单摆实验教学设计人教版(优秀教案)

1、综合设计性单摆实验讲义毛杰健，杨建荣单摆是由一摆线l连着重量为的摆锤所组成的力学系统，是力学基础教科书中都要讨论的一个力学模型。当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯摆动时发现，摆长一定的摆，其摆动周 期不因摆角而变化，因此可用它来计时，后来惠更斯利用了伽利略的这个观察结果，发明了 摆钟。如今进行的单摆实验，是要进一步精确地研究该力学系统所包含的力学线性和非线性 运动行为。练习一是单摆的基础实验，适用于大学低年级开设，练习二是单摆的设计性实验， 适用于高年级学生学习和认识非线性物理开设。练习一单摆的基础实验实验目的、学会使用计时器和米尺，测准摆的周期和摆长。、验证摆长与周期的关系，掌握使用单摆测量当

2、地重力加速度的方法。、初步了解误差的传递和合成。二仪器与用具单摆实验装置，计时器，米尺。三实验原理利用单摆测量当地的重力加速度值用一不可伸长的轻线悬挂一小球，作幅角日很小的摆动就是一单摆。如图所示。设小球的质量为，其质心到摆的支点。的距离为l （摆长）。作用在小球上的切向力的大小为mg sin 6 ,它总指向平衡点 O'。当日角很小，则sine,切向力的大小为 mgO ,按牛顿第二定律，质点的运动方程为ma切=-mg sin 0 , 即d汨ml 2dt=-mg sin 日,因为sin6电日,所以驾=3,出2 i()这是一简谐运动方程（参阅普通物理学中的简谐振动），（）式的解为e(t)=

3、Pcos(80t 十句,式中，P为振幅，中为幅角，切0为角频率（固有频率），T为周期。可见,图1单摆示意图单摆在摆角很小，不计阻力时的摆动为简谐振动，简谐振动是一切线性 振动系统的共同特性，它们都以自己的固有频率作正弦振动，与此同类的系统有：线性弹簧上的振子，振荡回路中的电流，微波与光学谐振腔中的电磁场，电子围 绕原子核的运动等，因此单摆的线性振动，是具有代表性的。由（）式可知该简谐振动固有角频率80的平方等于g/l,由此得出l2 lT =2冗 J一， g =4几产，() g1单摆侧面图单摆正面图图2单摆结构示意图由（）式可知，周期只与摆长有关。实验时，测量一个周期的相对误差较大，一般是测 量

4、连续摆动个周期的时间，由（）式得=4二2 n2lt2()式中冗和不考虑误差，因此（）式的误差传递公式为()从上式可以看出，在 国、N大体一定的情况下，增大l和对测量有利。四实验内容1、分别用米尺和游标卡尺，测量摆线长和摆球的半径.摆长l等于摆线长加摆球的半径。2、当摆球的振幅小于摆长的 工时，摆角日<5'123、如果用停表测量周期，当摆锤过平衡位置 O,时，按表计时，握停表的手和小球同步运动， 为了防止数错值，应在计时开始时数“零”，以后每过一个周期，数，。以减少测量周期的误差。4、如果用计时器测量周期，参见附录有关计时器的使用.5、重力加速度的测量实验方案一：改变单摆的摆长l

5、,测量在5 <5二的情况下，连续摆动次的时间，填入表中。表：改变摆长l ,在日<5 =的情况下，连续摆动次时间的测量结果摆长l ()周期()周期()周期()周期()表的测量数据，有二种处理方法：(1)作图法：根据表的数据，作l直线，在直线上取二点和，求直线斜率K = y1 - y2 ,由()x1 - x2根据()式求重力加速度(2)计算法：根据表的数据 的重力加速度， 算不确定度.，分别计算，不同摆长 然后取平均，再计式知实验方案二：不改变单摆的摆长l ,测量在5 <5二的情况下，连续摆动次的时间。参考“六测量举例”处理实验数据。测量同一摆长不同摆角下的周期，比较摆角对的影响

6、。 表摆角对周期的影响摆角0 (度)周期()五回答问题、设单摆摆角H接近0一时的周期为To,任意摆角日时周期，二周期间的关系近似为12 1T=T0(1+sin2), 42若在e =10 =条件下测得值，将给值引入多大的相对误差？、有一摆长很长的单摆，不许直接去测量摆长，你设法用测时间的工具测出摆长?六测量举例用单摆测表 用游标卡尺测求的直径()表用米尺测摆线长x1 (cm)x2 (cm)dl =x2 - x1 + 一2表 用电子秒表或用计时器测的值()l =1.1362 ±0.0001 (m),t = 106.88 士 0.02(s),已知 g =4n2l n2/t2,Ag/g/l

7、+2xM/t ,结果 g =9.817 ±0.005(m/s2),上述结果中的0.005(m/s2)仅为标准偏差，未估计其它的不确定度。练习二单摆的设计性实验一实验目的、学会用相图法探究单摆的运动行为。、改变摆线和摆球，考查阻力对单摆运动行为的影响。二实验原理单摆的线性振动是一种近似，实际上，单摆在振动的过程中，既受到阻力又与摆角有关, 在小阻尼条件下，可认为单摆所受到的阻尼力与摆的速度成正比，因此，在单摆的运动方程 中加进了阻尼力项后，其动力学方程为：d汨d1m l -+ 11 +m g sin 日=0 ,()dt2dt式中，第二项就是单摆受到的阻尼力,尸为阻尼系数，在小阻尼条件下

8、,了可视为常数，取P =一，P为无量级阻尼系数，由（）式，得 2md2 二d?2- +2P +«o sin 0 = 0 , 出 dt（）式为一非线性方程。物体运动的非线性行为比较复杂，下面我们讨论（）式的几种特殊 情况，介绍描述运行行为的相图法。、小角度无阻尼单摆运行的相轨图无阻尼情况下，¥ =0（p =0）。正弦函数用级数展开为sin 3一二3!5!十7!在小角度情况下，忽略（）式的高次项, 进行一次积分，得sine =日，由式退化到（）式，并对（）式02 r22 = E,d为积分常数，设 日=2为角速度，则有dt2 =2E,如果设（）式中的 日为横坐标，e,为纵坐标，（

9、）式表示的图像如图所示。把以S和日定义的平面称为相平面（相空间），在相平面中，表示的运动关系图称为相图，由（）式决定的 单摆运动行为的相图，为一椭圆，这种在相平面上表示运动状态的方法，称为相平面法。相 图上每一个点表示了系统在某一时刻的状态，如图中的摆角与角速度运动状态图，系统的运 动状态则用相图上的点的移动来表示，点的运动轨道称为轨线。这种用相空间里的轨线来表示系统运动状态的方法是法国数学家宠加莱（）于世纪末提出的，已成为广泛使用的一种描述系统运动状态的方法。对于小摆角无阻尼的单摆运动，摆长I 一定时，其椭圆轨线的长短轴不变，当改变摆长 i时，将得到不同的椭圆轨线。相轨线的测量：选定摆长I,

10、使摆球作小角度摆动，调节光电门竖直和水平控制杆，使摆 球的档光片经过光电门，将光电门竖直杆调节到某一角度，测量摆球经过该位置时，来回的即时速度，角速度 S=v/1。调节光电门到新的位置，测量结果填入表中，根据表的测量结果作日S图。表 小角度无阻尼单摆的角度与角速度的测量结果6向左向右e = v /1向左向右利用0日相轨图，研究小角度无阻尼的单摆动运行规律，并与练习一进行比较。、小角度阻尼单摆的运动行为研究将单摆的摆线加粗，摆球的质量减小而体积增大，如用乒乓球，组成一个阻尼单摆，此时阻力对单摆的影响更加明显，不能忽略，（）式中的¥, P不为零，由于是小角度，可近似认为sinH =日。由

11、（）式得d2ud12.2 +2P +60 6=0,（）dtdt设（）式有如下形式的解e =e”,（）式中，九为待定常数，将（）式代入（）式，得特征方程九2十2廿九十802 = 0,（）解特征根方程（）式，得%,2 =± V B 2 一切0 ,（）由于单摆是小阻尼，所以P2 -W02 <0,取8=¥%02 P2 ,代入（）式，得%,2 = P 士陵，（）由此，可得（）式的解为C =Ge（芈6t +c2e（""） ne*Cei +c2e*'）,（）因为e为实函数，所以g,c2必须满足条件c；etC2ei - ciei t c?et,由此得 g

12、=c2,c2 =。,将满足这种条件的系数 0,储2写成指数形式，有P iP 4c1 = e , c2 =e ,22式中，为它们的模，中为幅角，代入（）式，得（）日=pe" cos俾t +中），可见，阻尼单摆是幅度 pe/随时间作指数衰减的周期振荡，且振动频率 8=寸%；因阻尼P >而减小。为了给出在相平面的图像，对（）式微分，得（）P p -pe* P cos®t +中）+缶 sin（t +中）。图3小角度无阻尼单摆运动的相轨线图4小角度有阻尼单摆运动的相轨图如果设日为横坐标，S为纵坐标，借助符号运算软件，作（）和（）式联合的参数图，结果如图所示。可见，小角度有阻尼单摆的运动相轨图为螺旋线，单摆的运动因阻尼的存在， 而停止在坐标的原点，这一点称为不动点。自行设计实验方案，测量小角度有阻尼单摆运动的行为，并用相轨图法，研究阻尼单摆 的运动行为。附录：单摆的调节调节使用说明附录：计时器的调节使用说明学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表