谐振子相干态

1、1222212xmmpH a , a )(212121xmpmiax )(212121xmpmiax一维谐振子的哈密顿量为：一维谐振子的哈密顿量为：定义二个无量纲的算符定义二个无量纲的算符 .复习：升降算符复习：升降算符2-5 谐振子的相干态谐振子的相干态1, aa则：则：21| nnna 升算符升算符 产生算符产生算符 降算符降算符 湮没算符湮没算符aamx2aamip2粒子的坐标、动量：粒子的坐标、动量：1|1|nnna)21()21(aaaaH30|)(!1|nann)21( nEn )21(, 0npxpx21px基态基态|0,任意态任意态在能量本征态在能量本征态|n下，下，对于基态对

2、于基态|0， 222221412410)(LxxmeLemx基态波函数基态波函数:21mL（自然长度）自然长度）4一一 . . 谐振子的相干态谐振子的相干态(coherent state)(coherent state)概念概念薛定谔定义谐振子的这样一种状态，谐振子的运动性薛定谔定义谐振子的这样一种状态，谐振子的运动性质与经典振子十分相似。即谐振子的能量平均值（零质与经典振子十分相似。即谐振子的能量平均值（零点能除外）与经典振子能量相同，而坐标和动量的平点能除外）与经典振子能量相同，而坐标和动量的平均值（即波包中心的位置和动量）随时间的演化也与均值（即波包中心的位置和动量）随时间的演化也与经典

3、振子完全相同，并且波包不扩散，也就是说要在经典振子完全相同，并且波包不扩散，也就是说要在空间中的局限区域内寻找谐振子的这样一种不扩散的空间中的局限区域内寻找谐振子的这样一种不扩散的波包，它在任意长时间内的运动与经典粒子完全相同，波包，它在任意长时间内的运动与经典粒子完全相同，谐振子的这种状态就称为相干态。谐振子的这种状态就称为相干态。满足最小测不准关系满足最小测不准关系5222212xmmpH在初始时刻在初始时刻t=0的状态为：的状态为： 220202)(21412)(4100)() 0 ,(LxxxxmeLemxxx 222221412410)(LxxmeLemx一维谐振子的哈密顿量为：一维

4、谐振子的哈密顿量为：21mL谐振子相干态谐振子相干态6波函数与基态波函数波函数与基态波函数 相类似，但波包中心不在谐相类似，但波包中心不在谐振子的平衡点振子的平衡点x=0，而在，而在x0点。从经典力学的观点看，点。从经典力学的观点看，粒子将围绕平衡点振动。这个态不可能是一个定态。粒子将围绕平衡点振动。这个态不可能是一个定态。因为处于定态的粒子，其空间分布几率密度不随时间因为处于定态的粒子，其空间分布几率密度不随时间改变。但是，后面可以证明，它的几率密度是随时间改变。但是，后面可以证明，它的几率密度是随时间改变的。同样，既不是基态，也不是任何一个能量本改变的。同样，既不是基态，也不是任何一个能量

5、本征态。可将其按照能量本征态作展开：征态。可将其按照能量本征态作展开：)()()0 ,(000nnnxCxxx!21) 0 ,(| )(40200nexxCnnnn（证明见（证明见P129 注注1）)(0 x Lx /0070 | )(|)()()() 0 ,(00000 xDxxxDxxx)(0 xDxipexDxpixx,)(/00下面，用一维谐振子的代数解法证明上式（即：相干态下面，用一维谐振子的代数解法证明上式（即：相干态可以看作是用一平移算符作用在基态波函数上产生的）可以看作是用一平移算符作用在基态波函数上产生的）为平移算符，为平移算符，/2/000)(aamxpixeexDxaam

6、ip2222000Lxmx令令aapixeexDx/00)(02xm8aapixeexDx/00)(nneaneeeeeeeexDnnnnnaaaaaaa|!0|) (!0|0|0|0|0| )(02022202222,21BABABAeeee.)(! 2112aaea0|0|.)(! 211 (0|2aaea利用关系式：0|)(!1|nannnnanennnnna|!0|)(!009即：即：0000|)()() 0 ,(nnnnnnCxCxxx与利用积分法计算结果相同。与利用积分法计算结果相同。nnexDnn|!0| )(020220!214200neCnnn)()(!21|!0| )(|0

7、004020202nnnnnnnnnxCxnenxnexDx结论：相干态可以看作是用一平移算符作用在基态波函数上产生的。结论：相干态可以看作是用一平移算符作用在基态波函数上产生的。10下面，证明相干态不是定态下面，证明相干态不是定态.在在t时刻，相干态可以表示为：时刻，相干态可以表示为：)2sin41sin21()cos(21exp1)(!21)()() 0 ,(),(2020) 2/ 1(00400040tttitLxenexeCxCexetxntninnnnntEinnnnHtiHtin/)cos(exp1| ),(|2202LtxxLtx（详细证明（详细证明P130）与与/)(exp1|

8、 ) 0 ,(|2202LxxLx不同不同22| )0 ,(| ),(|xtx 112| ),(|txtxxccos0即：相干态不是定态，即：相干态不是定态，包中心位置在包中心位置在相同，是理想的准经典态。相同，是理想的准经典态。是一个围绕是一个围绕x=0 x=0点点振荡的振荡的GaussGauss波包，波形不变（波包不扩散）。波波包，波形不变（波包不扩散）。波，与谐振子的振动规律，与谐振子的振动规律/)cos(exp1| ),(|2202LtxxLtx12a cV1. 相干态是湮灭算符相干态是湮灭算符 证明：相干态用证明：相干态用 表示 的本征态的本征态cccVVa二. 相干态的性质：相干态

9、的性质： 13 nnncubV nnncua bVa nnnunb1 nnnubc令令 于是有于是有 可得可得 !ncbbcbnbnnnn01 由由 cV归一化得归一化得 cccVVaun -谐振子的本征态1!220220*cnnccebncbrdVV2210ceb14a c0a cc210nnnc21cueu!nceV22 所以所以 的相应于本征值为的相应于本征值为 的归一化本征态的归一化本征态x p x mp )m( i 21a 21x21 我们看到我们看到，没有共同的本征态，但其线性组合没有共同的本征态，但其线性组合 有本征态有本征态,这类态称为相干态。这类态称为相干态。152.在相干态

10、中位置和动量满足最小测不准关系在相干态中位置和动量满足最小测不准关系21 xpx dx)usus(m! scu!ncess ,nss*nnc*112122 021!2nnnccunceVdxu! scx u!ncedxVx Vxss ,ns*nncc*c* 2)(21)(2)(11xnxnxxnnn16dx)usus(m! scu!ncess ,nss*nnc*112122 nnnnc)!n(c!nc(m!nce*12112)cc(m* 2dxu! scx u!ncedxVx Vxss ,ns*nncc*c* 217dxu! scpu!ncedxVpVpss ,nsx*nnccx*cx* 2)

11、cc(mi* 2同理有同理有: )ccc (mdxVx Vx*c*c22222212 )ccc (mdxVp Vp*cx*cx22222212 mxxx22222222 mpppxxx于是有于是有 21 xpx相干态是最小的不确定状态相干态是最小的不确定状态183. 完备性完备性完备性是指可以用它们来展开谐振子希尔伯特空完备性是指可以用它们来展开谐振子希尔伯特空间中的任意矢量间中的任意矢量.因全体相干态的集合具有完全性因全体相干态的集合具有完全性关系，那么就可以用全体相干态作为基矢，来展关系，那么就可以用全体相干态作为基矢，来展开一维谐振子的希尔伯特空间的任意矢量，从而开一维谐振子的希尔伯特空

12、间的任意矢量，从而形成一个新的表象，这个表象成为相干态表象。形成一个新的表象，这个表象成为相干态表象。4.非正交性非正交性非正交性是指任意两个相干态都不正交。非正交性是指任意两个相干态都不正交。19三、相干态的应用三、相干态的应用 v相干态理论已经成为量子力学的重要分支,并广泛的应用相干态来处理光场的相干性质和光子统计学。在Dirac的经典辐射场的量子理论中，用相干态来描述辐射场比较方便。相干态已被广泛应用于物理学的各个领域，例如研究量子光学、粒子物理、量子电动力学的红外发散问题、超导理论等。 20212223242526高等量子力学导论第2章第3节P382.3线性谐振子的相干态2728293

13、031323334353637383940412-6 Rydberg 波包波包 波形的演化与恢复波形的演化与恢复nlmallnr)1(3 212mar5 . 0104 Rydberg态态:原子或分子中量子数很大的束缚态原子或分子中量子数很大的束缚态（H原子，原子，n100的量子态）。对于的量子态）。对于H原子，对应原子，对应 本征态本征态上的电子，径向坐标的平均值上的电子，径向坐标的平均值对于对于n100的量子态，的量子态，因此因此Rydberg态最适合用来研究微观世界态最适合用来研究微观世界和宏观和宏观接近于宏观尺度。接近于宏观尺度。世界的联系，或经典力学与量子力学的关系。世界的联系，或经典

14、力学与量子力学的关系。42Rydberg波包：由许多波包：由许多Rydberg态相干叠加形成的波包。态相干叠加形成的波包。波包一般是扩散的。但是，前面讨论的谐振子的相干态，波包一般是扩散的。但是，前面讨论的谐振子的相干态，是由许多定态叠加而成的一个不扩散的波包。是由许多定态叠加而成的一个不扩散的波包。近年来，随着短脉冲激光技术的发展，在实验室中已经近年来，随着短脉冲激光技术的发展，在实验室中已经能够产生和检测各种体系中的电子局域波包，这些波包能够产生和检测各种体系中的电子局域波包，这些波包局限在一定的范围内，且是许多定态相干叠加形成的。局限在一定的范围内，且是许多定态相干叠加形成的。这种波包的

15、演化和动力学，是目前在物理和化学很多这种波包的演化和动力学，是目前在物理和化学很多领域比较热门的研究课题。实验方法通常是：用短脉领域比较热门的研究课题。实验方法通常是：用短脉冲激光照射处在基态的电子，电子从基态激发到量冲激光照射处在基态的电子，电子从基态激发到量子数很大的一系列相邻的能级上去，形成子数很大的一系列相邻的能级上去，形成Rydberg波包。波包。43假定局域波包是假定局域波包是Gauss分布的，即：分布的，即：222)(2221|nnneCn/1nnEnE是是n 的平均值，取决于脉冲激光的平均频率；的平均值，取决于脉冲激光的平均频率；是能级的宽度，与脉冲激光持续的时间是能级的宽度，

16、与脉冲激光持续的时间有关，有关，。因为。因为n局限在局限在附近，所以将定态能量附近，所以将定态能量在在附近作附近作Taylor展开：展开：.! 3)(! 2)()(32 nnnnnEnnEnnEnnEE441|2nclET|2/|2nrevET !|3/|2nsrET srrevclTTT定义以下几个时间尺度（定义以下几个时间尺度（） 经典周期经典周期 恢复周期（恢复周期（revival period） 超恢复周期（超恢复周期（supper revival period）所以，在所以，在t时刻的波函数可表示为：时刻的波函数可表示为：对于一般讨论较多的体系，对于一般讨论较多的体系，45)()()

17、(2exp)( )(),(32srrevcltEinnntEinnnTtnnTtnnTtnnierCerCtrnn分析波包随时间的演化：分析波包随时间的演化：在在Rydberg波包形成后的段时间内，波包能够保持波包形成后的段时间内，波包能够保持周期运动，随时间的流逝，组成波包的各定态的相周期运动，随时间的流逝，组成波包的各定态的相位差将导致波包发生坍塌（位差将导致波包发生坍塌（collapse）.经过一段时经过一段时间后，波包的形状还可能恢复或部分恢复。间后，波包的形状还可能恢复或部分恢复。几个常见的体系（几个常见的体系（P153）.! 3)(! 2)()(32 nnnnnEnnEnnEnnEE460 ,(| ),()(rtrtA| )(|22tE