高中数学知识点总结(大全)

1、WORD格式高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系xAxC U A , xC U AxA .2. 德摩根公式CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.3. 包含关系ABAABBABCUBCUAACUBCUABR4. 容斥原理card ( AB )cardAcardBcard( AB )card ( ABC )cardAcardBcardCcard( AB )card( AB )card ( BC )card(CA)card( ABC ) .5 集合 a1, a2, , an的子集个数共有 2 n个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2 n1 个；非空的真子集有 2 n

2、2 个 .6. 二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 f ( x )2bxc ( a0) ;ax(2)顶点式 f ( x )a ( x2k ( a0) ;h)(3)零点式 f ( x )a( xx1 )( x x2 )( a0) .7.解连不等式Nf ( x ) M常有以下转化形式Nf ( x)M f ( x )M f ( x )N 0| f ( x)MNMNf ( x) N02|2Mf ( x)11.f ( x)NMN8. 方程f ( x ) 0在 ( k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根, 与 f (k1 ) f(k 2 )0 不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,

3、方程 ax 2bx c0( a0 )有且只有一个实根在(k1 , k2 ) 内 , 等价于 f ( k1 ) f ( k 2 )0 , 或 f ( k1) 0且 k1bk1k2 , 或 f ( k2 ) 0 且2 a2k1 k 2bk2 .2 2a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数 f ( x) ax20) 在闭区间p, q 上的最值只能在xbbx c ( a处及区2 a间的两端点处取得，具体如下：专业资料整理WORD格式(1) 当 a>0 时，假设xbp , q ，那么 f x( ) nim f (b,) ( f) x xam xam(f,) p( )f q；专业资料整理WORD格

4、式2 abxp , q ，f ( x )max2 a(2) 当 a<0 时 ， 假设x2 amax f ( p ),f ( q) ， f ( x) min minb， 那么 f ( xm) i np , qf ( p), f ( q ).mi nfp()f ,，q (假设 )专业资料整理WORD格式2 a专业资料整理WORD格式4 q p 2xb，那么 f ( x) maxmax f ( p ), f ( q ) ， f ( x )minmin f ( p ), f ( q ) .p, q2 a10. 一元二次方程的实根分布依据：假设f (m ) f (n )0 ，那么方程 f ( x)

5、 0 在区间 ( m , n ) 内至少有一个实根.设 f ( x)x2pxq ，那么20p4 q 1方程f ( x )0 在区间 ( m ,) 内有根的充要条件为f (m ) 0 或；pm2专业资料整理WORD格式f ( m )2方程f ( x )f ( n )0 在区间 ( m , n ) 内有根的充要条件为f ( m ) f (n ) 0 或2pmf ( m ) 0f ( n )0或或af(m )；af ( n )002p4 q 3方程f( x )0在区间 (, n ) 内有根的充要条件为f (m ) 0 或pm2000n0.专业资料整理WORD格式11. 定区间上含参数的二次不等式恒成

6、立的条件依据(1)在给定区间 (,) 的子区间 L 形如,，, ，,不同上含参数的二次不等式f ( x, t )0( t为参数 ) 恒成立的充要条件是f( x , t ) m in0( xL ) .(2)在给定区间 (,) 的子区间上含参数的二次不等式f ( x, t )0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是f ( x, t ) m an0( xL ) .a0a0(3)f ( x )ax 4bx 2c0 恒成立的充要条件是b0.或24ac0c0b12. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13. 常见结论的否认形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多

7、有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有 n1个小于不小于至多有 n 个至少有 n1个对所有 x ，存在某 x ，成立不成立p 或 qp 且q对任何 x ，存在某 x ，不成立成立p 且 qp 或q专业资料整理WORD格式14. 四种命题的相互关系专业资料整理WORD格式原命题假设那么互逆逆命题假设那么专业资料整理WORD格式互互专业资料整理WORD格式互否为为互否专业资料整理WORD格式逆逆专业资料整理WORD格式否否专业资料整理WORD格式否命题假设非那么非互逆逆否命题假设非那么非专业资料整理WORD格式15.充要条件专业资料整理WORD格式 1充分条件：假设 2必要条件：假设 3充

8、要条件：假设pqpq ，那么 p ，那么 q ，且p 是 q 充分条件.p 是 q 必要条件.qp ，那么 p 是 q充要条件.专业资料整理WORD格式注：如果甲是乙的充分条件，那么乙是甲的必要条件；反之亦然.16. 函数的单调性(1) 设 x1x2a , b , x1x2那么( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )0f ( x1 )f ( x 2 )0f ( x )在 a, b上是增函数；x1x2( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )0f ( x1 )f ( x2)0f ( x) 在 a , b上是减函数 .x1x2(2)设函数 yf ( x ) 在某个区间内可导，如果f(

9、 x )0 ，那么 f ( x )为增函数；如果f( x )0 ，那么 f ( x ) 为减函数.17. 如果函数f( x)和 g ( x ) 都是减函数,那么在公共定义域内, 和函数f( x ) g ( x ) 也是减函 数 ;如果 函数 yf ( u ) 和 ug ( x ) 在 其 对 应的 定 义域 上 都是 减函 数,那么 复 合函 数yf g ( x )是增函数 .18奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称， 那么这个函数是偶函数19. 假设函数yf

10、 ( x ) 是偶函数 ，那么 f ( xa )f (x a)；假设函数 yf ( xa ) 是偶函数，那么 f ( xa )f (x a ) .20. 对于函数yf ( x ) (xR ), f ( xa )f(bx ) 恒成立,那么函数 f ( x)的对称轴是函数 xabf ( xa) 与 yf ( bx )的图象关于直线ab2; 两个函数yx对称 .221. 假设f ( x)f ( xa ), 那么 函 数yf ( x ) 的 图 象 关 于 点 (a对称; 假设,0)2f ( x )f ( x a) ,那么函数 yf ( x) 为周期为2a 的周期函数.22多项式函数P ( x )an

11、 x na n 1 x n1a 0的奇偶性多项式函数 P ( x ) 是奇函数P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数 P ( x ) 是偶函数P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23. 函数 yf ( x ) 的图象的对称性专业资料整理WORD格式(1) 函数yf ( x ) 的图象关于直线xa 对称f (2 ax )f ( x ) .f (ax )f ( ax )专业资料整理WORD格式ab(2) 函数yf ( x ) 的图象关于直线x对称f (amx )f (bmx )f ( abmx )f (mx ) .24. 两个函数图象的对称性(1)函数 yf(

12、x ) 与函数 yf (x) 的图象关于直线 x 0 (即 y 轴)对称.(2)函数 yf(mxa ) 与函数 yf (b mx ) 的图象关于直线ab对称 .x2 m(3)函数 yf( x ) 和 yf1 ( x) 的图象关于直线y=x对称.25.假设将函数 yf ( x ) 的图象右移a、上移 b 个单位，得到函数yf ( xa )b 的图象；假设将曲线 f ( x, y )0 的图象右移a、上移 b 个单位， 得到曲线 f ( xa , yb )0 的图象.26互为反函数的两个函数的关系f (a )bf 1 ( b )a .27.假设 函 数 yf (kxb) 存 在 反 函 数,那么

13、其 反 函 数 为 y1 f1 ( x )b ,并 不 是ky f1(kxb) ,而函数 y f1 ( kx b) 是 y1 f ( x ) b 的反函数.k28. 几个常见的函数方程(1)正比例函数 f ( x )cx , f( xy)f ( x )f( y ),f (1)c .(2)指数函数 f ( x)a x,f ( xy )f ( x ) f ( y),f (1)a0 .(3)对数函数 f ( x)logax ,f ( xy )f ( x)f ( y ), f ( a)1( a0, a 1).(4)幂函数 f ( x )x,f ( xy )f'.( x) f ( y ), f

14、(1)(5)余弦函数 f ( x)cos x ,正弦函数 g ( x )sinx ， f ( xy)f (x ) f ( y)g ( x) g ( y ) ，f (0)1, limg ( x)1 .xx 0专业资料整理WORD格式29. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) 1f ( x )f ( xa ) ，那么 f ( x ) 的周期T=a； 2f ( x )f ( xa)0 ，或 f ( x1( f ( x)0) ，a )f ( x)或 f (xa)1( f (x)0),f (x)或 1f ( x ) f 2( x)f( xa ), ( f ( x )0,1 ) ,那么 f (

15、x ) 的周期2(3)f ( x)110 ) ，那么f ( x )的周期 T=3a；( f ( x)f ( x a )(4)f ( x1x 2 )f ( x1 )f ( x 2 )且 f ( a )1( f ( x1 ) f ( x 2 ) 1, 01f ( x1 ) f ( x 2 )T=2a；| x1x2 |2 a ) ， 那么专业资料整理WORD格式f ( x ) 的周期T=4a；(5) f ( x)f ( xa)f (x2a) f (x 3a) f (x 4a)f ( x) f ( xa) f (x2a) f ( x3a) f ( x 4a) ,那么 f ( x ) 的周期T=5a；(

16、6) f ( xa )f ( x )f ( xa ) ，那么 f ( x ) 的周期T=6a.30. 分数指数幂专业资料整理WORD格式m1(1)a n a0, m , nN，且 n1 .n a mm1(2)a n a0, m , nN，且 n1 .ma n31根式的性质 1(na ) na . 2当 n 为奇数时，na na ；当 n 为偶数时，nan| a |a , a0.a , a0专业资料整理WORD格式32有理指数幂的运算性质(1)ara sa r s ( a 0, r , sQ ) .(2)( a r)sa rs( a0, r , sQ ) .(3)(ab ) ra rbr (a0

17、, b0, rQ )注： 假设 a 0，p 是一个无理数，那么质，对于无理数指数幂都适用 .33. 指数式与对数式的互化式.ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性专业资料整理WORD格式log a Nba bN( a0, a1, N0) .34. 对数的换底公式专业资料整理WORD格式loglog a NlogmmN( a 0 , 且a 1 , m0 ,且 m 1 , N0 ).a专业资料整理WORD格式推论 log am b nnb ( a, 且a1 , m , n0 ,且 m1 , n 1 ,N0).log a0m35对数的四那么运算法那么假设 a 0， a1， M 0，N 0，那么

18、(1)log a ( M N )log aMlog a N;(2)Mlog a Mlog a N ;log aN(3)log a M nn log aM( nR ) .36. 设函数f (x) logm (ax 2bxc)( a0),记b 24 ac .假设 f ( x ) 的定义域为R ,那么 a0 ，且0 ;假设 f ( x ) 的值域为 R ,那么 a 0，且0 .对于 a0 的情形,需要单独检验 .37. 对数换底不等式及其推广假设 a 0 ,b 0 , x0,x1 , 那么函数ylog ax ( bx )a(1)当 ab 时,在 (0,1) 和 (1,) 上 ylog ax (bx

19、) 为增函数.aa，(2) 当ab 时,在 (0,1) 和 (1,) 上 ylog ax (bx ) 为减函数.aa推论 :设nm 1 ，p0， a0 ，且 a1 ，那么 1logmp ( n p)logm n .专业资料整理WORD格式 2logam logan loga2 mn .238. 平均增长率的问题如果原 来产 值的 根底 数为N，平 均增 长率 为p，那么对于时间 x 的总 产值y ，有y N (1 p )x.39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系s1 ,n1数列 a n 的前n项的和为 sn a1 a 2an).ansn 1 , n(sn240. 等差数列的通项公式ana1

20、( n 1) d dna1 d (n N * ) ；其前 n 项和公式为snn ( a1 an)n( n 1)2na 1d2d2( a112nd ) n .241. 等比数列的通项公式ana1q n 1a1q n (n N *) ；q其前 n 项的和公式为a (1q n )1, q1sn1qna1 , q1a1a n q1, q或 sn1q.na1 , q1专业资料整理WORD格式42. 等比差数列 an: a n 1b ( n1) d , q 1anbq n( d b ) q n 1q 1qa nd , a1b ( q0) 的通项公式为d ；, q 1专业资料整理WORD格式其前 n 项和公

21、式为nbn ( n1) d , (q1)snd1nd.q(b)q11n ,( q 1)1 qq43.分期付款 (按揭贷款 )ab (1nb )元( 贷款 a 元 , n 次还清 ,每期利率为b ).每次还款xb)n(1144常见三角不等式 1假设x(0,) ，那么 sin xx tan x .专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式(2)假设 x(0,) ，那么1 sin x cos x2 .2(3)| sinx | cos x | 1.45. 同角三角函数的根本关系式2cos2， tan=sincot1 .sin1， tancos46. 正弦、余弦的诱导公式nn)(1) 2sin,

22、(n 为偶数 )sin(n12(1)2 co s,(n 为奇数 )n(n 为偶数 )n(2s,1 ) coco s ()n1(n 为奇数 )2(1 )2s i n,47. 和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan()tantan.1tan tansin() sin()22( 平方正弦公式 );sinsincos() cos()2sin2.cosa sinb cos=22)(辅助角所 在 象 限 由 点 ( a , b ) 的 象 限 决ab sin(定, tanb).a48. 二倍角公式sin 2sincos .cos 2cos2221 12

23、.sin2 cos2 sintan22 tan.1tan249.三倍角公式sin 33 sin4 sin 34 sinsin() sin() .33cos 34 cos 33 cos4 coscos() cos().33tan 33 tantan 3tan tan() tan() .123 tan3350. 三角函数的周期公式函数 y sin( x) ，xR及函数 ycos(x) ，xR(A,为常数， 且 A 0，2；函数 y tan( x) ， xk, k Z (A,为常数，且A 0) 的周期T20， 0) 的周期T.专业资料整理WORD格式51. 正弦定理abcsin Asin B2 R

24、.sin C52. 余弦定理a 2b 2c 22bc cos A ;2222ca cos B ;bca2222 ab cos C .cab53. 面积定理1ah a11 ha、 hb、 hc分别表示a、b、c边上的高.1Sbh bch c22211bc sin12Sab sin CAca sin B .222(3) SOAB1(|OA| |OB |)2(OA OB)2.254. 三角形内角和定理在 ABC中，有A B CC(A B)CA B2( AB ) .222C 2255. 简单的三角方程的通解专业资料整理WORD格式sinxaxkco s xax2 ktanxaxk(1) k arcsi

25、narccosa (karctana( ka ( kZ ,| a |1) .Z ,|a | 1).Z , aR ) .专业资料整理WORD格式特别地 ,有sinsink( 1) k(k Z ) .co scos2 k( kZ ) .tantank( kZ ) .56. 最简单的三角不等式及其解集sinxa (| a |1)x(2 karcsina , 2 karcsina ), kZ .sinxa(| a |1)x(2 karcsin a , 2 karcsina ), kZ .cosxa(| a |1)x(2 karccosa , 2 karccos a ), kZ .cos xa (| a

26、 |1)x(2 karccosa, 2 k2arccosa ), kZ .tanxa( aR )x( karctan a , k), kZ .2tanxa( aR )x(k, karctana ), kZ .257. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( ) a;(2) 第一分配律： ( + ) a=a+a;(3) 第二分配律： ( a+b)= a+b .58. 向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b·a 交换律;(2) a·b=a·b=a·b= a ·b ;(3) a+b·c= a

27、 ·c +b·c.59. 平面向量根本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且专业资料整理WORD格式只有一对实数 1 、 2 ，使得 a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组60向量平行的坐标表示基底 专业资料整理WORD格式设 a =( x1, y1), b= ( x2, y2)，且b0 ，那么 ab(b0)x 1 y 2x2 y10 .专业资料整理WORD格式53. a 与b的数量积(或内积)a·b=| a| b|cos 61. a·b 的几何意义数量积 a·

28、b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积62. 平面向量的坐标运算(1)设a= ( x1, y1 ) , b=( x 2, y 2) ，那么a+b= ( x1x 2 , y1y 2 ) .(2)设a= ( x1, y1 ) , b=( x 2, y 2) ，那么a-b= ( x1x 2 , y1y 2 ) .(3)设 A( x1, y1)， B( x2, y2),那么ABOBOA( x2 x1 , y2 y1 ) .(4)设 a=( x, y ),R ，那么a= ( x,y ) .(5)设 a=( x1, y1) , b=( x2, y 2 ) ，那么a

29、83;b= ( x1 x2 y1 y 2 ) .63. 两向量的夹角公式cosx1 x2y1 y2( a=( x1, y1) , b= ( x2, y2) ).2222x1y1x2y264. 平面两点间的距离公式d A ,B=| AB |ABAB2( y22( x2 x1 )y1 ) (A ( x1, y1)，B ( x2, y2) ).65. 向量的平行与垂直设 a =( x1, y1) , b= ( x2, y2)，且 b0 ，那么A| bb=ax 1 y2x2 y10 .a b(a0)a·b= 0x 1 x2y1 y2 0 .66. 线段的定比分公式设 P1 ( x1 ,y1

30、) ， P2 ( x2, y 2 ) ， P ( x, y ) 是线段 P1 P2的分点,是实数，且 P1 PPP2，那么x1x2xO P1O P21O Py1y21y1OPtOP 1 (1t )OP2t1 .167. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为A(x 1 ,y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y3 ) ,那么ABC的重心的坐标是G (x1x2x3 ,y1y 2y3).3368. 点的平移公式x'hx'hxx'OP PP' .''O Pyykyyk注: 图形F 上的任意一点P(x ， y) 在平移后图

31、形F '上的对应点为P ' ( x' , y ' ) ，且 PP '的坐标为 (h , k ) .69. “按向量平移的几个结论专业资料整理WORD格式 1点P ( x , y )按向量 a=( h, k )平移后得到点'k ) .P ( x h , y(2)函数 yf ( x ) 的图象 C 按向量a= ( h , k ) 平移后得到图象C',那么C'的函数解析式为 yf ( xh )k .(3)图象C'按向量 a= ( h, k )平移后得到图象C ,假设 C 的解析式yf ( x ) , 那么C'的函数解析式

32、为 yf ( xh ) k .(4)曲 线 C:f ( x , y ) 0 按 向 量a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C ',那么C'的方程为f ( x h, yk )0 .(5)向量 m=( x , y )按向量 a= (h , k )平移后得到的向量仍然为m=( x, y ) .70. 三角形五“心向量形式的充要条件设 O 为A BC 所在平面上一点，角A, B , C 所对边长分别为a, b, c ，那么222专业资料整理WORD格式（ 1O为ABC（ 2O为ABC（ 3O为ABC（ 4O为ABC（ 5O为ABC71. 常用不等式：（ 1a, b R的

33、外心O AO BO C .的重心OAOBOC0.的垂心OAOB OBOCOC OA.的内心aOAbOBcOC0 .的A 的旁心aOAbOBcOC .2b2( 当且仅当 a b 时取“ =号 ) a2 ab专业资料整理WORD格式 2a, bRa bab (当且仅当ab时取“=号)2 3a3b 3c 33abc ( a0, b0, c0). 4柯西不等式(a 2b 2 )( c 2d 2 )( acbd )2 , a , b , c , dR . 5 ababab .72. 极值定理 x , y 都是正数，那么有 1假设积xy是定值p，那么当xy 时和 xy 有最小值2p ； 2假设和xy 是定值s，那么当 xy 时积 xy 有最大值1s 2.4专业资料整理WORD格式推广 x , yR ，那么有 ( xy ) 1假设积xy是定值 , 那么当| xy |当 | x y | 最小时, | x y | 最小. 2假设和| xy | 是定值,那么当 | x2( xy ) 22 xy最大时 , | xy | 最大；y | 最大时,| xy | 最小；专业资料整理WORD格式当 | xy | 最小时,| xy |最大.73. 一 元 二 次 不 等 式ax2c0( 或0)