等差数列典型例题及分析

1、第四章数列例1已知数列1, 4, 7, 10,，3n+7,其中后一项比前一项大3. (1)指出这个数列的通项公式；(2)指出1+4+ (3n5)是该数列的前几项之和.正解：(1) an=3n 2;(2)1+4+ (3n5)是该数列的前 n-1项的和.例2已知数列 Q 的前n项之和为 Sn = 2n2 -n Sn = n2 + n +1求数列也的通项公式。正解：当n=1时，a1 =S1 =1当 n 至2时，an =2n2 -n-2(n -1)2 +(n1) = 4n3经检验 n=1时a1 =1也适合，,an =4n 3当 n =1 时，a1 =S1 =3当 n 之 2 时，an = n2 +n+

2、1-(n-1)2-(n-1)-1=2n；3 (n=1)an =,:2n (n 之 2)例3已知等差数列的前n项之和记为 S, S0=10 , S30=70,则S0等于正解：由题意:10 910al Qd =10230 2930al d = 702得a12= _,d515、.一40 39一代入得 S40 = 40al + x 40d = 120。 2例5已知一个等差数列 Q 的通项公式an=25-5n,求数列1| an |)的前n项和;'n(45 '),n<5正解：(2(20, 一5)+50, n 之6 -2例6已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220

3、,由此可以确定求其前 n项和的公式吗？1 -n例 7已知：an=1024+lg2 (lg2=0.3010) n=N+(1)问前多少项之和为8大？ （ 2）前多少项之和的绝对值最小?解：（1 ）a =1024 + (1 n)lg2 2 01024、an书=1024 nlg2 <0= Hg?:二 n1024, 1 ： 3401 ：二 n :二 3403 lg2(2)= 3402Sn =1024n n" 1)( lg2) = 02当Sn =0或Sn近于0时其和绝对值最小令：Sn =0 即 1024+ 吗-1)( lg2) =0得：n2048 1 :. 6804.99 lg22x -

4、px + q = 0的两根，求证此n w N 十 . . n = 6805例8项数是2n的等差数列，中间两项为an和an书是方程 数列白W口 S2n 是方程 lg2 x (lg n2+lg p2)lg x+(lg n+lg p)2 =0的根。(S2nA 0 )证明：依题意an +an = p2n(a1 a2n)a1+a2n=an*an=P-S2n = np2, lg 2 x (lg n2 lg p2)lg x (lg n lg p)2 =02一(lg x - lg np) =0x = np = S2n(状证)。四、典型习题导练1 .已知 a =3且 an =Sn+2n,求 an 及 Sn。2

5、.设 an = V12 + V23 + V3M+n(n+1),求证：n(n+1) can < (n")221113 .求和：1+十+”+1 2 1 2 31 2 3 n4 .求和：(1002 -992)+(982 -972) + +(42 32) +(22 -12)5 .已知a,b,c依次成等差数列，求证： a2 -bc,b2 -ac,c2 -ab依次成等差数列.6 .在等差数列中，a5+a13 =40 ,则 a8+a9+a10=()。A. 72B. 60C. 48D. 367 .已知an是等差数列，且满足 am = n,an = m（m # n）,则am4n等于ll11138

6、 .已知数列1*成等差数列，且 a3 = _ a5 = _-3 ,求ag的值。0n +2'67§ 4.2等比数列的通项与求和三、经典例题导讲 例1已知数列 也的前n项之和&=aqn （ a ¥0,q =1,q为非零常数），则 Q为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列正解：当 n= 1 时，a1=S=aq;n 1 .当 n>1 时，/. an =Sn -SnJL =aq （q -1）但 a2 = q -1 - qa1二吞n既不是等差数列，也不是等比数列，选Co例2已知等比数列 Q的前n项和记为8o

7、=1Q , S3o=7Q,则S。等于.错解：Ssq= S10 , q .二 q 2=7, q=±V7，二 S40= S30 q =±70%,'7.错因：是将等比数列中S, S 2m - Sm, S 3m10、aH_J=1QGm成等比数列误解为Sm, S 2m, S 3m成等比数列.正解：由题意:1 -qa1（1-q30） 二70.1 -qa1- = -10得1 - q,010 = 2或 q10 = 3（舍去）二 2-a-（1 -q40） = 200.1 - q例 3 求和：a+a2+a3+a 错解： a+a 2+a3+a0=-1 -错因：是（1）数列 an不一定是等

8、比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论 q是否等于1.正解：当 a = 0 时，a+a?+a3+a”= 0;当 a= 1 时，a+a2+a3+an = n；当 a#1 时， a+a 2+a3+- +an= 1 a .1 - a例 4设 a, b,c,d 均为非零实数，(a2 +b2 d2 2b(a +c d + b2 + c2 = 0 ,求证：a,b, c成等比数列且公比为 d。证明：证法一：关于d的二次方程(a2 +b2 d 2 2b(a + c d + b2 +c2 = 0有实根, & 44b2(a +c 2 4(a2 +b2 (b2 +c2)之

9、 0 , . . (b2 acf 2 0则必有：b2 ac=0,即b2 =ac, .非零实数a,b,c成等比数列设公比为q ,则b = aq , c = aq2代入a2 a2q2 d2 -2aq a aq2 d a2q2 a2q4 =0(q2 +1 a2 ¥ 0 ,即 d 2 -2qd + q2=0, IP d = q 0 o证法二：(a2 +b2 d 2 2b(a +c d +b2 +c2 = 0 1- a2d 2 -2abd b2)Tb2d2 一 2bcd c2 =0 ， (ad -b 2 +(bd -c 2 =0 ,ad = b，且 bd =c .一 b c . a,b,c,d

10、 非零，一 二 = d。a b例5在等比数列bn中，b4 =3,求该数列前7项之积。解：bb2b3b4b5b6b7 川附 b2b6 b3b5 b. 2 . . ._-23 _ _7 b4 =b1b7 =b2b6 =b3b5, 前七项之积(32 )黑3 = 37 = 2187前n项和例6求数歹U n M一-111解：Sn-1-2-3-248n 2n2Sn =111111+2"+3父一+ +(n -1) + n48162n2 11 1 1两式相减：一Sn22 4 811- -n r2 n2n 12(1 -2n1-;n2n 11 n1 nSn 二 2(12n 1 ) ; 2 - 2n-2n

11、例7从盛有质量分数为 20%勺盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入次都倒出1kg盐水，然后再加入 1kg水，问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg?1kg水，以后每(2) 经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为、1-a尸 0.2(kg) ,a2=X0.2an,(kg),则：a3= ( 1) 2x 0.2 (kg)2由此可见：an= ( )n-x 0.2 (kg),2a5= ( 1 )51x 0.2= ( 1 )4X 0.2=0.0125(2) 由(1)得an是等比数列a1=0.2 ,21q2(kg

12、)。S6 二a1(1 -q6)1 -q10.2(1 -)12 = 0.39375(kg)1 20.4 -0.39375 = 0.00625(kg)0.00625 -2 =0.003125(kg)答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg; 6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：0.003125。1)2)a1= -2,a3= -8a1=5, JeL 2an+1=3al3)a1=5,且 an±=-an n 12.在等比数列 GnL已知a =5, a9a10 =100,012n_43.已知

13、无穷数列105,105,105,10-求证：(1)这个数列成等比数列(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的110(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列%n为1,2x,3x2,4x3nx""(x"0/此数列前n项的和。5 .已知数列an中，a产工 且an+尸S,求an , S6 .是否存在数列an,其前项和Sn组成的数列S也是等比数列，且公比相同?7 .在等比数列 圾中，a1a3 =36,a2十a4=60,Sn 400,求n的范围。§ 4.3数列的综合应用三、经典例题导讲例1设&n是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明lo

14、gi Sn log 1 Sn 222>10g1 Sn 斗。22log 1 Sn log 1 Sn 2错解： 欲证22>l0gl Sn中22只需证 log1 Sn + log 1 Sn电 >2log1 Sn 书即证：logi (Sn Sn&) > 10g 1 S由对数函数的单调性，只需证（Sn 6&） S：书Sn Sn -2 Sn-M =2nn < x现(1 -q )(1 -q )2n H、2a1 (1 - q )(1 -q)2(1-q)2二 原不等式成立.错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了log1 Sn log1 Sn 2q= 1的情况.正

15、解：欲证一222只需证 log 1 Sn log 1 Sn 2>log 工 Sn 42>2log1 Sn 1即证：log1（Sn Sn 也）logS由对数函数的单调性，只需证（Sn 'Sn42） S：书由已知数列qn）是由正数组成的等比数歹U,q >0, a10 .222则 Sn Sn芈一Sn邛 = nai (n +2)a 一(n +1)a = a1 v 0；若 q = 1,Sn 史Sn + =ai2(1-qn)(1 一 qn 2)(1-q)22n 1、2a1 (1 - q )(1-q)22 n=-a1 q ：二 0SnSn 2二 原不等式成立.1111例4求数列1+

16、1, +4, = + 7,r+10,，F+(3n2),的前n项和。23na a aa1解：设数列的通项为 an,前n项和为则an+(3n-2)an-c 111Sn =(12f) 1 4 7(3n- 2)a aa一 一一 2当a=1时,Sn(1 3n -2)n3nn二 n 二22当a#1时，Sn1-a1 a(1 3n -2)n _ an -1(3n -1)n2- an -anJ 2例5求数列一6一,6,6-,一6, 前n项和 1 2 2 3 3 4 n(n 1)11、解：设数列的通项为bn,则 bn = = 6(- )n(n 1) n n 111111Sn = a "(1；"

17、”)二 6(1 -6nn 1例6设等差数列an的前n项和为且Sn =(亘上了伯三N十), 2求数歹U an的前n项和a.1 c 解：取 n =1,则 a1 =() => a1 = 12,n(a1an)n(a1 - an)an - 1 2又由Sn- 可得： -=(一)2222*、 an "j_1(nN ) an 2n -1,Sn =1 3 5(2n -1) =n2例7大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。(假定相邻两层楼梯长相等)解：设相邻两层楼梯长为 a,则S 二 a(1 2 k-1) 0 1 2 (n- k)22n n=a k -(n 1) k 2n 1当n为奇数时，取k =S达到最小值2当n为偶数时，取k = n或口士ZS达到最大