刚体的定轴转动

1、第二章 刚体的定轴转动教学要求 ：一、 理解刚体定轴转动的角速度和角加速度的概念， 理解角量与线量的关系。二、理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。三、了解力矩的功和转动动能的概念。四、了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。五、 理解转动惯量的概念， 能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。教学重点：刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律。教学难点：难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。物理学研究方法、思维方法：理想化模型 刚体、研究刚体转动的物理量角量的确定。类比方法是本章学习和研究的主要方法。教学方法：启发、类比、讨论教学内容：

2、准备知识：一、刚体：假定无论在多大的外力作用下，物体的形状和大小都保持不变， 也就是物体内任何两质点之间的距离保持不变。 这样的理想物体称为 刚体。刚体也是常用的力学理想模型。二、平动与转动：当刚体运动时, 如果刚体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方向不变，这种运动称为 平动 ；刚体运动时， 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为 转动 。如果刚体围绕的转轴的位置是固定不动的， 这种转动称为 刚体的定轴转动2-1 角速度和角加速度一、角位移、角速度和角加速度1、角坐标：如图2-1所示，。为转轴与转动平 图21角坐标和面的交点，A为刚体上的一个质点，A在这一转

3、 角速度动平面内绕。点做圆周运动，A与转轴的距离为r °t时刻质点A与转轴O距离的连线与基准方向ox的夹角为0,称0为 角坐标或角位置。2、定轴转动的运动学方程：刚体转动时，0随时间变化，它是时间t的函数：(t)(2-1)上式称为刚体定轴转动的运动学方程.3、角位移：设t时刻刚体上所取质点的角坐标是0 ,经过一段时间t,即t t时刻，该质点的角位置为。我们把 称为A在t时间内的角位移，也是刚体上每个质点的角位移。在SI中，角位移的单位是弧度，符号为rad .4、角速度：将角坐标 对时间t求导数，以描述刚体转动的快慢，称刚体转动的角速度，用符号表示：_ dGJ =dt(2-2)在SI中

4、，角速度的单位是弧度每秒，符号为rad s 1 .5、角加速度：将角速度3对时间t求导，以描述角速度变化的快 慢程度，称为刚体定轴转动的 角加速度，用符号 表示：d2 dt2 (2-3)3 / 37下载文档可编辑在SI中，角加速度的单位是弧度每平方秒，符号为rad s 2.除了用角速度3描述物体转动快慢的程度外，还可使用另一个量-旋转频率，通常用符号n表示旋转频率，表示单位时间物体绕行 的转数。旋转频率的单位是转每分，符号r min 1, r min 1是国家选用 的非SI单位之一.它是工程上常用的单位，与弧度每秒之间的换算关 系为 1 r min 1 =一 rad s 1）30二、角量与线量

5、的关系设距转轴为R处一质点的线速度为v,切向加速度为a-法向加速 度为an （以上各量称为“线量”）。角速度3，角加速度为（以上各 量称为“角量”下面我们来讨论线量与角量大小的关系。用s表示与质点的角位移8相对应的圆轨道上的弧长，那么s R将上式两边对时间求导数，由于线速度 v=7角速度Li5 / 37下载文档可编辑则可得：(2-4)将式（2-4）两边再对时间求导，由于上式中_ dv at = dt=%则可得：at= R(2-5)2 利用an吸得法向加速度：an= R 2(2-6)例2-1已知刚体转动的运动学方程为=A+B3 ,式中A为无量纲的常数,B为有量纲的常数.求：（1）角速度；（2）角

6、加速度；（3）刚体上距轴为r的一质点的加速度.解：(1)由角速度的定义式，得:3 = d = 3B t2dt(2) 将3对时间t求导数，得角加速度=6Btdt(3) 利用式(25)得距轴为r的一点的切向加度为：at = r =6Brt根据式(2 6)得该质点的法向加速度为：an = r 2 =9 B2r t4所以，加速度的大小是：a =、,a2 a2 =. (9B2rt4)L(6Brt)2设加速度a与速度v的夹角为，则满足下式tgn =n =- Bt3at 2§2-2力矩转动定律转动惯量一、力矩1、定义： 位矢r与力F的矢积为力F对转轴的力矩，用M表 示。数学表达式为M r F(2

7、7a)其大小为 M rF sin (2 一 图22力矩7b)M的方向为r F的方向，按照右手螺旋定则判断。一般是按照力矩的作用来判断力矩的正负：如力矩的作用是使刚体逆时针转动，则力矩为正；如力矩的作用是使刚体顺时针转动，则力矩为负。在 SI 中, 力矩的单位是牛顿米, 符号为 N m.2 、意义： 力矩是改变物体转动状态的原因。二、转动定律和转动惯量1、转动定律图 2 3 刚体的转动定律( 1)推导：如图所示，为定轴转动的一个刚体的转动平面，mi 为刚体中任意一个质元的质量。U是m对轴的位矢，Fi是m受的外力，是m受的内力，将Fi与fi按切向与法向分解，用牛顿第二定律的分量式Fn=man和Fi

8、=mat,分别得 :在法向： fi cos i Fi cos imiani miri 2( a)切向： fi sin i Fi sin imi atimi ri(b )图 2-3 中法向力对转轴无力矩作用， 不必考虑， 切向力对转轴有力矩作用，将(b)式两边分别用ri相乘得2ri( fi sin i Fi sin i ) miri(C)将(C)式对整个刚体相加可得：2ri ( fi sin iFi sin i ) ( miri )或 Mi (miri2)(2 8a)n将上式中的m£2定义为刚体的转动惯量，用I表示。即ninI =miri2(2 9a)ni7 / 37 下载文档可编辑则

9、式（28a）可写成:MI(2 8b)（ 2）结论：作用于刚体上的合外力矩M 等于刚体的转动惯量I 与刚体的角加速度 的乘积。 这一规律称为刚体定轴转动的 转动定律 .2、转动惯量n（ 1）定义：转动惯量I =miri2 是一个引入的物理量，它量度ni了刚体在转动中转动惯性的大小，在SI 中，转动惯量I 的单位是千克米2,符号为Kg m2。（2）转动惯量的计算：由式（2-9a）可以看出影响转动惯量大小的因素不仅仅是刚体的质量， 还包括各质元与转轴的相对位置， 同样质量的质元，离转轴越远，对转动惯量的贡献越大。若刚体中质元是连续分布的，所以转动惯量的计算由积分完成，即I=r2dm=r2 dV（2-

10、9b）计算物体的转动惯量是比较困难的， 甚至于无法计算， 在工程技术和科学研究中，常常用实验的方法测量物体的转动惯量。（ 3）关于转动惯量的两条规律：a 平行轴定理： 根据实际需要，转动物体的固定轴可有多种选择 . 设想有两个彼此平行的转轴 , 一个通过刚体的质心, 另一个不通过质心.两平行轴之间的距离为d,刚体的质量为m.如果此刚体对过质心转轴的转动惯量为 I c , 对另一转轴的转动惯量为 I, 那么， 可以证明I和I c之间的关系为md(2-10)上述关系式称为转动惯量的平行轴定理.由上式可见，刚体对过质心转轴的转动惯量 Ic,小于刚体对任何与该 质心转轴相平行的转轴的转动惯量I。b、对

11、同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转动 惯量。把这一规律称为 转动惯量的可加性。三、转动定律的应用一个物体系统中如果有若干个物体，其中有的物体在平动，有的 在转动.这时可以采用“隔离体法”把它们分别“取”出.平动物体可 看作质点，应用牛顿第二定律写出它们的力学方程.定轴转动物体，可 以用转动定律写出它们的转动方程，再找出各隔离体的联系，写出必 要的关系式，然后，把所有公式联立求解.止匕外，还可以用动能定理.功能原理和机械能守恒定律计算这类 问题.例2-2 如图(2-4a)所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两 边分别悬有质量为m1、m2的两个物体A和B,已知m1小于m2,滑轮

12、可 看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m,半径为r,(因而滑轮 的转动惯量为I = 1mr2).设绳与滑轮间无相对滑动.求物体的加速2度？滑轮的角加速度？及绳的张力？解：分别把滑轮，物体A和物体B "隔离''出来，画出它们的受力图， 如图(2-4b)所示.由于不计绳的质量，且T； Ti、T T2.因为m2大于mi,物体A的加速度ai向上,B的加速度a?向下，它们的大小相等，设都用a则a1a2a分别写出A、B的力学方程：T1 m1g m1a图24am2 g T2 m2a再写出滑轮的转动方程：（T； T；）rI由线量与角量的关系得： a r有牛顿第三定律的：TiTi/

13、T2 T2/联立求解得：2( m2 m1)a g图 24b(2m1 2m2 m)2(m2 mi)g(2m1 2m2 m) rTiTi/mi(4m2m)(2mi 2m2 m)。m2 (4mi m)(2mi 2m2 m)上述结果表明，两侧绳中张力的大小不等。§ 2-3 力矩的功刚体转动的动能定理一、力矩的功如图2-5所示，一个绕固定轴OO转动的圆盘状刚体，在圆盘平面 上有外力F作用于A点.把力沿法向和切向分解为法向力Fn和切向力 Ft。圆盘转动时,法向分力Fn垂直于A点的速度，它不做功.因而外力 F的功等于它的切向分力Ft所做的功，所以：9 / 37下载文档可编辑2 5 力矩的功dA F

14、 dr Ftds(2-11)在上式中 , dr 是 A 点在圆周上的位移元, ds 是对应的弧长,用d表示与ds对应的角位移，有 ds rd把上式代入式 (2-11), 得dA Ft rd上式中的F"是外力F对转轴的力矩，于是可以用力矩M表示元功：dA Md( 2 12)当刚体从角坐标1转到角坐标2时, 外力矩共作功 :2A 2 Md (2-13) 1如果有若干个外力作用于刚体上 , 先分别计算出每个外力的力矩求这些外力矩的代数和 , 得合外力矩. 上式中 M 若是合外力矩, 则 A 就是 合外力矩的功 .若M是恒力矩，M与d同方向，力矩做的功为AM例 2-3 如图 2-6( a)

15、所示， 一个转轮 A 绕中心轴的转动惯量为 I ，转动的摩擦力矩为 M f , 转轮半径为 R, 转轮边沿绕有轻的细绳，用恒力F拉绳，A轮被拉动转过n圈，(B轮的质量不计，转轴光滑)求：( 1)拉力和摩擦力矩对轮做的功.(2)若将恒力F换成重物G来拉滑轮转动，如图2-6 (b)其他条件不变，求绳中张力对轮所做的功.(G=mg)图26例23图解：(1)作用在轮上的拉力为恒力F时，作用在轮上有两个力矩Mf FR及M f ,轮转过n圈时，角位移 2 nAF Mf d =2 nM f=2 nRFAf =M f=2 n M f(2)分离转轮与重物，画出受力图，分别用转动定律和牛顿第二定律.对轮有对重物G

16、又因联立解得T所以 A Mt刚体的转动动能TR M f IG T maa RmgR M fIg M f R2mR2 ITR 2mR InRT=2 nRIg M f RmR2 I刚体可以看作是有许多质元所组成的。设各质元的质量分别为E、 m2，各质元与转轴的距离分别为 J、2 定轴转动时，各质元的角速度相等，但线速度各不相同。设其中第i个质元的线速度为Vi,其大小为:Vi = r i a ,则相应的动能为:12Eki =5 5 Vi =整个刚体的动能是所有各质元的动能之和,1212 22 mi (ri ) =”即a)将式（29a）代入上式中可得:所以刚体转动动能的表达式为Ek=-I 22三、刚体

17、转动的动能定理E =1(k 22 2mi I；)1(214力矩对刚体做功是力矩的空间积累过程(214b),将转动定律对角位移d积分得:上式左边为力矩做的功，右边为21 d I d1 dtdt即：I d =1I21i 221Md Ek Ek2 Ek1(2-15)上式表明：刚体绕定轴转动合外力矩对刚体所做的功时,等于刚体 转动动能的增量.这一规律称为刚体转动的动能定理例2-4如图2-7所示,半径为R,质量为例的均匀的薄圆盘，盘边绕有足够长的轻的细绳，下端挂着一个质量为 现的重物.开始系 统静止，释放后重物向下移动h距离,设圆盘轴上摩擦力矩为 Mf,求11 / 37下载文档可编辑物快下滑到h距离时的

18、速度v.解：合外力矩对mi做的功为Ai,图27例24图外力对m2做的功为A2,m2下移h时，轮转过位移为设绳中张力为T,作m和m2的受力图,运动方TR M f I又因为m2gm2aAi(TR用动能定理AiEk(TRMf)R(b)M f)h Mf)Ri 2 i 2 m2vI22i 2T)h - m2vA2 (TR(m2 g(m2g(m2 gT)hT)h(c)(d)、解(b)得12Im1R2m2gR M fi i2(mi m2) R2m2(m1gR 2M f)(mi 2m2)R(e)将(d)(e)代入 得2(m2 ghh、MfR)1-mim2i2 / 37下载文档可编辑若 mi 0 , M f 0

19、,则h2(m2gh M f h)1mim22v 2gh§ 2-4角动量定理角动量守恒定律一、角动量定义：转动惯量I和角速度3的乘积称为刚体对定轴的角动量又称动量矩。用符号L表示:L I角动量是描述物体转动状态的物理量(2-16 )在SI中，角动量的单位是千克平方米每秒，符号为kg m2 s 1二、角动量定理把转动定律M I改写为:d M I dt刚体对固定轴的转动惯量I是常量，则上式又可以写成：dL dt(2-17 )上式表明，刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚 体对该定轴的角动量对时间的变化率 .这是转动定律的角动量表示 式.将式(2-17)变换成Mdt dL如果在t

20、1到t 2时间内，力矩M持续的作用在转动刚体上，使刚体的角动量从L变为L2,则得：Mdt L2 L1( 2-18a)t1或:t2Mdt I 2 I 1( 2-18b )t1在上式中，t2Mdt称为力矩M在t i到t 2内的冲量矩。式(2-18)表明, t1刚体绕定轴转动时, 在给定的时间内 , 作用于刚体的合外力矩的冲量矩 , 等于刚体对该定轴的角动量的增量. 这一规律称为 刚体定轴转动的角动量定理.三、 角动量守恒定律公式 (2-18) 中 , 如果物体所受合外力矩M 0 ，则L1 = L 2(2-19a)即： I1 1 I2 2(2-19b)上式表明 , 当作用于物体的合外力矩等于零时,

21、物体的角动量保持不变 . 这一规律称为 角动量守恒定律.由 2-19 式表明 : 当定轴转动刚体的转动惯量是常数，即 I 不变时，若M =0,则3保持不变3 1 = 3 2；当定轴转动刚体的转动惯量不是常数，即I变化时，若M=Q则3发生变化 3 1 3 2。因此可以用减小 (或增加 ) 物体转动惯量的手段来加快(或减慢 ) 物体的转动速度.此类方法广泛应用于各种跳、翻、转的体育动作和舞蹈表演中 . 例如跳水运动员在空中翻筋斗时, 跳水员先将两臂伸直, 并一某一角速度离开跳板 , 跳在空中时, 将臂和腿尽量卷缩起来, 以减小转动惯量因而角速度增大, 在空中快速翻转, 当快接近水面时, 再伸直臂和

22、腿以增大转动惯量 , 减小角速度以便竖站的进入水中 , 减少激起的水花.角动量守恒定律是自然界的基本定律之一.例2-5 质量为M ,半径为R的均匀实心圆柱体，以角速度0绕其几 何轴线转动。质量为m,初速度为V0的小质点与该圆柱体相碰并粘在 圆柱体的边缘上，如图28所小，求碰撞后该系统的角速度。解：将圆柱体与小质点去做研究系统，外力图2_8例2_5图只有重力及支持力，但重力及支持力对转轴均无力矩，所以该系统的合外力矩等于零，因此，角动量守恒。设逆时针转动为正方向，则碰撞前该系统绕O轴转动的角动量为1 2L0 MR 0 mv0R2碰撞后系统的总角动量为1_ 2-2、L （-MR2 mR2）根据角动量守恒定律，L L0,由此可解得碰撞后该系统的角速度为1 2MR 0 mv0R2-MR2 mR2 2例2-6质量为M、半