圆锥曲线大题(有答案)

1、三、解答题1. (2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题?茜分9分.已知椭圆C的两个焦点分别为 F1(1, 0)、F2(1, 0),短轴的两个端点分别为B、B2(1)若AFiBiB2为等边三角形，求椭圆C的方程； 1(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且FF _L FQ，求直线l的方程.【答案】解(1)设椭圆C的方程为222= 1(a b 0).a ba =2b根据题意知2 22a -b =1,解得a2423，bWord资料22故椭圆C的方程为xr十4 =1.4133(2)容易求彳#椭圆C的方程为y2 =1.当直

2、线l的斜率不存在时，其方程为x = 1，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = k(x-1).y =k(x -1)2222由dx22 得(2k2+1)x2 4k2x+2(k2 1) = 0.2 y =1设 P(x, %), Q®, y2),则4k2x| + X2 =5, X1X2 =2k2 12(k2 -1)2 k2 1>，FiP =(Xi 1, Yi), FQ =(X2 1, y2)M3j=2$Word资料因为 F1P .L FQ，所以 F1P F1Q =0,即2,(x11)(x21)y1y2=x1x2(x1x2)1 k(x1-1)(x2-1)222=(k1)

3、XiX2 -(k -1)(Xix2) k 17 k2 -12= 0,2 k2 121解得k2 =,即k7故直线l的方程为x +<7y -1 = 0 或 x - 7y -1 = 0 .x2. (2013年高考四川卷(理)已知椭圆C:-2a2+当=1,(a ab >0)的两个焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0)，且椭圆 b八 一 _ 4 1C经过点P(-,-).3 3(I )求椭圆C的离心率；(n )设过点A(0, 2)的直线l与椭圆C交于M、一 口，r 2N两点，点Q是线段MN上的点，且7|AQ|2| AM |2 | AN |2 '求点Q的轨迹方程.【答案】解：2a

4、= PF1| + |PF2| = J|+121 2.4-1 3所以，a= 2.又由已知，c =1,所以椭圆C的离心率e = -=a 222(II)由(I)知椭圆C的方程为 x+y2=1.设点Q的坐标为(x,y).(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1 (0, -1 )两点，此时Q点坐标为1 0,2 -誓 (2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+2.因为M , N在直线l上，可设点M , N的坐标分别为(xhkx( +2),(X2,%+2)，则AM |2 =(1+k2)x12, AN |2 =(1+k2)x22.-22_ 222又 AQ =x2 +(y-2 ) =

5、(1 + k2)x2.2|AQ|2AMAN，得21 k2 x2+1k2 x121 k2 x22，即22 _ 11 _ x1 x2 -2x1x22=22 =22x %x2x1 x2x323由及k >一,可知0cx < 一，即x2.将y = kx + 2代入 + y = 1中，得_22_2k 1 x 8kx 6 =0由 = (8k f -4(2k2 +1 ¥6 >0,得 k2 >|.由可知x +x2 =8k62,取2 = 2，2k 1 2k 1r 218代入中并化简相x2 =一母一10k2 -3y 2.2 o因为点Q在直线y =kx+2上，所以k，代入中并化简，得

6、10(y2) 3x2=18.xWord资料又0,23 522 w 满足 10(y -2 ) 3x =18，故 xw5由题意，Q(x,y疝椭圆C内部，所以1 E y W1,22 ,又由 10(y 2 ) =18+3x2有2-219,9 1且-1 <y <1，则 yw 口,254772,所以点Q的轨迹方程是10(y 2 2 3x2 =18淇中，x一工6,也，ywj1,2I 2 2 JI253. (2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案)椭圆2 c x C： 2a右焦点分别是F,F2,离心率为 半，过F,且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(I )求椭圆C的

7、方程；(n)点p是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1FF2,设/F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围22. 2【答案】解：(1)由于c =a -b，将x = -c代入椭圆方程222x y =1 v= b2. 2y 一a b 得 a2b2,c 3=1ce =由题意知 a ，即a=2b 又 a 2所以 a =2,b=1所以椭圆方程为y2 =12(n)由题意可知：24. (2013年高考上海卷(理)一点,若存在过点P的直线与(1)在正确证明G的左焦点是“C1 C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样白直线的方程 (不，设P(x0,y0)其中x2 /4

8、,将向量坐标代入232并化间得：m( 4x0 16) =3x0 -12x0，因为 x0 #4,3 3 3所以 m = 3x0，而 x0 w(2,2)，所以 m(_3)2)42 22(3分+5分+8分)如图，已知曲线G : -y【答案】:(1)C 1的左焦点为F(-<3,0)，过F的直线x=-亚与C1 (J3,土(43+1)，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为x=73; =1,曲线C2 :| y |Tx| +1 ,p是平面上C1,C2都有公共点，则称P为“C1C2型点”.交于(一43,土)，与C2交于25. (2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版

9、)如图，点P(Q 1)是椭圆22点D (1)求椭圆C1的方程；C1: xy+2r =1(a Ab A0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径.11,12是过点P且互相垂直的两 a b条直线，其中11交圆C2于两点，12交椭圆C1于另（第21题图）x22【答案】解：（i）由已知得到b=1,且2a =4二a =2,所以椭圆的方程是 + y2=l；46.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）如题（21）图，椭圆的中心为原点 O,长轴一一、2在x轴上,离心率e =，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于 A,A两点，AA =4. 2（1）求该椭圆的标准方程；（2）取

10、垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P',过P,P'作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ _L P Q，求圆Q的标准方程.题ZL）图(-L2', 4解 Hr 11)Il题意如点 / ( y'r) 椭帆 I * 则j- + -y = 1 -从而 e + = 1.，,rr(一()Xf -( Y-&) + 厂=A- -2&r + A- I K I-=以、-2%）：-M+8（工曰_4.4。i殳2（内.,）,由越.足脆月卜到Q的出:离最小的点*闪此,上式.* = X时 取最小血 乂国g（Y4）,所以上K »工=2%时取最小值

11、,从而须=2/且 10HdY因为目0_LPd所以 0向0户=(演 7”J(,fJ = 0,I r f V-即（7J -耳=0 .由桶网程及芭=2xu丹;册Lg -i =0（4 I 16 /解得内=±芈 ”;士.从而10Pf=R-七二, 32 J3故这样的Bl疗两个.其标准方程分别为227. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）设椭圆E:=十=1的焦点在x轴上a2 1-a2（I）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程；（n）设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴与点Q ,并且FiP-LFQ ,证明：当a变化时，点p在某定直线上

12、J.3cccc c c 5 一 8x2【答案】解：(i )< a >1 -a ,2c = 1, a =1 a+c = a =-,椭圆方程为：85(n)设Fi(_G0),F2(c,0),P(x,y),Q(0,m),则F2P = (xc, y),QF2 = (c,m). 由 1 a2 0= a (0,1)= x (0,1), y (0,1).r ./口 m(c x) = ycFF=(x+c, y),EQ=(c,m).由F2PQF2,FF _L FQ得'、c(x + c) + my = 02二(x c)(x c) 二 y =22x-2 a=c2.联立 x22 a21y 2 =11

13、 - a解得2x22y22222x -y 1 1-x y2=(y _1)2. x (0,1),y (0,1). x=1-y所以动点P过定直线x+y -1 = 0 .已知圆M ：(x+1)2 +y2 =1,圆N :(x-1)2 +y2 =9,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.(I )求C的方程;(n )l是与圆P ,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【答案】由已知得圆M的圆心为M (-1,0)，半径q=1,圆N的圆心为N (1,0)，半径r2=3.设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(I ).圆 P 与圆 M 外切且与圆 N

14、内切，|PM|+|PN尸(R + Q+(r2 R) = r1+2=4,由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为 J3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x y- 1 =1(x =-2).43(n )对于曲线 C 上任意一点 P(x, y),由于 |PM|-|PN|= 2R-2<2,.r<2,当且仅当圆 P的圆心为（2,0）时,R=2.当圆P的半径最长时，其方程为（x2）2 +y2 =4,当l的倾斜角为900时，则l与y轴重合，可得|AB|= 2s3.当l的倾斜角不为900时，由r产R知l不平行x轴，设l与x轴的交点为 Q,则LQPlnF,可求得 Q（-4,0

15、）, 设 |QM | ril: y = k（x +4），由 l 于圆 m 相切得 |3k | = 1，解得 k = ±. 1 k242.2x2y2-2 一一一当k = " 时，将y= x+<2代 入 土 +上= 1（x02）并 整理得7x2+8x 8 = 0 ,解 得 444318，2 , ，k | x1 - x21 = 7-4_6 2X,2 = -,-|AB|= V1218当k=- 三 时，由图形的对称性可知|AB|= 18综上，|AB|= 18 或 |AB|二 2n'3. 7x2 y23 、 、1 8. （2013年局考江西卷（理）如图，椭圆Ci-y +

16、'nGAb。）经过点P（1,）,离心率e=一,直线l的方程为x=4. a2 b222求椭圆C的方程；（2） AB是经过右焦点 F的任一弦（不经过点P）,设直线AB与直线l相交于点 M，记PA, PB,PM的斜率分别为（k2*3.问:是否存在常数 入，使得1+卜2=7水3.?若存在求九的值;若不存在，说明理由319【答案】解:(1)由P(1,)在椭圆上得，0 +=12a24b2依题设知a =2c,则b2 =3c2代入解得c2 =1,a2 =4,b2 =3.22故椭圆c的方程为x-+L =1.43(2)方法一：由题意可设 AB的斜率为k,则直线AB的方程为y = k(x 1)代入椭圆方程

17、3x2 +4y2 =12并整理 得(4k2 +3)x2 -8k2x+4(k2 3) = 0,设 A(X1，v),B(X2,y2),则有8k24(k2 -3)X x22,xx224k2 34k2 3在方程中令x =4得，M的坐标为(4,3k).3丫1"从而 k 一，k2-Xi -1323k - 3 ,k3=4.12注意到A, F , B共线，则有k = kAF = kBF，即有一yy = y2 = k .Xi 1x2 -133Vy2-所以k1 k222x1 -1x2-1y1. y23( 1.1Xi -1x2 -1 2 Xi -1x2 - 2=2k -3Xi X2 - 2X1X2 -(X

18、1 X2) 18k22 c代入得 k1 +k2 =2k - -2 4k +32 4(k2 -3)-28k2224k2 3 4k2 3=2k -1, 11又k3 =k ,所以ki +k2 =2k3.故存在常数 九=2符合题意. 2方法二：设B(Xo,yo)(Xo¥l),则直线FB的方程为：y =_0_就1), x0 - 1令 X =4,求得 M(4, 3y0 ), xo _ 1从而直线PM的斜率为k3 =2y0 -x0 +1, 2(Xo -1)y = y0 (x -1)巨羊十x0 15 A/5x0 -83y0、联乂 22府 A(,),x y2xo - 5 2xo - 5143则直线PA

19、的斜率为：k1 =2y0 -2% .5,直线pb的斜率为*2二2yT 2(xo-1)2(xo-1)2yo -2xo 5 2yo-32y0-% 1k1k 2 二二二 2k3,2(x0 -1)2(x0 -1)x0 -1故存在常数九=2符合题意.3 29.(2013年广东省)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(ca0)到直线l ：x y-2 = 0的距离为二黄.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA, PB淇中A, B为切点.(I )求抛物线C的方程;(n)当点P(x0,yo )为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(I )依题意，设抛物线C的方程为x2 =4cy,由=结合ca

20、O,解得c = 1.2所以抛物线C的方程为x2=4y.1 91(n )抛物线C的方程为x =4丫,即y= x，求导得y = x42XiX211设A（Xi，yi）, B（X2，y2 X其中yi ="呈=），则切线PA,PB的斜率分别为卬x2,442 2所以切线 PA 的方程为 y _ yi =_x1（x _Xi）,即 y ux -x- + yi,即 X|X -2y-2yi = 0同理可得切线 PB的方程为X2X-2y-2y2 =0因为切线 PA,PB均过点 P（Xo,yo 1所以 MX。-2y0-2yi=0，X2Xo-2y0-2y2 = 0所以（为，必）,（X2, y2 ）为方程XoX-2yo -2y =0的两组解.所以直线AB的方程为xox2y 2yo =0.i0. （20i3年高考北京卷（