过一点作三次函数图像切线条数的完备结论

1、2008年第3期数学通讯11过一点作三次函数图像切线条数的完备结论贺斌(谷城具第三中学湖北441700)2008年第3期数学通讯112008年第3期数学通讯11:0123.3:0488 7395 (2(X)8丿 03 0011 - 022008年第3期数学通讯112008年第3期数学通讯11文/I/回答了过哪些点可以作三次函数 图像的三条切线受文/ 1 /启发，一个自然的 问题是过哪些点可以作三次函数V图像的 一条切线、两条切线？本文在文八/的基础上 给出过一点所作三次函数图像切线条数的完 备结论.M三次函数丿=ax3 + bx2 + cx+ d (a切的图像C上的点N(+ f(右)丿是c的唯

2、一对称中心.设三次函数图像C在其对称中 心N处的切线为/, M是三次函数图像C所 在平面上的一点，则(I丿过点M能且仅能作C的一条切 线，当且仅当点M位于C和/所夹的上、下 两个区域内(边界除外丿，或点M与点N重 合；(U丿过点M能且仅能作C的两条切 线，当且仅当点M位于图像C或切线/上 (点N除外丿;< DP H点M能且仅能作C的三条切 线，当且仅当点M位于C和/所夹的左、右 两个区域内(边界除外几为方便读者形象直观的理解，我们根据 三次函数首项系数的正(如图1丿负(如图2丿 画岀相应的示意图如右.设三次函数为十bx2十 ex + d ( a岀)丿，点M的坐标为(X0 , )9丿，点为

3、三次函数y=f(x)图像C± 的一点，则点A处的切线方程为yf(t) = f于是，切线过点等价于存 f( t) - f ( t) ( Xq (1丿注意到(1丿是关于/的三次方程(易知 的系数不为0),故过点M最多可作图像 C的三条切线.记 g( f) = yo (0 f ( ” ( “o - 则g (f) = - f (t) - f ( f) ( Xo t) + f ( t)=(t - Xo) fit)-2( t - xo丿(3 at + b).若 xo 二右，则 g ( t) =6a( t - xo)2, g( t)为R上的单调函数，方程g( t) =0有且 仅有一个实数根即过直线

4、X =右上的任 一点能且仅能作y=f( x)图像的一条切线.若"工七则g (在点xo附近的 函数值异号，在点严附近的函数值也异3 a2008年第3期数学通讯112008年第3期数学通讯11;2007 25贺斌(1961 T男湖北随州人湖北省谷城县第三中学高级教师.© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 12数学通讯2008第3期04三次函数I g( xo) >0,图3三次函数 /*g( xo) v0,g(卩VO,I 3“图6三次函数Jl3Q

5、* 加0.Jl3/即丨yof( xo丿I i yof(-号，故X0和-+都是的极值点于是结 合函数g(的单调性知I丿方程git) = 0有且仅有一个实数根, 当且仅当函数的极大值V0 (如图3,仅 画出了 g("首项系数大于0的情况，后同丿 或极小值>0(如图4丿.L(弋 >0.亦即 & ( X0丿 g (-寺)> 0 ( X0即仃 yo f()l-yQ - f( 土) (2)丿If f ( ) ( xq + ) l>0I3 a3 a由引理知，三次函数y = /(灯的图像有 唯一对称中心N(土, f(步”.而c在3 a3 a点N处的切线/的方程为

6、9;/(严)=f (古丿(x+古丿.J 3 a J 3 a 3 a故宜线X = “与c及/的交点纵坐标 分别为2)方程g(t) =0有且仅有两个相异实数根当且仅当g( x0) =0,或g( - 土) = 0(如图 5,6),即 yo = f( ao),或 yo f( -=/(±心o +壮八亦即当且仅当点M JC4位于y = f(x)的图像上，或点M位于过三次 函数对称中心N(+f(*)处的切线3 a3 a/上(点N除外丿时，可作y=/(幻的两条切图5三次函数3丿方程g(t) = 0有三个相异的实数根, 当且仅当"0斗g( xo)sXO斗上)3 /f (- & (xo

7、 + 古丿 / vO.3 a3 a通过与1)类似的分析(或参见文/1 知满足上述不等式组的点M(xo，J位于 C和I所夹的左、右两个区域内(边界除外丿.综上定理获证.12数学通讯2008第3期12数学通讯2008第3期小。丿盘+八比心。+12数学通讯2008第3期由于X0工才，故上述两纵坐标不相5 a等注意到不等式组(2丿的第二式为关于yo 的一元二次不等式，并且垃项的系数为正， 故满足上述不等式组的点Mdo,yo丿位于C 和/所夹的上、下两个区域内(边界除外丿/!/贺斌，黄福过哪些点可以作三次函数图像的 三条切线数学通讯.2007(20.121管宏斌三次函数对称中心初探数学通讯. 2004(15；./3/刘国杰三次函数图像对称性的探索数学通 讯.2006(20).12数