高数试题及答案

1、南昌大学 20072008 学年第一学期期末考试试卷一、 填空题 （每空 3 分，共 15 分）sin4x1. 设 f (x)ax ,9ex cosx,则常数 a。x 0, 在 x 0 处连续， x02. 设 f '(a)存在，则 lim f (a x) f (a x)x 0 x3. 函数 f (x) (x2 1)3 1 的极小值等于单调增加区间为b4. 设 f (x)是可导函数，则 f '(2x)dx a二、单项选择题 （ 每小题 3 分, 共 15 分）1. x 0 是函数 f (x) 2x2,ln x, x 0,2, x 0的（）。（A） 可去间断点； （B）无穷间断点；

2、C）跳跃间断点； （D） 振荡间断点。2设函数 y arctane x, 则 dy）.exA)2 x(1 e2 x)dx；B）ex2 x(1 e2 x )C）ex(1 e2 x)dx；D）2 x(1 e2 x)dx3函数 f（x） sinx 在区间 , 上 （ ）22（ A）满足罗尔定理条件，但无法求；（ B）满足罗尔定理条件，且0；C）不满足罗尔定理条件；D）不满足罗尔定理条件，但有能满足此定理的结论。4在积分曲线族 y sin3 xdx中，过点A）C）5已知, 1 的曲线方程61cos3 x ；31cos3x 1；3xe lntf (x)dt ，则10 tA） x ；（B） ex；）。B）

3、D）f '(x) (C）y 1 cos3x ；3y cos3x C 。）。e；D) lnx 。三、计算题（共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）x a x1已知 lim 9, 求常数 a.x x a2求极限lim x0xxe1四、求下列导数（共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）1 设 y x arcsin(ln x), 求 y'.2 求由方程 yexy xcosx2 1 0 所确定的隐函数y y(x) 在 x 0处的导数 y '(0).五、解下列各题(共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分)1计算由参数方程x ln 1 t2 , y arctant所确

4、定的函数的二阶导数d2y.dx2 .2求不定积分ex 1ex 1dx.六、计算下列积分(共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分)1 求不定积分 cos(ln x)dx.22计算定积分|x| x e |x|dx.2七、解下列各题(共 2小题, 第 1 小题 7 分, 第 2小题 5 分, 共 12分) x2 x1. 设F(x) f (t)dt, 其中 f(x)为连续函数 ,x a a求 lim F(x).xa2. 设不恒等于常数的函数 f (x)在闭区间 a,b上连续 , 在开区 间(a, b)内可导 , 且 f (a) f(b), 证明在 (a,b)内至少存在一 点 , 使得 f '

5、;( ) 0.南昌大学 20072008 学年第一学期期末考试试卷及答案一、 填空题 (每空 3 分，共 15 分)sin4x, x 0,1. 设 f (x) ax 在 x 0处连续，9ex cosx, x 01则常数 a 1 。22. 设 f '(a)存在，则 lim f (a x) f (a x) 2f '(a)x 0 x3. 函数 f (x) (x2 1)3 1 的极小值等于 f (0) 0 ， 单调增加区间为 (0, ) 。4. 设 f (x)是可导函数， b1则 b f '(2x)dx f (2b) f (2a) 。 a2二、 单项选择题 ( 每小题 3 分,

6、 共 15 分)ln x, x 0,1. x 0 是函数 f (x) 的 ( B ) x2, x 0(A) 可去间断点； (B)无穷间断点；(C)跳跃间断点； (D) 振荡间断点。2设函数 y arctane x, 则 dyexB)2 x(1 e2 x )( A)2 x dx；2 x(1 e2 x )eC) (1 ee2 x)dx；D)12 x(1 e2 x)dx3函数 f（x） sinx 在区间 , 上 （ C ）。22A）满足罗尔定理条件，但无法求B）满足罗尔定理条件，且0；C）不满足罗尔定理条件；45D）不满足罗尔定理条件，但有在积分曲线族 y sin3 xdx过点A）C）已知中，能满足

7、此定理的结论。, 1 的曲线方程61 cos3 x ；31 cos3x 1；3）。B）D）f (x)xe lnt10 tdt ，则f '(x) (A） x ；B）xe；C）e；三、计算题（共2 小题，每小题 8分，共 161已知 limxx a xxa9, 求常数a.cos3 x ；3cos3x C 。）。D) lnx 。分）xax2alimlim1xxaxxa解:limx2a1xa2ax x a x a 2ae2ae2a 9, 故 a l n 3.2求极限 limx01.x.xe1x解: 原式 =l i me x1 xx 0 x(ex 1)ex 1x x x x 0 e e xeli

8、m x x lim x 0 ex 1 xex1.2.四、求下列导数(共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分) 1、设 y x arcsin(ln x), 求 y'.解: y'arcsin(ln x) x11 (ln x)2arcsin(ln x) .1 (ln x)22、 求由方程 yexy xcosx2 1 0 所确定的隐函数y y(x) 在 x 0处的导数 y '(0).解: 方程两边同时对 x 求导, 有y'exy yexy ( y y'x) cosx2 x (sin x2) 2x 0.当 x 0时 , 从原方程得 y 1.代入上式得 : y&

9、#39;(0) 0.五、解下列各题(共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分)1、计算由参数方程x ln 1 t , 所确定的函数的二阶导数y arctantd2y解:dydt11 t2dxdtt.1 t2 .dydy dt 1 dx dx t dtd2ydydxdx2dxd dy dx dt dx dt1t21 t2t t31 t22求不定积分ex 1dx. ex 1解 : 原式ex 1 ex exex 1 dx2ex (1ex dx)ex 1exex 1dx dx2ln ex 1x C.六、计算下列积分(共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分) 1、求不定积分 cos(ln x)dx

10、.sin(ln x)解: cos(ln x)dx xcos(ln x) x dxx cos(ln x)sin(ln x)dxx cos(ln x) x sin(ln x) cos(ln x)dx .cos(ln x)dxx sin(ln x) cos(ln x) C.222计算定积分|x| x e |x|dx.2解: x e x为偶函数 , xe x 为奇函数 , 所以2 |x| x e |x|2dx 2 xe x0dx 02 xee x dx04e 2 2 e x0 2 e62 .七、解下列各题(共 2小题, 第 1小题 7分, 第 2小题 5分, 共12分)x2 x1. 设 F(x)f (

11、t)dt, 其中 f ( x)为连续函数 , 求x a alim F(x) .xa解: 根据洛必达法则和 f (x)为连续函数 , 有2xx2 x f (t )dt lim F (x) limax ax ax ax22x ax f (t)dt x2 f (x) lim a x a 1220 a2f (a) a2 f (a).2. 设不恒等于常数的函数 f (x)在闭区间 a,b上连续 , 在开区 间(a, b)内可导 , 且 f(a) f(b), 证明在 (a,b)内至少存在一 点 , 使得 f '( ) 0 .证明: f (x)不恒等于常数 , 且 f(a) f(b), 所以至少存在一点 c (a, b), 使得f (c) f (a) f (b) .不妨设 f (c) f(a),f (