[整理]函数的单调性极值最值

1、利用导数求函数的极值、最值一、选择题已知函数f(x)在点xo处连续，下列命题中，正确的是(2.A.B.C.D.函数A.C.导数为零的点一定是极值点如果在点X0附近的左侧如果在点X0附近的左侧如果在点xo附近的左侧 y=1 + 3x*3有( )极小值-2,极大值2极小值1 ,极大值1f'f'f'(x)>0,右侧(x)>0,右侧(x)<0,右侧f'f'B.极小值D.极小值(x)<0，(x)<0，那么那么(x)>0,那么2,极大值31,极大值3f(Xo)是极小值f(X0)是极大值f(x0)是极大值3.设f(x)=ax3+bx

2、2+cx+d(a>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是()A. b24ac>0C. b=0, c>0B. b>0, c>0D. b2 3ac<04.(2009广东文，8)函数f(x) = (x3)ex的单调递增区间是()5.A.(巴 2)B. (0,3) C. (1,4)已知函数y=xf' (x)的图象如图 所示(其中f' (x)是函数f(x)的导函数),卜面四个图象中，y=f(x)的图象大致是()4C6.A. 5, - 15C. - 4, - 15 D. 5167.8.g'9.A. -31B.2C.d 3%或-2(2007福建理

3、，11)已知对任意实数(x)>0,贝U x<0 时()A. f' (x)>0, g' (x)>0C. f' (x)<0, g' (x)>0x,有 f(-x)=- f(x), g(-x)=g(x),且 x>0 时，f' (x)>0,B. f' (x)>0,D. f' (x)<0,f(x)是定义在(0, +oo )上的非负可导函数，且满足g' (x)<0g' (x)<0xf' (x) + f(x) w 0 ,对任意正数a、b,B. bf(b)wf(

4、a)D. bf(a)waf(b)若a<b,则必有()A. af(a)wf(b)C. af(b)wbf(a)10 .函数f(x)的定义域为开区间(a, b),导函数f' (x)在(a, b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a, b)内有极小值点()A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个11 .已知函数y=x- ln(1 +x2),则函数y的极值情况是()A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值12 .函数f(x) = x3+ax2在区间1 , +8)上是增函数，则实数a的取值范围是()A. 3,B. 3, +8) C. (-3, +8) D.(巴3)

5、二、填空题13 .已知y = 1x3+ bx2+ (b+ 2)x+ 3在R上不是单调增函数，则 b的范围为. 314 .已知函数f(x)=axlnx,若f(x)> 1在区间(1, 十°0 )内恒成立，实数 a的取值范围为15 .已知函数f(x) = x3 3x的图象与直线y=a有相异三个公共点，则 a的取值范围是16 . f(x)=x3-12x+ 8在 3,3上的最大值为 M,最小值为 m,则M m=三、解答题17,设函数f(x)=x33ax2+3bx的图象与直线12x+ y1=0相切于点(1, 11).(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性.18 .已知函数 f(

6、x)=x3-3x2-9x+ 11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值.19 . (2010 新课标全国文，21)设函数 f(x)=x(ex 1) ax 3 11,21,设函数f(x)=ln(2x+ 3) + x2.求f(x)在区间 一4，4上的取大值和取小值1(1)若a = 2,求f(x)的单倜区间；(2)若当x>0时f(x)>0,求a的取值范围.20.设函数 f(x) = ax3+bx2+ cx+d(a>0),且方程 f' (x)9x= 0 的两个根分别为 1,4. 3(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求

7、f(x)的解析式；(2)若f(x)在(一8, +oo )内无极值点，求a的取值范围.22. (2010 安徽理，17)设 a 为实数，函数 f(x) = ex2x+2a, xC R.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当a>ln2 1且x>0时，ex>x2 2ax+ 1.参考答案、选择题1 .答案C 解析导数为0的点不一定是极值点，例如f(x) = x3, f' (x)=3x2, f' (0)=0,但x= 0不是f(x)的极值点，故 A错；由极值的定义可知C正确，故应选 C.2 .答案D 解析v' =33x2 = 3(1 x)(1+x)令 y

8、' =0,解得 xi = - 1, x2= 1当x<1时，y' <0,函数y= 1 +3xx3是减函数，当一1<x<1时，v >0,函数y=1 + 3x x3是增函数，当x>1时，v' <0,函数y=1 + 3x x3是减函数，当x=1时，函数有极小值，y极小=1.当x=1时，函数有极大值，y极大=3.3 .答案D解析.a>0, f(x)为增函数，(x)=3ax2+2bx+c>0 恒成立，A= (2b)24X 3ax c=4b2 12ac<0,b23ac<0.4 .答案D 解析考查导数的简单应用.f (x

9、) = (x- 3)' ex+(x3)(ex)' = (x- 2)ex,令 f (x)>0,解得 x>2,故选 D.5 .答案C解析当 0Vx<1 时 xf' (x)<0，f' (x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数当x>1时xf' (x)>0, .f' (x)>0,故y=f(x)在(1, +8)上为增函数,因此否定 A、B、 D故选C.6 .答案A解析v' =6x2-6x- 12=6(x 2)(x+ 1),令 y' =0,得 x=2 或 x=- 1(舍). f(0) =

10、 5, f(2) = -15, f(3)=-4, .ymaX=5, ymin= 15,故选 A.7 .答案C解析y' =2x 2,令 y' =0 得 x=1.f(a) = - a2-2a+ 3 = £,当aw 1时，最大值为f(1) = 4,不合题意.当1<a<2时，f(x)在a,2上单调递减，最大值为解得 a= 2或a= 3(舍去).8 .答案B解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x<0时，f' (x)>0, g' (x)<0.9 .答案C 解析. xf/ (x

11、)+f(x)<0,且 x>0, f(x)>0,，f' (x)< f(x)-,即 f(x)在(0, + 8)上是减函数，又 0V avb,af(b)< bf(a).x10 .答案A解析由f' (x)的图象可知，函数f(x)在区间(a, b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数 f(x)在区间(a, b)内只有一个极小值点.21 2,2x(x 1)11 .答案D 解析=1 /+1)' =一一 = 1令v =0得x=1,当x>1时，V >0,当x<1时，V >0,，函数无极值，故应选 D.12 .答案B 解析f(x) =

12、 x3+ax2 在1 , + 8)上是增函数，.1 (x)=3x2 +a>0在1, +8)上恒成立，即a>3x2在1, +8)上恒成立 又在1, +8)上(3xjmax=3 .-.a> -3,故应选 B.二、填空题13 .答案b<1 或 b>2解析 若 y' = x2+2bx+b+2>0 恒成立，则 = 4b2 4(b + 2)W0,-1<b<2,由题意 bv1 或 b>2.14 .答案a> 1解析 由已知a>1 + lnX在区间(1, +8)内恒成立.x1 + lnxlnx设 g(x) =-,则 g (x) = - -

13、2-v 0 (x> 1), xx.g(x) = 5也在区间(1, + 8)内单调递减, x.g(x)<g(1), -. g(1)=1,1+ lnx< 1 在区间(1,+8)内恒成立，.-.a>1.x15 .答案( 2,2)解析令 f' (x)=3x23=0得 x= 土,可得极大值为f(1)=2,极小值为f(1)=2,y=f(x)的大致图象如图观察图象得2<a<2时恰有三个不同的公共点.16 .答案32解析f (x)= 3x2-12由 f' (x)>0 得 x>2 或 x<2,由 f' (x)<0 得一2<

14、x<2.f(x)在 3, 2上单调递增，在 2,2上单调递减，在2,3上单调递增.又 f(3)=17, f(2)=24, f(2) = -8, f(3) = 1,，最大值 M=24,最小值 m= 8,M-m= 32.三、解答题17 .解析(1)求导得 f' (x)=3x2-6ax+3b.由于f(x)的图象与直线12x+ y1=0相切于点(1, 11),所以f(1)= 11, f' (1) = 12,1112,解得 a= 1, b= 一 3.1-3a+3b=-即|3 6a+ 3b=(2)由 a=1, b= 3 得f' (x) = 3x2-6ax+3b = 3(x2

15、2x- 3)=3(x+1)(x 3).令 f' (x)>0,解得 x<1 或 x>3;又令 f' (x)<0,解得1<x<3.所以当xC(oo, 1)时，f(x)是增函数；当xC(3, +8)时，f(x)也是增函数；当 xC (1,3)时，f(x)是减函数.18 .解析f' (x) = 3x2-6x- 9=3(x+ 1)(x-3),令 f' (x)=0,得 x1= 1, x2=3.x变化时，f' (x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示:x(OO, 1)-1(-1,3)3(3, +8)f' (x)十0一

16、0十f(x)增极大值减极小值增f(-1)f(3)(1)由表可得函数的递减区间为(一1,3);(2)由表可得，当x=1时，函数有极大值为f(1)=16;当乂= 3时，函数有极小值为 f(3) = 16.11 C19 .解析(1)a = 2时，f(x)=x(ex 1) 2x2, f (x) =ex- 1 +xex-x= (ex-1)(x+ 1).当 xC(oo, 1)时，1(x)>0;当 xC (1,0)时，f' (x)<0;当 xC(0, +8)时，1(x)>0.故f(x)在( 8, 1, 0, +8)上单调递增，在1,0上单调递减.(2)f(x)=x(ex- 1-ax

17、).令 g(x)= ex1 ax,则 g' (x) = exa.若aW1,则当xC(0, +8)时，g，(x)>0, g(x)为增函数，而g(0)=0,从而当x>0时 g(x)>0,即 f(x)>0.当 a>1,则当 xC (0, Ina)时，g' (x)<0, g(x)为减函数，而 g(0) = 0,从而当 x (0, Ina) 时 g(x)<0 ,即 f(x)<0.综合得a的取值范围为（00, 1.20 .解析本题考查了函数与导函数的综合应用.由 f(x)=a 33x+ bx2 + cx+ d 得 f' (x) = a

18、x2 + 2bx+ cf' (x)- 9x=ax2+2bx+ c9x=0 的两根为 1,4.a 4- 2Z)+ e - 9 = 016口 + XA + c 36 = 0|2A+c-6=0(1)当 a=3 时，由(*)式得 *'+12=。，解得 b= 3, c=12.又曲线 y= f(x)过原点,d= 0.故 f(x) = x3- 3x2 + 12x.(2)由于 a>0,所以 “f(x)= 3x3+bx2+cx+d 在(一00, + 8)内无极值点”等价于 "f ' (x)= ax2 + 2bx+ c> 0 在(一00,+8)内恒成立”由(*)式得

19、2b=95a, c= 4a.又A= (2b)2-4ac= 9(a-1)(a-9)a >0A =9(。- I ) (cj-9) 得 aC1,9,即 a 的取值范围1,9.21.解析f(x)的定义域为3+8)2'十，f (x) = 2x +24x2+ 6x+ 22x+32x+ 32(2x+ 1)(x+ 1)2x+ 3当一2<x<-1 时,f' (x)>0;当一1<x< 2时，f' (x)<0；当 x> 2时，f' (x)>0,所以f(x)在-4, 4卜的最小值为f&2)= ln2 + ；.(-3、'_fll L"+ I 4J %厂 1n2 +9-1n7162 16,3,1 1 , 1n7 + 2=211-,491n3严，所以f(x)在区间一3, 1 I上的最大值为f1 != 1n； + ；622.分析本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.解题思路是：(1)利用导数的符号