时一元二次方程

1、第1课时 一元二次方程（1）1、使学生了解一元二次方程的意义。2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。一、自主学习 感受新知【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？【分析】设宽为x米，则列方程得：x(x+10)=900；整理得 x2+10x-900=0【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增

2、加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：5(1+x)2=7.2；整理得 5 x2+10x-2.2=0【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 （x-1）队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：；整理得 x2-x-56=0二、自主交流 探究新知【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 （填 “整式”“分式”“无理式”）；（2）方程整理后含有 一 个

3、未知数；（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。【归纳】1、一元二次方程的定义等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a0时才叫一元二次方程，如果a=0，b0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a0这个条件。【补充练习】判断下

4、列方程，哪些是一元二次方程？（1）x32； （）x2；（）5x2-2x-=x2-2x+； （）（x）2（x）；（）x2xx2； （）ax2bxc三、自主应用 巩固新知【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等解：去括号，得：3x2-3x=5x+10移项合并同类项，得：3x2-8x-10=0其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系

5、数、常数项都包括前面的符号. 【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式解：去括号，得：x2+2x+1+ x2-4=1移项合并同类项，得：2x2+2x-4=0其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是-8，常数项是-10。【例3】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二

6、次方程，只要证明m2-8m+170即可证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+1>0，即（m-4）2+10不论m取何值，该方程都是一元二次方程【练习】27 1 2四、自主总结 拓展新知1、a0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思四、自主总结 拓展新知1、a0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax

7、2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第2课时 一元二次方程（2）学 习目 标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。学习重点一元二次方程解的探索。学习难点一元二次方程近似解的探索。一、自主学习 感受新知【问题1】把方程3x(x1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？x

8、2+4x+=0 x2+3x2= x2x22xy3=0 a x2+bx+c=0二、自主交流 探究新知【探究】猜测方程的解是什么？【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。x2-16=0 (

9、x+3)(x-2)=0 (x-2)2=49 x2-2x+1=25【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题解：x2-16=0 (x+3)(x-2)=0x2=16 x+3=0或x-2=0x=±4 x=-3或x=2(x-2)2=49 x2-2x+1=25x-2=±7 (x-1)2=25x=9或x=-5 x-1=±5 x=6或x=-4三、自主应用 巩固新知【例1】若x2是方程的一个根，你能求出a的值吗？【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的

10、一元一次方程，进而解即可解：x2是方程的一个根 ，解之得： a【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。解：x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 a+b+c=0 2007(a+b+c)=0【练习】28 1 2四、自主总结 拓展新知1、一元二次方程根的概念；2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；3、要会用一些方法求一元二次方程的根五、课堂作业 P28 3 4 8 （课堂内外对应练习

11、）【补充练习】1、方程x（x-1）=2的两根为【 】 Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2= -1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=22、方程x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= 。5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值第3课时 解一元二次方程配方法（1）学 习目 标1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。2、渗透转化思想，掌握

12、一些转化的技能。学习重点掌握直接开平方法解一元二次方程。学习难点灵活运用直接开平方法解一元二次方程。一、自主学习 感受新知【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：10×6x2=1500由此可得：x2=25根据平方根的意义，得x=±5即x1=5，x2=-5可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。二、自主交流 探究新知【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎

13、样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=，x2=。在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+ 3 )2=4，进行降次，得到 x+3=±2 ，方程的根为x1= -1，x2= -5。【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程即，如果方程能化成或的形式，那么

14、可得或三、自主应用 巩固新知【例1】解下列方程：2y2=8 2(x-8)2=50(2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0 【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成或的形式，若能，则可运用直接开平方法解。解：2y2=8 2(x-8)2=50 y2=4 (x-8)2=25 y=±2 x-8=±5 y1=2，y2=-2 x-8=5或x-8=-5 x1= 13，x2= -3(2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0 (2 x-1)2=-4<0 (2 x-1)2=0原方程无解 2 x-1=0 x1= x2= 【例2】市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需

15、扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块绿地的边长增加了多少米？（结果保留一位小数）解：设这块绿地的边长增加了x米。根据题意可列方程： （15+x）2=30015+x=±10即15+x=10或15+x=-10x1=-15+102.3，x1=-15-10(负根不合题意，舍去) 答：这这块绿地的边长增加了2.3米。【例3】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率【分析】设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）m2；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=

16、10（1+x）2 m2解：设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程： 10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 1+x=±1.2 即1+x=1.2或1+x=-1.2 x1=0.2=20%，x2= -2.2(负根不合题意，舍去)答：每年人均住房面积增长率应为20%【练习】31 1四、自主总结 拓展新知1、用直接开平方解一元二次方程。2、理解“降次”思想。3、理解x2=p或(mx+n)2=p(p0)为什么p0？五、课堂作业 P42 1 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第4课时 解一元二次方程配方法（2）学 习目 标1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。2、掌握配方法

17、和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能学习重点掌握配方法解一元二次方程。学习难点把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。一、自主学习 感受新知【问题1】填空（1）x2-8x+_16_=（x-_4_）2；（2）9x2+12x+_4_=（3x+_2_）2；（3）x2+px+=（x+）2【问题2】若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 ±12 。【问题3】要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x6）m，根据矩形面积为16 m2，得到方程x（x6）16，整理得到x2+

18、6x160。二、自主交流 探究新知【探究】怎样解方程x2+6x-16=0？对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项得：x2+6x=16两边都加上9即，使左边配成x2+bx+b2的形式，得：x2+6x+9=16+9左边写成平方形式，得：(x+3)2=25开平方，得：x+3=±5 （降次）即 x+3=5或x+3= -5解一次方程，得：x1=2，x2=-8【归纳】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程三、自主应用 巩固新知【例1】用配方法解下列方程：x2-8x+1=0x2-4x+1=09x2+6x-3=0【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式。解：x2-8x+1=0x2-4x+1=0 9x2+6x-3=0移项得： 移项得： 移项得： x2