简单数学之与圆有关的角的复习(含答案)

1、简单数学之与圆有关的角的复习（含答案）AB°由此，可知，圆周角和圆心角同根同源, （二）、定理与性质：圆心角、圆周角的转化都以它们所对的弧为基础各部分设计意图说明一、入门：力求整合相关知识，减少学生记忆，增强认知，选用基本问题作为习题，提升学生基础 知识应用能力。二、提高：总结相关知识推衍出的常用结论，学生可以通过这些结论的证明实际演练基础知识的应 用，选择教学进度内、提升难度后的例题和练习再次强化学生分析问题、解决问题能力。三、中考视角：选题以中考考查范围为视角，提高学生各部分知识的综合应用能力。题目中将加入 部分原创试题，目的是让学生开拓视野，给老师中考复习增加素材。简单数学之与

2、圆有关的角复习一、入门（一）、定义:圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。 如图1 , / AOB是圆心角，它所对的弧是劣弧AB其实，这个图里还有一个圆心角，就是/AOB优弧AB所对的圆心角，很多时候我们都忽略它的存在，有时候它也很有用，比如，证明圆内接四边形性质时。圆周角：顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。换个角度看，圆周角就是两条有公共端点的弦所夹成的角。如图1, /AOB是圆周角，它是由弦 AC、弦BC所夹成的，点C是它的顶点，而剩余的两个弦的端点，恰好构成了圆周角作对弧3 / 9图111、课本上，我们有弧、弦、圆心角的关系定理，还有圆周角定理及其推论，如果我们将它们整合一下可

3、以得到五量关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角，两条弦，两条弦的弦心距、两条弧中，有一组量 相等，其余各组量分别对应相等。应用五量关系，证明圆中相关要素的相等关系是比较好的选择。例题1:如图2,。0中，弦 AB、CD交于点E,且AB=CD,求证：AC=BD解析：因为是在同圆中，已知弦相等，我们可以推出弦所对的弧相等，也可以推出弦所对的圆周角相等.方法一：证明：如图 2, AB=CD AB = CD-AC = BDAC=BD方法二：证明：如图 3,连OA, OB, OC, OD AB=CD ./ AOB=Z COD ./ AOC=Z BOD . AC=BD2、由圆周角定理还可以得到半

4、圆或（直径）所对的圆周角是90。； 900的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形对角互补。图4这是圆中经常用到的推论，除了用于证明，遇直径经常连接直径所对的圆周角。例2:如图4, AB是。O的直径，BD是。O的弦，延长 BD到C,使AC=AB, 与CD的大小有什么关系？为什么？解析：AB是。的直径，则连 AD后，/ BDA=90° ,即ADBC,因AC=AB, 等腰三角形三线合一，BD=DC （证略）3、练习1 .如图5,已知点E是。上的点，B、C分别是劣弧 AD的三等分点，/BOC=46,，则ZAED的度数为.2 .如图 6,。中 OA_LBC, /CDA=25,，则 NAOB的度数

5、为3 .如图7,点C、D在以AB为直径的。上，若/BDC=28,则NABC=度.4 .如图8,。O中，弦AB, DC的延长线相交于点 P,如果/AOD =120, , / BDC =25 ,那么PP =.5 .如图 9, AB=OA=OB=OC,则/ ACB 的大小是（）A. 40°B, 30°C. 20°D. 35°二、提高（一）、典型结论：1、将圆周角、圆心角与圆内其它知识整合在一起，可以得到许多结J论：如图10, O O内切于 ABC, D、E、F分别为切点，E为DF上 任意一点。将相应各点连接在一起可以得到如下结论：190& + -jLA

6、（1） / BOC=1 90* -"（2） / DEF =事实上，当点 E在优弧DF上（与D、F不重合）运动时，总有该结 论成立1 90& + ±丹（3） / D5F=2、实际计算中，我们还可以发现弦长、半径与弦所对圆心角之间的关系：已知，O O半径为R,当弦AB=R时，圆心角/ AOB=60 ;图10当弦AB=/"'r时，圆心角/ AOB=90 ;简单数学之与圆有关的角的复习（含答案）当弦ABK&R时，圆心角/ AOB=120-（本条结论应用程度相当高一定要熟记）；3、圆内接四边形外角等于内对角（二）、例题例3:如图11, A、B、C、D

7、四点均在一圆弧上，弦 BC / AD,且直线 AB与直线CD相交 于 E 点。若/BCA=10 °,/BAC=60 s,则/BEC= （）A、35 sB、400C、60°D、70s 。分析：由三角形外角知识可知 /EBC=/BCA+/BAC=70°,由BC/ AD ,可得/EAD = /EBC=70' 由 A、B、C、D 四点共圆，/EAD+/BCD=180 又因/BCE+/BCD=180 口可彳#/BCE=70 口，则/BEC=40。例4:如图12,。0为 ABC的外接圆，其中D点在 晶上，且ODLAC.已知/ A=36°,*-ZC=60

8、76;,则/ BOD的度数为何？（）广' ,A、132 °B、144°C、156 s D、168°/分析：本题一种解法 是连接CO,由圆周角定理可得/ BOC=72。，由等腰三角形内角和求/ BCO =54 °,则/ OCA =6 ° ,由 ODLAC 可得/ COD=84 ' 则/ BOD = ZBOC + Z个、 COD=156°图 12本题另一种解法，连接CO,由圆周角定理可得/ BOC=72°,因为ODLAC,由垂径1 1定理，DC=2AC，贝U有/ COD=2 Z AOC = Z ABC=18036

9、 -60 =84。，/ BOD=Z BOC + Z COD=156S例5:如图13, BC为。的直径，ADLBC于D, P是A C上一动点，连接 PB分别交AD、于点 e, f.q（1）当 PA=AB时，求证：AE=BE; 图1（2）当点P在什么位置时，AF=EF?证明你的结论.分析：（1）可连AB,由BC是直径，ADXBC,由同角的余角相等可知/BAD=ZC,由PA=AB可得/ ABE=/BAD。（2）我们可以通过倒推的方法解决这类问题。当AE=BE时，可得/ AEF = /AFE,由（1）可知，/ ABP+/AFB=90° , / PBD+/BED=90° ,由此可知，

10、/ ABP=/PBD,所以分=£。按此思路，正推回去 即可。（1）证明：连接AB,BC为。O的直径，AB± AC.又 ADXBC, / BAD+Z DAC = Z C+Z DAC=90° ./ BAD=/C.- PA=AB ./ ABE=/C./ ABE=Z BAD.AE=BE.(2)当PA=PC时，AF=EF. ./ PBC=/C. 90° - / PBC=90° - / C.4 / 9简单数学之与圆有关的角的复习（含答案）图23即/ BED=/ DAC. / BED=/AEFDAC=/AEF . AF=EF（三）、学段练习1 .如图15,在

11、。中，圆心角/BOC=60二则圆周角/BAC等于（）A. 60°B. 50sC. 40°D, 30°的大小为（）A. 10B. 20C. 30D3 .如图17,正方形 ABCD内接于。，点E在劣弧AD上，则A. 45,B . 60C . 30D . 554 .如图18,已知CD为。O的直径，过点 D的弦DE平行于半径 度数是（）A.50oB. 40 oC. 30 o®BE图15图16图175 .如图19所示，小华从一个圆形场地 A点出发，沿着与半径. 40/ BECT （）OA,若/ D的度数是50°,则/ C的E D.25oC 图18OA夹角

12、为a的方向行走，走 力2.如图16,量角器外缘边上有 A, P, Q三点，它们所表示的读数分别是 180,70 , 30 ,则/ PAQ场地边缘时处于弧 AB上，此时/AOE =56 ,则a的度数是（ pnpnA. 52B. 60"C. 72D. 766.如图20,已知在。O中，半径 OAOB, C是OB延长线上一点，图19AC交。于D,求证：B后，再沿着与半径 OB夹角为a的方向折向行走，按照这种方式，小华第五次走到弧AD的度数是/ C的2倍.三、中考视角1 .如图21,四边形ABCD内接于。O, / 连接DP, BP,则/ BPD可能为度（2 .如图22, MN是。O的直径，MN

13、=4, / 上的一个动点，则 PA+PB的最小值为3 .如图23,等边 ABC内接于。O, P是,BP,过点C作CM / BP交PA的延长线于点（1）填空：/ APC=, / BPC=CByQ j图20占9DAB=130 ,连接OC,点P是半径OC上任意一点，隈，1写出一个即可）“图2；AMN=40°,点B为弧AN的中点，点P是直径MNAB上点（点 P不与点A、B重合），连 AP、'、/M.图 22yj4 / 9简单数学之与圆有关的角的复习（含答案）(2)求证： ACMABCP;(3)若PA=1, PB=2,求梯形 PBCM的面积.4 .如图，AD是。O的直径.(1)如图24

14、-1 ,垂直于AD的两条弦BiCi, B2c2把圆周4等分，则/ Bi的度数是 , / B2 的度数是;(2)如图24-2 ,垂直于 AD的三条弦 BiCi, B2c2, B3c3把圆周6等分，分别求/ Bi, / B2,/ B3的度数；如图24-3 ,垂直于AD的n条弦BiCi, B2c2, B3 C3,，BnCn把圆周2n等分，请你用含 n的代 数式表示/ Bn的度数(只需直接写出答案).图 24-i图 24-28 / 905 .如图25,射线PG平分/ EPF, O为射线PG上一点，以。为圆心，i0为半径作。O,分别与/ EPF两边相交于 A、B和C、D,连结 OA,此时有 OA/ PE

15、.(i)求证：AP = AO;(2)若弦 AB=i2,求 tan/OPB 的值；(3)若以图中已标明的点 (即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为.G6 .(原创)已知，O。的半径为icm,弦AB、CD的长度分别为 J2cm,icm ,则直线AC、BD所夹 的锐角a =.(本题如果仔细分析情况较多需要仔细思考具体分析请看答案)答案与解析一、入门3、练习1.69 °2.50 °3.55 度.4.35 °.5. B二、提高(三)、学段练习1. D2. B3. A4. D5. A6. 连接OD,A在直角 AOC 中，/ 0=90° - Z

16、A一、在 OAD 中，. OA=OD/ A=Z ADOC)AOD=180-2 / A，/AOD=2/C./ AOD的度数就等于弧 AD的度数弧AD的度数是/ C的2倍三、中考视角1. 802. 2衣.解析：解：过 A作关于直线 MN的对称点A',连接A' B,由轴对称的性质可知 A' B即为PA+PB的最小值，连接OB, OA' , AA' , AA'关于直线 MN对称，笈玄尸./AMN=40°,A' ON=80°, / BON=40°, / A' OB=120°,l过 O作 OQA'

17、; B 于 Q,在 RtAA' OQ 中，OA' =2,. A' B=2A' Q=2 灰，即FA+PB的最小值2立.故答案为：2%."C 耳超13. (1)解：/ APC=60° , /BPC=60° ;?/(2)证明：0M / BF, ./ BPM+/M=180° ,/PCM = /BPC,简单数学之与圆有关的角的复习（含答案） . / BPC=/BAC=60° , ./ PCM=/BPC=60° ,，/M=180° -/BPM=180° - (/APC+/BPC) =180

18、76; -120 ° =60° ,. M = /BPC=60° ,又A、P、B、C四点共圆， ./ PAC+/PBC=180° , . / MAC+/PAC=180° ./ MAC=/PBCAC=BC, ACMABCP;(3)解：作 PHXCM 于 H, ACMABCP, CM=CP AM =BP,又/ M=60° ,.PCM为等边三角形，CM =CP =PM =PA+AM=PA+PB=1+2=3,在 RtA PMH 中，/ MPH=30° ,11 / 9，S梯形PBCM=2 (PB+CM) X PH=2(2+3) X =4

19、1-J l_4.解：(1)垂直于AD的两条弦B1C1, B2c2把圆周4等分，则AC1是圆的8,因而度数是45° ,因而/B1的度数是22.5 ° ,同理品2的度数是135度，因而，/ B2的度数是67.5 ° ;(2)二.圆周被 6 等分，bc1=(1c2=C2C3=360° +6=60° 二.直径 AD ± BiCi1 1 1 11 ACi=2BCi=30 ，/ '"=2aCi=15 ，b2=2Ac2=2 (30 +60 )=45 0 ,同理/ B3=75°36()D|3600(3) BnCn把圆周2n等分，则B"的度数是：你，则/BnAD=8律，在直角 ABnD中，/Bn=90。 3600450°-加=90 - n .5.证明：(1) PG 平分/ EPF, ，/DPO=/BPO , . OA/ PE,，/DPO=/POA , ./ BPO = /POA,EO G .PA=OA;1解：(2)过点O作OH ±AB于点H ,则AH=HB = - AB2OH