江苏省高考数学最后一卷试题(含解析)

1、2022江苏咼考最后一卷数 学一、填空题本大题共14小题，每题5分，共70分z的实部为2，虚部为1，那么z的模等于.A 1,0, ,3，集合 B xy x 2，那么 A B.3.右图1是一个算法流程图，假设输入x的值为 4，那么输出y的值为 ./输1/jr-U-31111頻率0.4r 厂0.211025r数据图2图1f(x)1 2xlog2(x 1)的定义域为5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5,频率如条形图2所示，那么这组数据的方差等于6.设，是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，给出以下四个命题：假设n ,n|，门 m,那么 n |m;假设 m ,n , m/ ,n/ ，

2、那么 /;假设，门 m, n ,n m，那么n ;假设m ,m/ n,那么n/其中正确的命题序号为 7.假设圆x 32 y 52 r2上有且只有两个点到直线l : 4x 3y 2的距离等于1,那么半径r的取值范围是.1上为减8.命题P: b ,2 , f xx2 bx c在函数；命题Q: x0 Z,使得2x) 1.那么在命题 P Q , P Q , P Q , P Q中任取一个命题，那么取得真命题的概率是9假设函数f (x) bx cxax(a,b,c R) (a,b,c, d R)，其图象如图3所示，那么1310.函数 f (x) x小I的图象经过四个象限，那么a的取值范围11.在ABC中,

3、角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA sinC竺巴，那么函数a cA)在上的单调递增区间是2 x2 xf (x) cos ( A) sin (2 212.“关于x的不等式ax2bxc 0的解集为(1,2)，解关于x的不等式cx2bx a 0. 给出如下的一种解法:解：由ax21bx c 0的解集为(1,2)，得a -xc 0的解集为即关于Ix的不等式cx2 bx a 0的解集为(1 ,1).2bx b11参考上述解法：假设关于x的不等式一b0的解集为(1,-)(- ,1)，那么关于x ax c32+bx b砧丽佯*x的不等式0的解集为.x a x c某公司13.2022年第二届夏季青

4、年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会,方案推出系列产品，其中一种是写有“青奥桔祥数的卡片假设设正项数列an满足那么在区间1，2022内的所有"青奥桔祥数之和为3x2,x2,x0， 设 集 合 A0y ax, 1x 1 ，假设对同一 x的值，总有y1y2，其中力A, y2B，那么实数a的取值范围是二、解答题本大题共 6小题，共90分别为a ，15.在 ABC中，角A， B， C的对边分Cm (1 sin , 1), n1,sinC cosC，且 m21求 sinC 的值；2假设 a2 b24 a bn.8，求边c的长度.16.如图4,在四棱锥P ABCD中，平面PAD是等

5、边三角形， BD 2AD 8，AB 2DC 4 5.1设M是PC上的一点，证明：平面 MBD2求四棱锥P ABCD的体积.平面 ABCD , AB/ DC PAD平面PAD ;P图417.如图5, GH是东西方向的公路北侧的边缘线, 某公司准备在 GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设 AB = y km,并在公路同侧建造边长为 x km的正方形无顶中转站 CDEF其 中边EF在GH上，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路 AB, AC,AB = AC 1, 且/ ABC = 60°.1求y关于x的函数解析式；2如果中转站四周围墙造价为 1万元/km，两条道路造价为3万元/km

6、，问：x取何值时， 该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？RE，离心率30)过点P(1,)，其左、右焦点分别为21e丄，M , N是椭圆右准线上的两个动点，且 FiM F2N 0 .2图61求椭圆的方程；2求MN的最小值；3以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论.19.函数 f(x)ax x2 xlna(a 0,a 1).1求曲线y f (x)在点(0, f(0)处的切线方程；2求函数f (x)的单调增区间；3假设存在X1，X2 1,1，使得I f(xjf(X2)e 1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围.20.数列an中，a2=a(a为非零常数)，其前n项和S满足Sn=n(a

7、； °)(nN*).1求数列an的通项公式；1 22假设a=2,且一亦 Sn 11，求m n的值；43是否存在实数a、b,使得对任意正整数 p，数列an中满足an b p的最大项恰为第3p 2项？假设存在，分别求出 a与b的取值范围；假设不存在，请说明理由.数学n附加题21A.选修4-1 :几何证明选讲本小题总分值10分如图，从圆0外一点P引圆的切线PC及割线PAB ,求证：AP BC AC CP .P21B.矩阵 M 2 1 ,3，计算M 21 2521C.圆C的极坐标方程是4sin，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立x平面直角坐标系，直线l的参数方程是y正数m

8、的值.(t是参数.假设直线丨与圆C相切，求m21D.本小题总分值10分，不等式选讲不等式a b2cw|x2 1|对于满足条件 a2 b2 c2 1的任意实数 a,b,c恒成立，求实数x的取值范围.【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.本小题总分值10分22.如图，在四棱锥P ABC中，PA 底面ABCD底面ABC是边长为2的菱形，ABC 60 ,PA 6 , M为PC的中点.D1求异面直线PB与MD所成的角的大小；2求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值.23.本小题总分值10分袋中共有8个球，其中有

9、3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出 一球，如果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，并且另补 一个白球放入袋中重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为 X,.1求随机变量X2的概率分布及数学期望 日X2)；2求随机变量 Xn的数学期望E(X)关于n的表达式.2022江苏咼考最后一卷数学答案一、填空题1.岳 2.1,03.24.(1,2)(2,)5 6.7. 8.19.4410.7叵(1,)11.0,12.(1,丄)1(_,1) 13.204714.1,04423提示：1. z2 i，那么z2i，那么:2)2 (1)2 ，/5 .2. B xyJ2 x

10、x2 x0xx 2，又A1,0,3，所以AB1,03当 x 4 时， 43，那么 x 7 ;当 x 7 时，73, x 4 ;当 x 4 时，43,X 1 ；当x 1时，13不成立，那么输出y 21 2.4.要使原式有意义，那么x 1 0，即x 1且x 2.x 1110 0.44次，5出现10 0.22次，8出现10 0.44次，所以s2 4 (2 5)22 (5 5)24 (5 5)27.2 .106.逐个判断。由线面平行的性质定理知正确；由面面平行的判定定理知直线 m,n相交时才成立，所以错误；由面面垂直的性质定理知正确；中，可以是n，所以错误, 即正确命题是7.如图7,要使圆(x 3)2

11、 (y 5)2r2上有且只有两个点到直线l : 4x 3y 2的距离即CPrCQ，又圆心到直线丨的距离为5，那么4r6.等于1，只须转化为圆与直线 n相交，且与直线 m相离,8.因为 b,2，函数f x的对称轴xK-1，且开口向上，所以命题P正确;2又由2x) 1解得x0 0，X。 Z，比方X。1，所以命题Q也正确，所以P, Q都是假命题，只有P Q是真命题，故由古典概型的概率计算公式可知取得真命题的概率是49.由图可知,f(x)为奇函数，那么a c 0,又f(1)2，解得b4，所以 a b c 4.10. f(x)3x2 ax2a2(3x 2a)(x a)， f'(x)2a3，x a

12、.当 a 0时,f(x)在(,a)和2a,32上是增函数，在a, a3f (0)所以f(x)必过三象限，故只要f (x)极小值小于0即可.f0的解为8144，理，当a 0时,f (a)0得a 1.综上，a的取值范围是8144(1,).11.由sin A sinC snB，利用正弦定理可得 b c定理得a cA 1cos A二一，2又 A为 ABC的1+cos x+，所以aa c内角，所以f(x)cos2 (x23)sin2(-23)=1 cos x令 2k x 2k12.由一xb0的解集为(1 11,丄)(丄，1)，得bxa xc32x a11bx b11八(1,-)(-,1)，即0的解集为(

13、1,-)(-,1)23x a x c2313.因为nn 12anan 1nan1 n 1 an 10，又an3k Z，与 一，取交集得所求递增区间是0,2 2x bx c当 log2log 2 kmm Z 时，k2 m所以在区间1，2022内的所有奥运桔祥数之和为14.由题意可得x ax对任意x2=b2+c2 bc，1= cosx，20的解集为0，所以an-，n1,2022 m Z ，m 0, 1, 2,10，1120 21+22 210= 2047 .1 21,1恒成立，当x1,1 时，y图8时,15.3x只要直线1 a 0.解答题x2,13x,02,2y ax 在 x解析：1： m n.,

14、.Csin2,作出函数图象如图 8,显然当a1,0上与线段OA重合或者在线段 m n 0，那么 1 Csin2si nc0时，不满足题意；当a 0OA下方时，满足题意，所COSC0 , 2 分C C2sin cos 122sin，4 分 sin C 0,12 ，故丨可化简为Ccos2.Csin25分两边平方得sin C sinC 342又 a2 b20 , a=2,b=2 ,9分C由1知 cos 2.Csin2cosC分ABC 中,由余弦定理可得 c22b 2abcosC2 J，故16.1证明: ABD 中,由于AD 4 ,BD所以2 2 2AD BD AB .故 AD BD又平面PAD平面A

15、BCD，平面PAD门平面ABCD AD24近，124BD 平面ABCD，所以BD平面PAD又BD 平面MBD，故平面MBD平面2过P作PO AD交AD于O ,由于平面PAD 平面ABCD，所以PO平面ABCD .因此PO为四棱锥P ABCD的高,又厶PAD是边长为4的等边三角形因此 PO42,3 在底面四边形ABCD中，AB / DC , AB2DC ,所以四边形ABCD是梯形，在 Rt ADB中,4 8斜边AB边上的高为484/58、5""5-此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S 2 5 口2故 Vp ABCD1 24 2、3 16、3.317.解：1因为

16、AB y,ABAC1，所以 AC y 1.在直角三角形BCF中，因为CFx.ABC 60 ，所以 CBF30,BC 2x.由于2x y11 y，得 x 2在厶ABC中,因为AC2 AB2BC22AB BC cos60 ，2二(y 1) y2 4x2 2xy .那么y兰1 .由y 0，及x2(x 1)即y关于x的函数解析式为y23(2y 1)4x21 x 1.2(x 1),12x2 3 门，4x3 4x .x 1212(t 1)33 4(t1) 16t9 25?49t，15y 一时，总造价M最低.2答:4时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低.18.1c 13-，且过点 P(1,3), a22

17、22a 4ba 2c, 解得a 2,b 3,x2椭圆方程为4i.(5,%)"(3,y2),2设点 M(4,yJ,N(4, y?),那么 FMM F2N 15 yy 0 ,y215 .15y2 y1y1y115一八'215,MN的最小值为2 15 .3圆心C的坐标为(4，半径r丄12 2圆C的方程为(x 4)2 (y北y2)2 也 丛，24整理得x22y8x (y1 y2)y16y20.y1 y215 ,2 2x y 8x(y1y2)y 1 0,令y o,2得x8x 10 ,x 415 .圆C过定点(4.15,0) 19. 1因为函数 f (x) ax + x2 xlna(a

18、0,a1)，所以 f (x) ax ln a + 2x ln a， f (0)0，又因为f (0)1，所以函数f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为 y 1 .2由1，f (x) ax ln a + 2x ln a 2x+ (ax 1)ln a .因为当a 0,a1时，总有f (x)在R上是增函数，又f (0)0 ,所以不等式f (x)0的解集为(0,+ ),故函数f (x)的单调增区间为(0,+ ).3因为存在为公2 1,1,使得f(X1) f(X2)> e 1成立,而当 X 1,1时，卩化)f(X2)< f(X)max f (X)min ,所以只要f (X)max f

19、(X)min > e 1即可.又因为X , f (X) , f (X)的变化情况如下表所示：X(,0)0(0,+ )f (X)0+f(x)减函数极小值增函数所以f(X)在1,0上是减函数，在0,1上是增函数，所以当X 1,1时，f X的最小值f X . f 01，minf X的最大值f X maX为f 1和f 1中的最大值.11因为 f(1) f ( 1)(a+1 In a) ( +1 + l n a) a 2l na ,aa1121令 g(a) a (a 1 adnan20. 解：1由 ，得 a1=S=2=0,Sn= 2 ,那么有 Sn+1=2,2(Sn+1 Sn)=(n+1)a n+

20、1 nan,即(n 1)a n+1=nan,nan+2=(n+1)a n+1,两式相加，得 2an+1=an+2+an, n N*,即 an+1 an+1 =an+1 an, n N*, 2ln a(a 0)，因为 g (a) 1 +冷2 (1 -)20,aa a a1所以g(a) a 21 na在a 0,上是增函数.a而 g(1) 0,故当 a 1 时，g a 0,即卩 f(1) f( 1);当 0 a 1 时，g a 0 ,即卩 f(1) f( 1).所以，当 a 1 时，f (1) f (0) > e 1，即 a In a > e 1 ,函数y a In a在a (1,)上是

21、增函数，解得 a > e ；当 0 a 1 时，f( 1)f(0) > e 1，即 1 Ina > e 1,a11函数y In a在a (0,1)上是减函数，解得 0 a <ae综上可知，所求a的取值范围为a (0Ue,+ ).'e '故数列a n是等差数列.又 ai =0, a2=a,an=(n 1)a .2假设 a=2,那么 an=2(n 1) ,Sn=n(n 1).21) =43,由押 s 11，得 n2 n+11=(m 1)2，即 4(m 1)2-(2n(2m+2n 3)(2m 2n 1)=43 ./43是质数,2m+2n 3>2m 2n1

22、, 2m+2n 3>0,2m 2n2m 2n1'解得m=12n=11.43,3由 an+b p,得 a(n 1)+b p.假设a<0，那么n 口+1,不合题意，舍去; ap b假设 a>0，贝U n +1.不等式an+b p成立的最大正整数解为3p 2,p b3p 2+1<3p 1,a即2a b<(3a 1)p 3a b对任意正整数 p都成立.13a仁0,解得a=3,2 2此时，3 b<01 b，解得 3<b 1.1.1 2故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=§, §<b证明：因为PC为圆O的切线,所以 P

23、CA CBP , 又 CPA CPB, 故厶 CAP BCP , 所以AC APBC PC，即 AP BC AC CP .解法一：矩阵 M的特征多项式为f()43，令 f( )0,解得 1,3，对应的一个特征向量分别为令 m 1 n 2，得 m 1,n4，M2( 1 4 2)(M2 1)4M2( 2)124 323537解法因为M22 1 2 112 12所以M23355372 2 2解：由 4sin ，得 4 sin ，所以 x y 4y 0， 即圆C方程为x2 (y 2)2 4.t_又由2，消t得x . 3y 3m 0，因为直线丨与圆C相切，所以1 +y t m243又m 0，所以m4.33解:因为(a b 、2c)2 w (1 1 2)(a2 b2 c2)所以 a b 2c w 2,又 a b2cw|x2-1|对任意实数 a,b,c恒成立，故 |x2 1|> (a b . 2c)max22.解:1设AC与 BD交于点Q以O为顶点，向量OC , OD为x, y轴，平行于AP且方向向上的向量为 z轴建立直角坐标系.那么 A( 1,0,0)，C(1,0,0)，B(0,3,0)，D(0, . 3,0)，P( 1,0, 6)，所以M (0,0,MD(0, 3,cos MD,PA MD PA所以异面直线PB与MD所成的角为90 .2设平面PCD的法向量为n1 (为，,却，平面PA