO4,BO 5,. CP，BP, CP =君,b BP=2芯过P2作P2已x轴于E, P2F y轴于F,则 CPFsBBE,四边形OC田是矩形,. P2F CP2 _2P2E BP2设 OC= BE= 2x, CP= OE= x, ，BE= 3 x, CF= 2x 4,BE _ 3 x _2CF 2x 4.FT .P2（U,一丝）, 55过R作PiGL x轴于G, PH，y轴于H,同理求得Pi(-1, 2),当BC!PC时，PB直角三角形，如图(2) b过R作BH! y轴于H,则BOO CHR. CHOBP4H =OC .CHk3.55BH= 4-5 ,5 . P44-553.5省4）；5同理P3（4 .553 5-4）；5综上所述：点P的坐标为：（一1, 2）或（U, 22）或（W5,辿4） 5555或（迤痴4）； 55如图（3）,连接AP, O&OA BE EP, .O已 1AP, 2 当AP最大时，OE勺值最大， 当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=5+J5, OE的最大值为552故答案为：5JL210. (2017江苏盐城，27, 14分)如图，在平面直角坐标系中，直线 y =x2+ 2与x轴交于点A,与y轴交