江苏省南通、徐州、扬州等六市届高三第二次调研(二模)测试数学试题(有附加题)

1、、填空题：本大题共 集合【答案】2.复数z1a3.4.5.6.7.8.9.10.2022届高三第二次调研测试 南通、徐州、扬州、宿迁、淮安等六市 数学学科参考答案及评分建议 14小题，每题5分，共计70分.1 , 0 , 1 , 2 ,3 , A 1 , 0 , 2i, Z23 4i，其中i为虚数单位.43某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间 所示，那么成绩不低于 60分的人数为 .【答案】30【答案】频率第3题，那么】U A 假设3为纯虚数，那么实数a的值为 .Z240 , 100上，其频率分布直方图如图第4题如图是一个算法流程图，那么输出的S的值为厶【答案】125在长为12 cm的

2、线段AB上任取一点C,以线段AC, BC为邻边作矩形，那么该矩形的面积大于 32 cm2的概率为 .1 【答案】-在厶ABC中，AB 1, AC 2 ,【答案】_16B 45，那么BC的长为 在平面直角坐标系点 P 2 , 3,【答案】4 . 3 在平面直角坐标系xOy中，双曲线那么双曲线C的焦距为xOy中，角A(1 , 2), B(5, 1)，那么 tan( 【答案】7设等比数列.【答案】a, b,an的前n项和为6c均为正数，且 abcC与双曲线x22y-1有公共的渐近线，且经过3,的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点)的值为 .Sn .假设S3 , S9, S6成等差数列，且a8 3

3、，那么a5的值为4( a b)，贝U a b c的最小值为 一【答案】811.在平面直角坐标系 xOy中，假设动圆C上的点都在不等式组x 3y 3 > 0 ,表示的平面x . 3y 3 > 0区域内，那么面积最大的为.2 2【答案】X 1 y 4a x 1e,12.设函数f (x)x 0其中e为自然对数的底数有 3个不同的零点,3小x 3mx2 , x < 0那么实数m的取值范围是.【答案】1,13. 在平面四边形ABCD中，AB 1, BC 4, CD 2 , DA 3，那么AC BD的值为 【答案】1014. a为常数，函数fx x的最小值为 2，那么a的所有值为 ax2

4、 J x23【答案】4 ,丄4填空题要求：第6题：答案写成.2+一3，复合根式也算正确。第11题：题目要求“圆 C的标准方程，写成圆的一般方程不给分，不配方不给分。第12题：写成m 1或者 mm 1也算正确。第14题：两解缺一不可，只有一个正确不给分。、解答题：本大题共 6小题，共计90 分.c12，21假设a bc，求 sin(的值；2设5 n6，0n,且 a ll b c，求的值解:1因为acos,sin,bsin ,cos,c132，2 ，所以abc 1，且a bcossinsincossin ().2分因为abc，所以a b $ c2 ，即a22 a bb21,4分所以12sin ()

5、11，即 sin ()12 .6分2因为5 n56，所斤以a73 12，2 .依题意，b csin1, cos号22.8分因为allb c，所以3 cos3cos2 212sin120 .10分化简得，1 sin2兰3 cos22，所以sinn 13212分15.本小题总分值14分 在平面直角坐标系xOy 中，设向量 a cos , sin , bsin , cosn所以 n3n 2 n3 3所以n3n，即n注意：1. a bcossinsin cossin (序。“ n3n32n3扣1分。因为014分)与a2 2 a b b2 1,每个2分，没有先后顺16.本小题总分值14分如图，在三棱柱

6、ABC A1B1C1中，AB于端点，且/ ABE / ACF , AE丄 BB1 , 求证：1平面AEF丄平面BB1C1C;2BC / 平面 AEF .AC,点E，F分别在棱 BB1，CC1上均异CB1第16题证明：1在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BB1 / CC1.因为AF丄CC1,所以AF丄BB1.又 AE 丄 BB1, AE AF A , AE, AF 所以BB1丄平面AEF .又因为BB1 平面BB1C1C，所以平面平面AEF ,AEF丄平面2因为AE 丄 BB1, AF 丄 CC1,Z ABE / ACF , ABBB1C1C.AC,所以 Rt AEB 也 Rt AFC .所以

7、BE CF.9分 又由1知，BE CF.所以四边形BEFC是平行四边形.从而BC EF .11分又BC 平面AEF , EF 平面AEF ,三个条件缺一不可所以BC /平面AEF .14分“在三棱柱ABC A1B1C中或者写成“由题意知都不行，没有就扣掉7分，采取“突然死亡法严格标准；2“5分点中五个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段以及本小题后续分值，共计5分。3.“14分点中三个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段得分，共计3分。17. 本小题总分值14分如图，在平面直角坐标系 xOy中，B1,椭圆上异于点B1, B2的一动点.当直线1求椭圆的标准方程；2设点 Q 满足：QB

8、1 PR , QB22B2是椭圆务a2与1( a b 0)的短轴端点, bPB1的方程为y x 3时，线段PB1的长为4 2 .PB2 .求证： PB1B2与厶QB1B2的面积之比为定值.解：设 P xo, yo , Q Xi, yi1在y x 3中，令x由x2得2所以xo因为PBi22Xoyo3-.2xo，所以 4、2所以椭圆的标准方程为2丨方法一：直线PBi的斜率为kPB118yo34分2远，解得a2 18 . 9 a6分2 y_ ¥于是直线QBi的方程为：yx 3 . yo 3同理，QB2的方程为：yx 3.8分yo3联立两直线方程，消去y,得Xiyf 9io分Xo22222因

9、为P Xo, yo在椭圆Xy_1上，所以型弓i，从而y 9Xo1891892由QB1 PR ,所以直线QB1的斜率为kQB1Xoyo3所以x12 . 12分所以邑 2 .14分S qbib2xi方法二： 设直线PBi,PB2的斜率为k, k由QBi PBi ,直线QBi的方程为2 2kx 3代入X台1，得，那么直线PBi的方程为y1y1X2k2 112kx o,kx因为P是椭圆上异于点Bi, B2的点，所以Xoo，从而Xo12k2 k2因为所以2xo , yo在椭圆18yo 3 yo 32Xo18XoXo2晋1上，所以2雪土，得kXo22 yo9丄 2k .1，从而y2Xo2io分由QB2PB

10、2 ,所以直线QB2的方程为y 2kx 3 .联立所以1xy 2kxS PBB2S QB,B26k2k2 112分14分18. 本小题总分值16分将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮如图，并沿虚线11，12裁剪成A, B，C三个矩形B，C全等，用来制成一个柱体.现有两种方案： 方案：以11为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B, C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案：以11为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B, C中各裁剪出一个正方形各边分别与11或12垂直作为正四棱柱的两个底面.1设B, C都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面

11、，求底面半径;2设11的长为x dm,那么当x为多少时, 制成的正四棱柱的体积最大？能使按方案I = BIIA-1 2CI第18题解：1设所得圆柱的半径为 r dm,那么 2 n 2r 4r 100,4分解得r 5 2 " 1 .6分2 n 12设所得正四棱柱的底面边长为aa w 2,那么 2a w仙x方法一：dm,4a ,a w f ,即 2a w 20x所得正四棱柱的体积37,0400x11分3务,0记函数p(x) 4400x0 , 22时，2后,a那么p(x)在所以当x所以当x 方法二：x 2.10.上单调递增，在210 ,Pmax (x)2010 .一荷时，Vmax 20ia

12、x上单调递减,dm3.2a w x w 20，从而 a w j10 . a14分11分答:所得正四棱柱的体积 V a2x < a2 2020a < 20 10 .a所以当a 10 , x 2、10时，Vmax20 10 dm3.14分1圆柱的底面半径为 '2" 12 n 1dm ；2当x为2 10时,能使按方案制成的正四棱柱的体积最大.16分注意:“由x 2x 2100得，x 2 .10时正四棱柱的体积最大，只给结果得分，即 2分;V < p(x) < 2 .10，凡写成V p(x) < 210的最多得5分，方法二类似解答参照给分.19. 本小题

13、总分值16分设等比数列a1, a2, a3, a4的公比为q，等差数列b1, b2, b3, b4的公差为d，且q 1, d 0 . 记 c a b i 1, 2, 3, 4.1求证：数列G , C2 , C3不是等差数列；2设a1 1 , q 2 假设数列g , c2, C3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；3数列C1 , C2 , C3 , C4能否为等比数列？并说明理由. 解：1假设数列C1 , C2 , C3是等差数列，那么 2c2c1C3,即 2a2b2a1a3b3.因为0 ,b2 ,d是等差数列，所以2b2b1b3 从而2a2印a3.2分又因为q, a2 , a3是等

14、比数列，所以 a22 叩3.所以a1 a2 a3，这与q 1矛盾，从而假设不成立.所以数列C1 , C2 , C3不是等差数列.4分.-n 12因为 q 1 , q 2，所以 an 2.222因为 C2 GC3，所以 2 b21 b2 d 4 b2 d，即 p d 3d，6分由 C22 b20，得 d2 3d 20，所以 d 1 且 d 2 .又d 0,所以b2 d2 3d，定义域为 d R d 1 , d 2, d 0 .8分3方法一：设C1, C2, C3, C4成等比数列，其公比为 q1,at 0 q ,10分12分14分16分10分a1q 0 d=Gq ,那么 22ag b12d=Gq

15、i ,a1q3 bi 3d =C1q13.将+2 X得，a q 1C1 q1 1 ,将+2X得，aq q 1 Gq q1，因为a1 0, q 1，由得C1 0 , q1 1 .由得q q1，从而a1& .代入得d 0.再代入，得d 0,与d 0矛盾.所以C1 , C2, C3, C4不成等比数列.方法二：假设数列C1 , C2 , C3 , C4是等比数列，那么幺幺C1 C2 C3所以C3C2C2 GC4C3即 a3 a2da4a3ddC3C2丿a2ada3a2两边同时减1 得,a32a2 a1a42a3a212分a2ada3a2d因为等比数列ai, a2, a3, a4的公比为q q

16、2又 a3 2a2 ai a q 10，所以 q a?1，所以 a32232 ja2 a1 dq a3 2a2 印a3 a2 da1da3a2 d，即q1 d 0 .14分这与q 1,且d 0矛盾，所以假设不成立.16分所以数列Ci，C2 , C3，C4不能为等比数列.注意：定义域为 d R d 1, d 2 , d 0，缺一不可，缺少一个或者写错一个均扣掉 2分。20. 本小题总分值16分设函数 f(x) x a si nx (a 0).1假设函数y f (x)是R上的单调增函数，求实数 a的取值范围；2设 a 舟,g ( x ) f ( x) bl nx 1 ( b R , b 0) ,

17、g ( x)是 g( x)的导函数. 假设对任意的 假设g( X1 )解：1由题意，fx 0 , g (x) 0，求证：存在 x0 ,使 g( x0 )2g( x2) ( x1 x2)，求证：X1X2 4b .因为因为a 0 ,所以丄 cosx对x R恒成立， a1，所以丄1，从而0 a w 1ag xX 1sin x blnx1,所以gX11Cosxb22X假设b0 ,那么存在b0，使gb211Cos2b20 ,不合题意，所以b0 .-5分取X03eb,那么 0 X01此时gXo1 .X0 2 si nx°b l n x0 111 £ -bln e b 21120 .所以

18、存在X。0 ,使 g X00 .8分3分依题意,不妨设0那么t 1.t2【cosx max由从而1X2知函数yx sin x2X1 X2，令翌X1x si nx单调递增， sin x .所以X2sin x2x sinx .10分因为所以X1g X2 ，所以 X1 sinx11b In x2 In x1x2 x1sin x2 sin x11x2 "2sin x2bln x2 1 ,12 X2为.所以2bx2为ln x2In x112分F面证明X2 X1ln X2 ln X1设 h t ln t t 1 tJtX1X2，即证明J1. t，只要证明lntYln t& 121 ，所以

19、h t 0在1,2Nt恒成立.x 1 acosx > 0对x R恒成立，所以h t在1,单调递减，故h t h 1 0 ,从而 得证.16分所以 2b . X1X2 ,即畑2 4b2.注意：1.求导正确即给1分，f x 1 acosx。342. 2中X0 e b可以，X) e万也可以。21.数学n附加题【选做题】此题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 假设多做，那么按作答的前两题评分.选修4-1 :几何证明选讲本小题总分值如图，求证：证明：A, B, C是O O上的3个不同的点,2 2DB DC OD OA . 延长AO交O O于点E,贝U DB DC

20、DE DA因为所以OD OE所以OEDBDBOA ,DC OA2DC OD解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.10分半径 OA交弦BC于点D.OA OD .OD OA OD OA2 OD2 .OA2 .10分A第21 A题选修4-2:矩阵与变换本小题总分值10分 在平面直角坐标系1阵分别为MxOy中，02，NA(0 , 0) , B(3, 0) , C(2, 2).设变换 T1 , T2 对应的矩 0，求对 ABC依次实施变换1T1 ,T2后所得图形的面积.解：依题意,依次实施变换T1，T2所对应的矩阵NM0203620240，0200，0224A(0 , 0), B(6 , 0) ,

21、C(4, 4).10分所以A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(2 , 2)分别变为点从而所得图形的面积为6 4 12 .C .选修4-4 :坐标系与参数方程本小题总分值10分在极坐标系中，求以点 P 2，石 为圆心且与直线I : sin -2相切的圆的极坐标3 3方程.解：以极点为原点，极轴为X轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy .那么点P的直角坐标为1, 3 .2分将直线I : sin 32的方程变形为：sin cos cos sin 2 ,333化为普通方程得， 3xy 40 .5分所以P 1, . 3到直线I:.3xy40的距离为：42:y口 J距匕离为：.3212故所求

22、圆的普通方程为2x 1y3 24 .8分化为极坐标方程得，4si n_n610分注意：结果写成2 cos 2 3sn0也算正确，不扣分。D.选修4-5:不等式选讲本小题总分值10分1a, b, c为正实数，且a b c 2，求证:证明：因为a，b，c为正实数，所以=1 a ca 2b 3c品庙 2寸b 丘逅 2血a c 2 b cac 2 bc?2 一 ac 4 be Vac2当且仅当a bc 取“=.10分【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.本小题总分值10分在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽

23、奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如下列图的3 3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相 应金额.某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为 X元.1求概率P X 600 ;2求X的概率分布及数学期望 E X解：1从3 3表格中随机不重复地点击 3格，共有C9种不同情形. 那么事件：“ X 600 包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元, 其中第一类包含c4种情形，第二类包含 c； c4 c4种情形.所以P X 6003_1_1_1C4C1 C4 C4C3C9_521 .2X 的所有可能值为 300, 400, 500, 600, 700.那么 p x 300Cf 84 21，P x 400 等242847，P X 500C1 C2