圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)教学文案

1、此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除圆锥曲线1 .圆锥曲线的两定义：第二定义中尝惠理二战t”.一内跑限制条件：椭圆中，与两个定点F1, F2的距离的和等于常数 2a, 且此常数2a一定要大于|FiF21，当常数等于F1F2时，轨迹是线段 F1F2,当常数小于|FiF2|时，无 轨迹；双曲线中，与两定点F1, F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数2a 一定要小于|F1F2 I , 定义中的“绝对值”与2av|F1F2|不可忽视。若2a = |F 1F2| ,则轨迹是以F1 , 52为端点的两条射 线，若2a > |F 1F2 I ,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹

2、仅表示双曲线的一支。2 .圆锥曲线的标准方程 (标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：2222(1)椭圆：焦点在x轴上时4 4 1( a b 0),焦点在y轴上时22 0=1( a b 0)。 a ba b22万程Ax By C表布椭圆的充要条件是什么？ ( ABCW0,且A, B, C同号，AwB)。2222xyyx一一 一(2)双曲线：焦点在x轴上： % =1,焦点在y轴上：% =1 (a 0,b 0)。方程 abab-22Ax ByC表小双曲线的充要条件是什么？ ( ABCW0,且A, B异号)。(3)抛物线：开口向右时 y2 2Px(p 0),开口向左时

3、y2 2Px(p 0),开口向上时2 2x 2py( p 0),开口 向下时 x 2 py(p 0)。3 .圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：(1)椭圆：由x 2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。(2)双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a最大，a2 b2 c2,在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。4 .圆锥曲线的几何性质：22(1)椭圆(以 J -yy 1 (a b 0)为例)：范围：a x a, b y b ；焦点：两 a2b2个焦点(c

4、,0)；对称性：两条对称轴x 0, y 0 , 一个对称中心(0,0 ),四个顶点(a,0),(0, b),2其中长轴长为2a ,短轴长为2b ；准线：两条准线x ；离心率：e c ,椭圆 0 e 1 , cae越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。x2 y2双曲线(以方1 (a 0,b 0)为例)：范围：x a或x a,y R；焦点： a2 b2两个焦点(c,0)；对称性：两条对称轴x 0, y 0 , 一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其 中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为2a 一cx2 y2 k,k 0；准线：两条准线x ；离

5、心率：e 一,双曲线 e 1 ,作轴双曲线 cae 五,e越小，开口越小，e越大，开口越大； 两条渐近线：y 'x。a2R;焦点：一个焦点声,0)，其中P20,没有对称中心，只有一个顶点(0,0);准线：一条准线x ；离心率： 2 22x y 一5、点 P(x°, y°)和椭圆1 ( a a b22(2)点P(x0,y°)在椭圆上x? 驾a be -,抛物线 e 1。ab 0)的关系：(1)点P(x0,y。)在椭圆外22=1 ； (3)点 P( x0, y0)在椭圆内02 22a b2 过a1y.2b71;(3)抛物线(以y 2 Px(p 0)为例)：范围

6、：x 0, y 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y6.直线与圆锥曲线的位置关系(1)相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0,当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。(2)相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；(3)相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物

7、线相离。提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线 22与抛物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线 与 j=1外一点P(x°, y°)的直线与双曲线只有一个 a b公共点的情况如下： P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：

8、一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：S b2tan- c|y0|,2b2.当|y0| b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线S 。如 (1)短轴长为M5,tan 28、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；(2)设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则/ AM已/ BMF (3)设AB为焦点弦，A B在准线上的射影 分别为A1,B1 ,若P为A

9、1B1的中点，则PA! PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于 C点，则A, O, C三点共线。9、弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB只供学习交流用=1 k2X1X2方程设为x ky算,若y1, y2分别为A、B的纵坐标，则 AB =11 V 己b,则 AB = J1 k2yiy2 °| y1 y2 ,若弦AB所在直线特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 抛物线：2在双曲线x2 a

10、2yr 1中，以P（X0,y0）为中点的弦所在直线的斜率 bk=；在抛物线a V。2y 2px(p0）中，以P（X0,y0）为中点的弦所在直线的斜率提醒：因为 忘了检验0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 0!k3V。故在求解有关弦长、对称问题时，务必别11. 了解下列结论（1）双曲线2X2 abx a2匕1的渐近线方程为b2为渐近线（即与双曲线2X2a2X2 ay20.°,2匕1共渐近线）的双曲线方程为b22 X2 a2y-(为 b2参数，W0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22 彳mX ny 1

11、 ；2b2竺，焦准距（焦点到相应准线的距ab2离）为”,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦;(6)若抛物线y2 2Px(p 0)的焦点弦为AB, A(x1，y1)，B(x2, y?),则| AB |为 飞 p；2 X1X2 , yiy2p242(7)若OA OB是过抛物线y 2px(p 0)顶点。的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：(1)给出直线的方向向量 u 1,k或u m,n ;(2)给出OA OB与AB相交，等于已知OA 而过AB的中点；(3)给出pm, PN 0,等于已知P是M

12、N的中点；(4)给出AP AQ Bp BQ ,等于已知p,q与ab的中点三点共线；r _ r(5) 给出以下情形之一：AB/AC ；存在实数，使AB AC ；若存在实数 UULTUUU UUU,且1,使OCOA OB ,等于已知A, B,C三点共线.(6)给出MA MB 0,等于已知 MA MB,即 AMB是直角，给出MA MB m 0 ,等于已 知 AMB是钝角，给出MA MB m 0,等于已知 AMB是锐角，(8)给出MA MBMA MBMP ,等于已知MP是 AMB的平分线/(9)在平行四边形 ABCD中，给出(AB AD) (AB AD) 0,等于已知 ABCD是菱形； uuu uuu

13、r uuu uur(10)在平行四边形 ABCD中，给出|AB AD | | AB AD |,等于已知 ABCD是矩形；.2 2 2(11)在 ABC中，给出OA OB OC ,等于已知O是 ABC的外心(三角形外接圆的圆 心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；三角形三条中线的交点)；(13)在 ABC中，给出 的垂心是三角形三条高的交点)OA OB OB OC OC OA,等于已知O是ABC的垂心(三角形'UUT UUT(14)在ABC中，给出OP OA (-AB- -AC-) (R )等于已知AP通过 ABC的内心；(15)在ABC中，给出|AB| |AC|a OA b

14、OB c OC 0,等于已知O是 ABC的内心(三角形内切(12)在 ABC 中，给出 OA OB OC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点)；uuur 1 uuu uuur(16)在 ABC中，给出AD AB AC，等于已知AD是 ABC中BC边的中线；2 UUT UUU(3)已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，OA OB 0,点C坐标为(0, 2p)(1)求证：A,B,C三点共线；UUUT UUT(2)若AM = BM ( R)且OM AB 0试求点M的轨迹方程。(1)证明：设x2 x 2 uuu“为豪B区

15、宙，由0AuuuOB22x1 x2x#22p2p22x2 x1 为：一2p0,(2p2uuurx#24p2,又QAC(xi,2p2 x12puuu),AB (x2 x1,22x2x12p2x12p)(x2 x1) 0,uur uuu AC / AB ,即A,B,C三点共线。uuuur uuu(2)由(1)知直线AB过定点C,又由OM AB 0及AM = BM ( R)知OM AB,垂 足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x 0,y 0)。13.圆锥曲线中线段的最值问题:例1、(1)抛物线 C:y2=4x上一点 P到点A(3,4 J

16、2 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为分析:(1) A在抛物线外，如图，连PF,则PHPF,因而易发现,当 A、P、F三点共线时，距离和最小。(2)B在抛物线内，如图，作QRl交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：(1)(2,21、已知椭圆G的方程为 41,双曲线G的左、右焦点分别为 C的左、右顶点，而 G的左、右顶点分别是C的左、右焦点。求双曲线G的方程;(2)若直线l ： y kx<2与椭圆C及双曲线 G恒有两个不同的交点，且 l与G的两个交点 A和B满足OA OB 6 (其中

17、O为原点),求k的取值范围。解：(I)设双曲线2G的方程为工2 a2y- 1 ,则 a2 b23,再由 a2 b2c2得b2 1.2故C2的方程为31. (II )将 y kx72代入y2 1 得(1 4k2)x2 8.2kx 4 0.由直线l与椭圆。恒有两个不同的交点得(8,2)2k2 16(1 4k2)-216(4k1) 0,即 k2kx 一2代入31 得(1 3k2)x2 6 2kx9 0.由直线1与双曲线。恒有两个不同的交点-21 3k 0, A, B得2 ( 6,2k)236(1 3k2) 36(1k2)即 k21 且 k2 1.0.3设A(Xa，Ya), B(Xb, Yb),则Xa

18、uuu 由OAuurOB 6 得 XaXb yAyBXaXbabXaXb(k2(kxA1)XaXbXb一16,而、2)( kxB国Xa6.2k2 ,3kXa Xb_9_1 3k2(k23k23k2Xb) 26 .2k1 3k2工曰3k2 于是 3k日口 15k26,即3k13.13 0.解此不等式得k2身或k2 1153由、k21或13315k2 1.故k的取值范围为(1,U(在平面直角坐标系 xOy中，已知点A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上，M点满足 MB/OA, MA?AB= ME?BA,M点的轨迹为曲线C(I)求C的方程；(n)P为C上的动点,1为C在P点处得切线，求 。点

19、到1距离的最小值。(I)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).uuur所以 MA= (-x,-1-y )uuir,MB =(0,-3-y),uuuAB =(x,-2).再uuur uuir由愿意得知(MA + MB )uuuAB =0,即(-x,-4-2y ) ?(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y= 1x2-2. ( n )设 P(x0,y0)为曲线 C： 4y=- x2-2 上一点,因为 y' = 3x,所211八八以l的斜率为一x0因此直线l的方程为yy0 x0(xx0),即x0x2y2y022x2 0。则。点至UI的距离d 12yL_x£ |.又

20、X2 4yo1 2-X22 ,所以4x2 4.X04 4)2,当X2 =0时取等号，所以。点至l距离的最小值为2.2 X 设双曲线-2 a2y 1 (a>0,b >0)的渐近线与抛物线 by=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于(2 X 设双曲线x_a2二 1的一条渐近线，则双曲线的离心率为().b22 y b21 ( a b 0)的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点P , F2为右焦点F1PF260°,则椭圆的离心率为已知双曲线2J 1(b 0)的左、右焦点分别是 b2Fi、F2 ,其一条渐近线方程为y x ,占八、P”3y0)在双曲线上.则PF1 PF2 =( )0已知

21、直线y k x 2 k0与抛物线C : y2 8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若| FA | 2 |FB | ,贝U k ()已知直线I1：4x 3y 6 0和直线l2：x21 ,抛物线y4-上一动点P到直线I1和直线I2的距离之和的最小值是() 设已知抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点为 F(1, 0),直线I与抛物线C相交于A, B两点。若AB的 中点为(2, 2),则直线I的方程为 .x2 y2椭圆一 工 1的焦点为F3F2,点P在椭圆上，若|PF1| 4,则|PF2| ; F1PF2的大92小为.过抛物线y2 2 Px(p 0)的焦点F作倾斜角为45o的直线交抛物线于 A、B两点，若

22、线段 AB的长为8,则 P 【解析】设切点P(X0, y0),则切线的斜率为y |x X0 2% .由题意有" 2x0又y0 x02 1解得:X021, - 2,e . '1 2. 5aI a22双曲线2x_y 1的一条渐近线为a b=(一)2 4 0 所以-2,e aa abyy x,由方程组 7 ab- xa，消去x2 1bx 1 a0有唯一解，所以a2 b21 (b)25由渐近线方程为y x知双曲线是等轴双曲线，：双曲线方程是22x y 2 ,于是两焦点坐标分别是( 2, 0)和(2, 0),且 p( J3,1)或 p(J3, 1).不妨去 P(J3,1),则PF；(

23、2 芯,1), PF2(2 氏，1).PF1-PF2=(23, 1)(2 、3, 1)(2.3)(2 ,3) 1 02一_【解析】设抛物线C : y 8x的准线为l : x 2直线y k x 2 k 0恒过定点 p 2,0 .如图过A、B分别作AMl 于 M , BN l 于 N ,由 | FA | 2 |FB | ,则“ 八 1| AM | 2|BN |,点 B 为 AP 的中点.连结 OB,则 |OB| - | AF |,| OB | | BF |点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,2 2) k2 一2 02/2 ,故选D1 ( 2)3A x1, y1 ,B X2，y2，贝U有x1x2）

24、2y12y24x14x2两式相减得，y122Y24 XiX2Yiy2Xix2y1一 1Y21.2.直线i的方程为y-2=x-2,即 y=x点p处的切线PT平分 PF1F2在点p处的外角.PT平分 PFF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.6.2 X 右P0（x0, y0）在椭圆 a2 x 右Po（xo,yo）在椭圆2 y b22 y b21上，则过P0的椭圆的切线方程是 粤 a1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为线方程是7.XoX-2a2

25、 y b21 (a >b>0)的左右焦点分别为椭圆的焦点角形的面积为 SF1PF2b2 tan28.b21 ( a> b>0)的焦半径公式:YoY b2P、P2,F1, F2,点P为椭圆上任意一点1.则切点弦P1P2的直F1PF2|MFJ a exo, |MF2 | a exo（ F1（ c,0）,F2（c,0） M（x0,y。）.9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M N两点，则MFL NF.10.过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, Ai、A2为椭圆长轴上的顶点，AP和A2

26、Q交于点M,A2P和AQ交于点N,则 MFL NF.22.211.Ab是椭圆 将 4 1的不平行于对称轴的弦，M(xo, yo)为AB的中点，则 L kAB2 ,a ba即Kabb2Xo-2°a y012 .若Po(Xo,yo)在椭圆y b21内，则被Po所平分的中点弦的方程是22XoXyo yXoyo-2-2T2abab2 X13.右 Po(Xo,yo)在椭圆 a222yxyXoXy°y2T1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2_020Zbabab、双曲线1. 点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的内角.2.PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H

27、点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.4 .以焦点半径PR为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)225.若F0(Xo,y0)在双曲线 今 与 1 (a>0,b>0)上，则过Po的双 曲线的 切线方程 是 a bXoX yoy 1221.a b22x y6.右B(Xo,yo)在双曲线0 J 1(a>o,b>o)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为 a bR、P2,则切点弦P1P2的直线方程是x2x邛1. a b227.双曲线 与 与 1 (a>o,b >。)的左右焦点分别

28、为曰，F2,点P为双曲线上任意一点a b2F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SFPFb2cot.127F1 pf22228 .双曲线 xy 4 1 (a>o,b>o)的焦半径公式：(F1( c,o), F2(c,o) a b当 M(Xo,yo)在右支上时，|MFJ exo a, | MF21 e% a.当 M (Xo, yo)在左支上时，| MF1 |exo a , | MF21exo a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M N两点，则MFL NF.10 .过双曲线一个焦点 F的直线

29、与双曲线交于两点P、Q, A、A2为双曲线实轴上的顶点，AP和A2Q交于点 M A2P和A Q交于点N,则MF! NF. 2211 . AB是双曲线 与 “2 1 (a>o,b>o)的不平行于对称轴的弦，M(Xo, y°)为AB的中点，则a b12.13.1.2.3.4.5.6.K K 也、OM 、AB 2，a V0若P0(x0, y0)在双曲线Xoxyoyb22 x02a即K AB2y。b2若P0(xo,yo)在双曲线2 y b2x)x-2a椭圆b2b2x0-2°a y02 y_ b21 (a>0,b >0)内，则被 Po所平分的中点弦的方程是2y

30、 1 (a>0,b >0)内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是 bycyb2 .椭圆与双曲线的对偶性质椭1 (a> b>o)的两个顶点为2xP1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹万程是-2a2 x 过椭圆-2 a2 y b2B,C两点，则直线若P为椭圆PF2F1(会推导的经典结论) 圆A( a,0) , A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于2L 1 b2.1 (a >0, b >0)上任一点A(X0,y°)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于BC有定向且kBCb2x0 a2y02L 1 b2(a>b>0)上异于长轴端点的任一点 ，F1

31、, F2是焦点，PF1F2tan co t .22b21 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在 PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2Psin c,则有-e.sin sin a1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当0vew金时，可在椭圆上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2P为椭圆 a2yT 1 (a>b>0)上任一点，F1,F2为二焦点， A为椭圆内一定点，则 b2a |AF2 11PA | |PFi| 2a | AFi |,当且仅当A, F2, P三点

32、共线时，等号成立227.0有公共点的充要条件是椭圆(X xo)(y 2y0)1 与直线 Ax By CabA2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.8.22已知椭圆:与a2 b211" 2 _2 |OP| |OQ|1 (a>b>0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 OP OQ. (1)12 a1声224a2b2|OP| 2+|OQ|2的最大值为 粤；(3) S OPQ的最小值是a b2, 2 a b-222 . a b229.x y过椭圆-2、1 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦MN的垂直平 a b10.分线交x轴于2

33、已知椭圆二 a巳则me| MN | 22y , 1 ( a >b>0)b2,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与 x轴2,2a b相父于点P(x0,0),则 a2,2a bx。211.设P点是椭圆与ay2b21 ( a >b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、卷为其焦点记12.F1PF2，则(1)|PF1|PF2|2b2 .(2) S1 cosPF1F2b2 tan 一 .22设A、B是椭圆2- ab21 ( a >b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点，PABPBABPAc、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) |PA|2 ,.2ab |cos

34、 |2 2c cos.(2)tan tan.2-1 e .(3)2a2b2S PAB7-22 cotb a13.b21 ( a >b>0)的右准线l与-轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC -轴，则直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在椭圆焦三角形中，非焦

35、顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .）17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线x2y21.双曲线 匕 1 （a>0,b >0）的两个顶点为 A1（ a,0） , A2（a,0）,与y轴平行的直线 a b22交双曲线于P1、P2时A1P1与A2B交点的轨迹方程是 与 与 1.a2 b2222 .过双曲线 与 冬 1 （a>0,b >o）上任一点 A（xo,yo）任意作两条倾斜角互补的直线交a bb2x双曲线于B,C两点，则直线 BC有定向且kBC巳_0 （常数）.a V

36、。223 .若P为双曲线2- 4 1 （a>0,b >0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦a2b2点，PF1F2,PF2F1,贝U tan cot （或 tan一cot一）c a 22 c a 22224.设双曲线 与 纭 1 （a>0,b>0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上 a2 b2任意一点，在 PF1F2中，记 F1PF2PF1F2F1F2P,则有sinc e.(sin sin ) a22x y5.右双曲线 1 1 (a>0,b >0)的左、右焦点分别为 F、F2,左准线为L,则当1ve a bw J2 1时

37、，可在双曲线上求一点 巳使得PFi是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.6.2P为双曲线xya2 匕 b21 (a>0,b >0)上任一点，Fi,F2为二焦点，A为双曲线内一定点,则 | AF2| 2a|PA| PFi |,当且仅当A, F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.7.双曲线2 xa2y-1b2(a>0,b>0)与直线 Ax By C0有公共点的充要条件是8.(1)值是9.2, 2B bj , x2已知双曲线 aOP OQ.1-Z 2|OP|a2b2b2 a2过双曲线C2.2 y b21_2|OQ|(b>a >0), O为坐标原

38、点,P、122丁；(2) |OP| +|OQ|的取小值为 b2Q为双曲线上两动点，且.2.22a2 ;(3)Sopq 的最小b a2 y b2(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于p,则-LPF-L | MN |10.2已知双曲线当 a2 y b21 (a> 0,b >0) ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点22 a bP(Xo,0),则 Xo 或x011.设P点是双曲线2-y2 1 (a>0,b >0)上异于实轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点记b212.F1PF2,则(1)|P

39、Fi |PF212b2一F.(2)2bcot .22设A、B是双曲线三PABaPBA2yf 1 (a>0,b>0)的长轴两端点, bP是双曲线上的一点,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除13.14.15.16. |PA|2 .2ab |cos |a222c cos |(2) tan tan2 X已知双曲线-2 a2 y_ b2的直线与双曲线相交于段EF的中点.2e .(3) S pab1 (a>0,b >0)2a2b2 , AVcot的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点FA B两点，点C在右准线l上，且BC X轴

40、，则直线 AC经过线过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心只供学习交流用率).e.).（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点17 .双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比18 .双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的

41、根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：ab|：；:ik2x1x2|、:1：2y1y22、直线的一般式方程：任何直线均可写成& + & + C = 0（A,B不同日为0）的形式。3、知直线横截距飞，常设其方程为工=号+工。（它不适用于斜率为0的直线）此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除与直线'：击+£y+c垂直的直线可表示为取-a+g 。I产4、两平行线：念+为= %由+小+层=°间的距离为十必。5、若直线1：4二+如+孰=°与直线4：4/+吊尸+G= °平行则4殳-4月=° （斜率）且片G .为G H。（在丁轴上截

42、距）（充要条件）6、圆的-般方程：/+& +野”=°Q+EfF叫，特别提醒：只有当- -5D叫EfF）0时，方程八八立+功才表示圆心为' 2r/，半径为十55的圆。二元二次方程小心物+5+期+”°表示圆的充要条件是/二 Cd。,且弓=0且+；45夕0。无匚 a + r ca 37、圆的参数方程：1 = &+*口曰 （6为参数），其中圆心为（乐句，半径为二。圆的参数方 程的主要应用是三角换元：/+尸=储7，=，必包产口日.T工=r cos ,y-r sin 日（04/）8、A出必）其孙力）为直径端点的圆方程（L硝。一动+。-珀1.切线长：过圆/+M+m

43、+出M = °（xi）J（yT）J刘）外一点汽小汨所引圆的切线的&/+坳+F （了斗飙一功"一、氏力（）1-S9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距W，弦长一半2 及圆的半径尸所构成的直角三角形来解：q,；过两圆G ： *芮0、& N °交点的圆（公共弦）系为1A：心了）+用C3叫当；! = -1时，方程/8M+谢rj） =。为两圆公共弦所在直线方程 .。攻克圆锥曲线解答题的策略摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练第一、

44、知识储备：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan ,0,)点到直线的距离d A“ 2By0 2 c夹角公式：tanJ2UJa2 B21 k?ki(3)弦长公式直线 y kx b 上两点 A(x1, y1), B(x2, y2)间的距离： AB 7lk2|x1 x27(i k2)(xi X2)2 4x1X2或 ab ,1 2回 y2(4)两条直线的位置关系l l2 k1k2=-1 l"/l2k1 k2且bi b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)此文档来源于网

45、络，如有侵权请联系网站删除22标准方程： 1(m 0, n 0且m n) m n距离式方程：.(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a参数方程：x a cos , y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程： 1(m n 0)m n距离式方程：| , (x c)2 y2 . (x c)2 y2 | 2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22椭圆：竺；双曲线：曳；抛物线：2paa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？22如：已知FF2是椭圆、y 1的两个焦点，平面内一个动点M满足MFi MF2| 2则动点M的轨迹是()A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5

46、)、焦点二角形面积公式:P在椭圆上时，S rpf2b2tan 一1 22(其中 F1PF2,cosP在双曲线上时，S fpf2 b2cot 1 22| PF |2 | PF"2 4c2 uur uurn uur uuuur!,PE?PF2 |PFi| PF2 1cos )| PF111PF2 |(6)、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a e%;焦点在y轴上时为a ey0,可简记为“左加右减，上加下减”此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除(2)双曲线焦点在x轴上日t为e|x0| a抛物线焦点在x轴上日t为1xi1焦点在y轴上时为|yif只供学习交流用2XM a,b为椭圆一

47、421;两式相减得三y yi y2.(6)、椭圆和双曲线的基本量第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)设 A Xi, yi 、B X2,y2 ,2222Xiyi 1 X2 y24343x1 x2 x1 x2y142i的弦AB中点则有3222X2yiy20433a一 4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办?设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用 判别式 0 ,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(xi,yi), B(X2,y2),将这两点代入曲线方程得到 唉：两个式子，然后 ©

48、;整体消元;若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利 用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 y kx b,就意味着k存在。例i、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 4x2 5y2 80上，且点A是椭圆短轴的一个端点(点 A 在y轴正半轴上).(i)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；(2)若角A为90O, AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线 BC的方程。第二问抓住角 A为90O可得出

49、AB± AG从而得xix2 y1y214( yiy)16联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;解：(1)设 B ( Xi, yi) ,C(X2T2 工BC 中点为(Xo,yo),F(2,O)2 ,Xi 则有202 yi162iH202kii6两式作差有(XiX2)(XiX2)(yi y2)(yi y2)F(2,0)为三角形重心,直线BC的方程为6x设直线BC方程为yXiX210kb4 5k2 '20i6y°k4yiy28k4 5k29b232b 164 5k2直线过定点(0,所以由xyiy243y。2,代入(i)得5y 28 0yiy2i4(yi y) i6kxXiX2,yy2b,代入 4x2 5y280 ,得(45k2)X2 i0bkx5b28025b2 804 5k24b2 80k2-代入(2)式得4 5k.人.4b 4(舍)或b 9-) ,设 D (x,y ),则9xi ,即 9y2 9x232yi6一 一 9i6所以所求自D的轨迹方程是x2 (y )9噜)2(y4)。4、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中AB| 2CD|，