矩阵的早期发展

1、第28卷 第1期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 28 No.1 2008年 1 月 Journal of Science of TeachersCollege and University Jan 2008文章编号：1007-9831（2008）01-0073-04矩阵的早期发展董可荣1，2（1. 淄博师范高等专科学校 数理科学系，山东 淄博 255100；2. 山东大学 数学与系统科学学院，山东 济南 250100）摘要：运用文献综述法对矩阵的早期发展进行分析研究尽管在九章算术中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但没有建立起独立的矩阵理论，而仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题直到

2、18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵理论才得到进一步的发展关键词：矩阵；早期发展；矩阵思想；矩阵概念中图分类号：O151.21 文献标识码：A在九章算术中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论直到18世纪末至19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还

3、有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础1 矩阵早期发展的社会与文化背景矩阵的早期发展是伴随其它理论的研究而产生的矩阵早期的一些重要概念及思想，是独立于矩阵理论自身，从不同领域及思想的研究发展而来，并最终包含在矩阵理论之中数学不同领域的严密逻辑性为矩阵的早期发展作了奠基性的工作在欧洲，早在17世纪和18世纪初，行列式在解线性方程组中就得到收稿日期：2007-09-2374 高 师 理 科 学 刊 第28卷了发展，克莱姆（Gramer，1704-1752）、范德蒙等一大批行列式理论的奠基者做出了重要的贡献18世纪末，

4、瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）、拉格朗日、达朗贝尔等都直接或间接地提到过四维或哈密顿和格拉斯曼等发表了意义深远的成果，说明n维空间的概念已成为一个脱离空间直观的纯数学概念导致了代数学转向抽象空间，促进了抽象代数的发展2 18世纪末19世纪初高斯和艾森斯坦等人的矩阵思想2.1 二次型理论研究中孕育的矩阵思想从18世纪末到19世纪初，数学家们对矩阵的阵列形式是用二次型的形式来表示的，对矩阵理论的发164展及思想的形成是渗透在二次型理论中的1773年，拉格朗日将齐次多项式的表达式py2+2qyz+rz2通y=Ms+Nx22222过线性代换z=ms+nx，变换成Ps

5、+2Qsx+Rx，其中PRQ=(prq)(MnNm)1801年高斯出版算术研究，将欧拉、拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广过程如下：一整数n表示成整数a，x=x+yb，x，y的形式，设F(x, y)=ax2+2bxy+cy2=n，令y=x+y，则F变换成一个新的形式2222F(x, y)=ax+2bxy+cy，其中bac=(bac)()2，F的系数依赖于F的系数和变换x=x+y1本身高斯指出如果F通过另一个变换变成F，那么这2个变换的复合就是一个把F变y=x+yx=(+)x+(+)y成F的新的变换y=(+)x+(+)y，这个新变换的系数矩阵是原来的2个变换的系数矩阵的166乘积高斯在研究三元

6、二次型Ax2+2Bxy+Cy2+2Dxz+2Eyz+Fz2时，演算了一个类似的计算过程，这实际上给出了3×3矩阵相乘的法则在这里高斯把变换的系数写成矩阵阵列的形式，甚至用单个的字母S指代一个特殊的变换，但是没有明确指出这种复合的思想就是乘法 2.2 微分方程研究中孕育的矩阵思想18世纪，物理问题促进了微分方程的研究，微分方程成为一门独立的学科到18世纪中期，微分方程的求解成为微分方程课题的目标在微分方程中对解的问题的研究渗透了矩阵的一些概念二阶常微分2235方程早在1691年就在物理问题中出现了最初，数学家们用一个没有积出的积分来表示解，然后寻求把解表成积出形式，同时寻找用有限个初等

7、函数来表示解在达朗贝尔的从1743年到1758年的著作中，对二阶微分方程组d2yidt+aikyk=0 (i=1, 2, 3)进行了探讨k=1333535为了解这个方程组，对个方程分别乘上一个常量vi，而后加在一起得viaik+vk=0(k=1, 2, 3)，即如果(v1, v2, v3)是矩阵A=(aik)相应于i=1d2u的特征向量，那么变换u=v1y1+v2y2+v3y3就把方程化简成单个的微分方程2+u=0在化简的过程dt中孕育了特征向量、特征值等概念dtk=1特征方程、正交变换等概念柯西是受二次曲面的启发通过二次型的化简进行了研究柯西把一个中心在1815年，柯西对d2yi+aikyk

8、=0 (i=1, 2, 3)作了进一步的研究，他的研究过程孕育了对称矩阵、3第1期 董可荣：矩阵的早期发展 75原点的二次曲面用一个方程f(x, y, z)=k给出，这里f是一个二次型，然后需要找到一个坐标变换使f变成一个只含平方项的形式1829年，柯西找到变量的线性变换，使矩阵在这个线性变换的作用下是对角化3537的，并把这个问题推广到了有n个变量的二次型中，其系数可写成一个对称矩阵例如，二元二次型abax2+2bxy+cy2定义了2×2的对称矩阵在寻找把f(x, y)=ax2+2bxy+cy2转化成平方和形式的bc(a)x+by=0ax+bybx+cy线性变换的过程中，柯西得到2

9、个方程=，=，可以写成方程组，柯+=bx(c)y0xy西得出只有当行列式等于0的时候，这个方程组才有非平凡解，即(a)(c)b2=0，在后来的矩阵理论中，这个等式就是特征方程det（AI）=0在弄清特征方程的根是如何把一个矩阵对角化的过程中，x=x1u+x2v得到的二次型是1u2+2v2，然后证明了所有对角矩阵的特征向量柯西用变量的线性替换y=y1u+y2v（至少在不等的情况下）都是实的，并且矩阵可以通过正交变换而对角化1829-1830年，柯西第一次证419明了实对称矩阵的特征根是实数 2.3 行列式计算中孕育的矩阵思想在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述的，是法国数学

10、家范德蒙继范德123n蒙之后，在行列式的理论方面做出突出贡献的就是柯西1812年，柯西先后用S（±a1a2a3"an）、Sa1.1#an.1""#"a1.na2.n1，他第一次用双下标ar.s表示ars，两条竖线是凯#an.n4莱在1841年引进的1815年，柯西发表了一篇关于行列式理论的基础性文章，给出了系统的一般行列式乘法定理，证明了新组的行列式是原来2个组的行列式的乘积，即ci,j=ai,jbi,j，这里ai,j和bi,j代表n阶行列式，ci,j=ai,kbk,j在这篇文章中他用缩写的记号（a1,n）代表称之为“对称组”的矩阵：k=1na

11、1,1a2,1#an,1a1,2a2,2#an,2""#"a1,na2,n1843年，高斯的学生艾森斯坦用明确的符号S×T来表示2个变换S和T的复合这#an,n3537些内容写在1844年他的一篇讨论三次型的论文中关于这个记号，艾森斯坦写道：“顺便地，在它的基础上可以建立一个算法，其中包括把乘除法以及乘幂的一般运算规则应用到两个线性方程组的符号方程上正确的符号方程总是可以得到，它思考的中心问题是因子的顺序，即方程组复合的顺序往往不可以改变”，艾森斯坦这里所说的变换的一般运算规则实际上是矩阵的运算法则，并指出矩阵运算不符合交换律3 19世纪中叶西尔维斯特等

12、人促进了矩阵概念的形成关于矩阵的一些基本概念与结论很早就已经知道了，但都只是给出矩阵的排列形式没有明确给出矩阵5208概念这就是说“在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正相反”但是，矩阵的这种排列形式在行列式计算中的广泛应用，在线性方程组求解过程中的日趋简化，为矩阵概念的形成和发展提供了有利的条件，因为一方面在矩阵引进的时候行列式的基本性质就已经清楚了，另一方面行列式的应用为矩阵的发展提供了工具，从而使矩阵理论得到进一步的发展继柯西之后，在行列式理论方面最多产的是雅可比1827年雅可比给出结论：斜对称矩阵的秩是偶 42645数1846年凯莱给出了对称矩阵与斜对称矩阵的概念交换A

13、=（ar.s）的行与列得到矩阵（as.r）称为A的转置矩阵，记作AT，若AT=A，则称A是对称矩阵；若AT=A，则称A是斜对称矩阵特征方程的概念隐含地出现在欧拉1748年的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念，拉普拉斯在同一领域的著作中也出现了这个概念特征方程这个术语出现在柯西1840年76 高 师 理 科 学 刊 第28卷 的文章中西尔维斯特在矩阵的早期发展中做出了重要的贡献矩阵（Matrix）一词是由西尔维斯特最先使用的1850年，他在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引61855年，凯莱注意入了矩阵西尔维斯特创造矩

14、阵一词来表示“一项由m行n列元素组成的矩形阵列”7到在线性方程组中使用矩阵是非常方便的，因而引进矩阵以简化记号他用(, , , ")= 5203"=x+y+z+""=x+y+z+"(, , , ")表示方程组，继而把方程组的解用矩阵的逆来表xyz"x+y+z+"=#"="+"+"+"示凯莱接着给出零矩阵、单位矩阵等概念1858年，凯莱发表重要文章矩阵论的研究报告，用单个5209的字母表示矩阵，给出矩阵相等、相加、相乘的定义和规则4 结论从18世纪开始，物理等自然科学

15、的研究领域给予数学以新的推动力，为矩阵这一工具的早期发展提供了外部源泉整个18世纪和19世纪初的数学工作，远较其他世纪更为受到物理问题的激励，数学工作的目标被认为就是求解物理问题，数学只是物理的一个工具因此，大多数数学家并不关心数学的严密性，非常热衷于扩大数学的应用，而很少阐明其数学来源到了19世纪中期，一些数学家包括雅可比、达朗8贝尔、凯莱、西尔维斯特等对证明的考虑更少，数学家们所关心的是数学对其它领域的贡献，没有注重在贡献概念的同时对思想渊源的概括和抽象，所以我们看到了西尔维斯特在著名的结论后面没有给出证明，凯莱有关矩阵结论的错误断言以及凯莱对凯莱-哈密顿定理的不完整证明不难理解，数学在没

16、有逻辑支持的前提下，出现了行列式与矩阵这种不合逻辑的发展但是，数学作为工具在探索宇宙中的贡献，恰恰证明了不同领域的数学家们对数学真理的不懈追求，正是这种非常规的证明思路、逻辑演绎孕育了数学家们的灵感与思想，使得数学原本自然并最终回归自然，才可能为其它领域提供强有力的工具 参考文献：1 Muir，ThomasThe theory of determinants in the historical order of development（4 vols.）MNew York：Dover press，1960： 40-66.2克莱因M古今数学思想（第2册）M朱学贤，申又枨，叶其孝，等译上海：上海科学

17、技术出版社，2002：235-236， 362.3 冯健中国大百科全书·数学M北京：中国大百科全书出版社，2004：535，537.4 Macduffee C CThe Theory of Matrices，ChelseaMNew York：Chelsea Publishing Company，1946：5-26.5 克莱因M古今数学思想（第3册）M朱学贤，申又枨，叶其孝，等译上海：上海科学技术出版社，2002：203-2096 Sylvester，James JosephThe collected Mathematical Papers（1 vols.）MLondon：Cambri

18、dge University Press，1904：145.7 Cayley，ArthurThe Collected Mathematical Papers（2 vols.）MLondon：Johnson Reprint Corp.，1963：185-188.8 克莱因M数学确定性的丧失M李宏魁，译长沙：湖南科学技术出版社，2000：165.The earlier period development of the matrix theoryDONG Ke-rong（1. Department of Mathematics and Physics Sciences，Zibo Normal College，Zibo 255100，China；2. School of Mathematics and System Sciences，Shandong University，Jinan 250100，China） 1,2Abstract：Studied on the earlier period development of matrix theory by using of the documentary