双曲线的简单几何性质(经典)

1、2 y_ b2i1的简单几何性质双曲线的简单几何性质2x【知识点u双曲线a2范围：I x I a,y R.对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于 x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：Ai(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴长为 2a,虚轴长为2b, 且 c2=a2+b2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程by=ax,或令双曲线标准方程22x y2.2a _ b=1中的1为零即得渐近线方程c(5)离心率e= a 1,随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔 (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2 = a2(a丰唯的渐近线方程为y= 士痛心率e=.2222x yx

2、y共钝双曲线：方程/-/ = 1与7-/ =-1表示的双曲线共钝，有共同的渐近线 和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.2222x yx y注意：(1)与双曲线”-/ = 1共渐近线的双曲线系方程可表示为 7-于=入(入园0入为待定常数)2222x yx y(2)与椭圆a2+b2 =1(ab0)共焦点的曲线系方程可表示为a2-b2=1( Ka2,其中b2-A0时为椭圆，b2入a0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲b2线的准线，焦准距(焦参数)p=刀，与椭圆相同.1、写出双曲线方程看嚏1的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为y 3x,求双

3、曲线的离心率43、求以2x 3y 0为渐近线，且过点p (1,2)的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在 y轴上，焦距为16,离心率为4,求双曲线的3标准方程。225、求与双曲线- L 1共渐近线，且经过A 2V3, 3点的双曲线的标准方及离心率.169【知识点2】弦长与中点弦问题(1) .直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB, A、B两点分别为A(X1,巾)、B(比，y2),则弦长AB .1k2X2X1I.(1k2)(X1 X2)2 4x1X2112V2y1(112)(y1 y2)2 4丫%,这里体现了解析几何“设而不求”的,k

4、2k2解题思想.(2) .中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,22设A(xi, yi)、B3y2)为椭圆、i (ab0)上不同的两点，M(x0, y0)是AB的 a b2222中点，则KabKom= 对于双曲线X2 i (a0,b0),类似可得：KabKom= ;aa ba对于y2=2px (p?0)抛物线有Kab= 2p ;另外，也可以用韦达定理来处理.yi y2【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P作直线与双曲线22x2 1(a 0,b 0)只有一个交点，这样的直线有几条(几何角度)a b6、若y=kx-1与双曲线x2 y2 4只有一个公共点，求k的

5、范围.【变1】有两个公共点【变2】无公共点【变3】与右支有两个公共点【变4】与右 支只有一个公共点27、过双曲线x2七1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点，若|AB|=4，这样的直线有几条【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e (0, 1),双曲线的离心率e 1,抛物线的离心率e 1来解决。8、已知双曲线C: =1(a0, b0)的左，右焦点分别为F1, F2,过F2作双曲线C的 一条渐近线的垂线，垂足为 H,若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心 率为；9、已知双曲线=1(a0, b0)的两条渐近线均和圆

6、C: x2 + y2-6x+ 5 = 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为:二、直接求出a、c,求解e：已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e 来解决。a2210、点P(3,1)在椭圆=yr 1(a b 0)的左准线上，过点P且方向为a (2, 5) a b的光线经直线y 2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为.A.2 _2 C.2三、构造a, C齐次式，解出e：根据题设条件关系式，借助a、b、c之间的关系，沟 通a、c的关系(特别是齐二次式)，进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离 心率e。2211、已知Fi、F2是双曲线、二1(a 0, b

7、 0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角 a b形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是.A.4 2.3.3 1 .mD.3 12212、过双曲线xrax轴的直线与双曲线相交于2yr = 1(a 0, b 0)的左焦点且垂直于 bM、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于O四、寻找a与c的关系式：由于离心率是c与a的比值，故不必分别求出a、c的值, 可寻找a与c的关系式，即a用c来表示即可解决。13、设椭圆的两个焦点分别为FF2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若FFF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是口 .A.-B.=C.2 2D.

8、2 122五、统一定义法：由圆锥曲线的统一定义，知离心率 e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即IMF1 eod2214、设椭圆x211(a b 0)的右焦点为Fl,右准线为11,若过Fl且垂直于X轴的 a b弦长等于点Fi至打i的距离，则椭圆的离心率是 【总结3】三种常见的解题方法(1)转换法一一为解题化归立意2215、直线1过双曲线与 41的右焦点，斜率k=2若1与双曲线的两个交点分别在左 a b右两支上，则双曲线的离心率e的范围是2 e 3 e 5(2)几何法一一使数形结合带上灵性216、设P为双曲线x2 L 1上的一点，Fi, F2是该双

9、曲线的两个焦点，若 12|PFi|:|PF2| 3:2,则PF1F2 的面积为A. 6出 B. 12 C.12V3 D. 24(3)设而不求一一与借舟弃舟同理17、双曲线x2 y2 1的一弦中点为(2, 1),则此弦所在的直线方程为2y 2x 1 y 2x 2 y 2x 3 y 2x 3、在双曲线x2 匚1上，是否存在被点 M (1, 1) 2平分的弦如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由。高考题选221.(浙江卷)过双曲线与yT 1(a 0,b 0)的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲 a b线的两条渐近线的交点分别为. uuu若ABA. B.luuC,则双曲线的离心率是口 2C

10、. D.22.（浙江卷）已知椭圆J a0）的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且BF x轴，直线交轴于点.uurAP2PB ,则椭圆的离心率是12 c.3D-23.（全国卷）双曲线-62 y31的渐近线与圆（x3)2y2 r2(r 0)相切，则 r=.(A) (B) 2 (C) 3 (D) 64.（江西卷）设和为双曲线勺 a24 1 (a 0,b 0)的两个焦点，若E, F2 b,P(0,2 b)是正三25.设双曲线三a2 匕 b2角形的三个顶点，则双曲线的离心率为口A. -B. 2C. 5D. 3221(a 0,b0）的虚轴长为2,焦距为，则双曲线的渐近线方程为【】.6.（湖北卷）已知双曲线

11、气2已知双曲线2Ay2 y2、2xBy2xCy二xDyx2221的准线过椭圆-42*1的焦点，则直线y kx 2与椭圆至多有一个交点的充要条件是,|U? K碧K ，4u3（四川卷文）2 y b2I（b 0）的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为y X ,点P（gy）在双曲线上.则=A.-12B.-2C.2【问题11过平面内任一点P作直线与双曲线 多 a2 1（a 0,b 0）只有一个交点，这 b样的直线有几条（几何角度）有e2 2e 2 0解得e 13（e 1 73舍去），焦半径12解：如图2,所给的语言可转化为通径2b2 一 .|MN| 2|FiA|,即2X(c aac2 a2 a2 ac

12、故 e2 e 20解得e 2或e 1 （舍）故填【答案】P在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；P在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；P在双曲线外，若P在渐近线上且P为原点时，0条；若P在渐近线上且P不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）;若P不在渐近线上，0条；有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）8答案解析 取双曲线白渐近线y=x,则过F2与渐近线垂直的直线方程为y=-（x- c）,可 解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程一=1可得一=1, 整理得c2 = 2a2,即可得e=.9答案 一=1解析双曲线一=1的渐近线方程为y=女，圆C

13、的标准方程为（x3）2 + y2 = 4, 圆心为C（3,0）.又渐近线方程与圆C相切， 即直线bx ay= 0与圆C相切，= 2,.SbJda2.又. 一 = 1的右焦点F2（, 0）为圆心C（3,0）,.a2+b2=9.由得a2=5, b2=4.双曲线的标准方程为一=1.10解：由题意知，入射光线为y 1勺（x 3）,关于y 2的反射光线（对称关系）23为5x 2y 5 0,则P（ 3, 1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有 c 3解5c 5 0i-得a疯c 1知e 2尊故选A11解：如图1, MF1的中点为巳则点P的横坐标为|o公式 |PF/ exp a 有c 9x（ 9） a,即 c

14、2 a 213解:由题意，得IPFil匹PF2I V2IF1F2I 2a时直线tan tan2c2a;双曲线中e 1,故取16【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:1,bPF1 3r, PF22r.QPF12a于是PF16, PF24.Q故知 PF1巳是直角三角形，/ F1PB=90 .PF1PF2S PHl与双曲线的两c2r5212 .选 B.2 a16 422 e13 .设;【评注】解题中发现 PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧可是，这一美妙的结果不是每个考生 临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处目匕17【解析】设弦的两端分别为

15、 A X1J1 , B X2J2则有:2Xi2V12V22X22V2XX2二弦中点为(2,1)X1X2V1V24.故直线的斜率2X1X2X1X22.则所求直线方程为:XiX2y 1 2x2 y 2x 3,故选c而设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它 18如果不问情由地利用“设而不求”的手段,.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦 AB,其两端分别为：A (xi, Yi), B(%, y2).那么:1 2 2y11 2X2-y21cXi X

16、2XiX2- Yiy2Yiy202. M (1, 1)为弦AB的中点，：XiX2故存在符合条件的直线 AB,其方程为:其一：将点M ( 1 , 1)代入方程X2的斜率kAB2,而双曲线的渐近线为yiV21,1发现左式=1 2J2x .这里 J2 p 2问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件x1x2y1y20，kAB-21.这个结论对不对呢我们只须注意如下两点就够了:故点M (1, 1)在双曲线的外部；其二：所求直线AB说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由2 y22x2x222x 122x2 4x 3 02这里 16 24

17、p 0 ,故方程(2)无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当x1 x2时才可能求出k=2.若x1 x2,必有y1 y2 0 .说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论;对于A a,0 ,则直线方程为不存在符合题设条件的直线.直线与两渐近线的交点为B, C,ababa ba buuurBC22a2b-2-2，a b2a% uuuPT)，空,w ,因a ba buuir uur2AB BC,4 a2b2, e2. D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用.【解析】对于椭圆，因为AP 2PB,则OA2OF, a2c，e 25【解析】由已知得到b 1,c3, ac2 b2行，因为双曲