天津市部分区2020届高三质量调查(5月份)数学试题(含答案)

1、天津市部分区2020年高三质量调查试卷(5月份)数学试卷考试用时本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，120分钟.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A B) P(A) P(B).如果事件A,B相互独立，那么 P(AB) P(A)P(B).柱体的体积公式 V Sh,其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高.1 锥体的体积公式 V -Sh,其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高3第I卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.2 .本卷共9个小题，每小题 5分，共45分.一、选择题：在

2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .b i1.已知a,b R,若a 2i (i是虚数单位)，则复数a bi是 iA. 1 2iB. 1 2iC. 2 iD. 2一”是 Sin 0”的22B.充要条件A.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件23.已知函数f x lnx xax.若曲线yf x在点1,f 1处的切线与直线2x平行，则实数aA.B.D.4.在ABC 中， B 90 ,AB 3, BC4,以边BC所在的直线为轴,将 ABC旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为A. 36B. 12C.36D.125.为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学

3、生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为20,4040,60 , 60,80 , 80,100 .若分数在区间20,40的频数为5,则大于等于60分的人数为A. 15B. 20C.35D. 456.已知函数f X2x5x.若 af log35f 60.2，则a,b, c的大小关系为A. a b cB. aC.cabD. c7.已知函数f x sin0,一）的最小正周期为2,其图象关于直线x 对称.给出下面四个结论：将6的图象向右平移 一个单位长度后得到的函65. 数图象关于原点称；点,0为f x图象的一个对称中心； f 124在区间。,一6上单

4、调递增.其中正确的结论为A.B.C.D.8.设双曲线2 y b222a b 0的两条渐近线与圆 x y 10相交于A，BC,D四点,若四边形ABCD的面积为12,则双曲线的离心率是10A.3B. 10D.2 109.在等腰梯形ABCD中，ABCD,BC的中点，E为线段CD上一点，且BAD uuuu AM60 uur AEAB8, CD 4 .若M为线段 uuuir uur DM DEA. 15B. 10C.203D. 5注意事项:1 .用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上2 .本卷共11个小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分；答题直接填写结果，不必写

5、计算或 推证过程.110.已知集合 A 2,2m ,B m,n (m,n R),且 AI B 一,则 AU B 411.在2x2的展开式中,5.一x项的系数为 （用数字作答）12.设 a 0,b20,若a与b2的等差中项是2,则log2 a 210g 2 b的最大值是 213.已知圆C : x 12y 116,过点P 2,3的直线1与C相交于A，B两点,且AB 2/1,则的方程为 .14.天津市某学校组织教师进行学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答 3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对 1个问题，得1分； 答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二

6、、三等奖分别给予奖励.已3 1知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，一，p .若教师甲恰好答对 3个问题4 21的概率是1,则p ;在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的4个数，则X的数学期望为.2x x, x 0,15 .已知函数f x若存在x R使得关于x的不等式f x ax 1成2 - x, x 0.立，则实数a的取值范围是.三、解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算 步骤.16 .（本小题满分14分）A B在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知asinB csinA, 2c 、.7,2a 3b.（1）求角C

7、的大小；（2）求sin C B的值.17 .（本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC AB1C1中，四边形ABB1A1 , BB1C1C均为正方形，且ABi BG , M为CCi的中点，N为AB的中点.(1)求证：MN /平面ABC ;(2)求二面角B MN Bi的正弦值；(3)设P是棱BiCi上一点，若直线 PM与平面MNB i所成角的正弦值为,求且二的值.15 BG18 .(本小题满分i5分)22已知抛物线C:y2 4J2x的焦点为椭圆E： 5 i(a b 0)的右焦点，C a2 b2的准线与E交于P, Q两点，且PQ 2.(D求E的方程；(2)过E的左顶点A作直线l交E于另一点B ,且B

8、O ( O为坐标原点)的延长线交E于 点M ,若直线AM的斜率为i,求l的方程.19 .(本小题满分i5分)设an是等比数列，bn是等差数列.已知a48,a3a?2 , ba?,b2b6a5.(i)求an和bn的通项公式；(2) acna2m ib2m v n 2m i, m N，求数列 cn 的前 2n项和.b2m+i, n 2m,20.(本小题满分i6分)已知函数f x x mlnx 1(m R)在x 1处取得极值Ag x f xex1 x,其中e 2.71828L是自然对数的底数.(1)求m的值，并判断 A是f x的最大值还是最小值；(2)求g x的单调区间；111(3)证明：对于任意正

9、整数 n ,不等式1 1 1 J2 L 1 1 e成立.2222n天津市部分区2020年高三质量调查试卷（5月份）数学试卷参考答案、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分）题号123456789答案BADBCDCAD、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）-i 110. 2, 2,-11.8012.2c c c22313. x 2y 8014.一 ；15., 3 U 0,312，三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）A B16.解：（1）由题设及正弦定理，得 sinAsin sinCsinA. 1分2A B在 ABC 中，因为 sin A 0,所以 sin sinC.

10、2一A B C由于 A+B= C ,从而 sin cos,22CCC所以 cos=2sin cos . 4222CCC1在ABC中，因为0 所以cos 0所以sin, 2 222 2C 所以一二一，即C . 6分2 63（2）在 ABC 中,由于 c 7, C -32222则由余弦te理，得 7 a b 2abcos,即a b ab 7. 8分3因为2a 3b ,所以3b万2 323 2b2-b2 7,2解得b 2 ,从而a 3 .10 分在ABC中，由正弦定理，得sinB bsnC 一尸3 叵 c777因为ABC中，b 2 J7 c,且C 一，所以0 B 一33所以 cosB 1sin2 B

11、 1 12所以 sin C B sinCcosB cosCsinB.3 2,7 1 ,21212727141417.解：因为四边形 ABB1A1, BB1C1C均为正方形，所以 AB1BB1, BB1 B1cl.又 AB1B1cl ,uuir uuur从而以点B为坐标原点，分别以向量 BB,BC1uuuuB1A的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B1 xyz .1分不妨设 BB12 ,则有 B 0,0,0 ,B 2,0,0A 0,0,2 ,M 1,2,0 ,N 1,0,1uuuur所以 MN 0, 2,1 . 2分uuur（ 1 ）证明： 【方法一】易知，平面ABC

12、的法向量为B1B2,0,0uuur uuuur uuur uuuur由于 B1B MN 0 ,所以 B1BMN ,即 BBiMN . 4 分又因为MN 平面ABC ,所以MN 平面ABC . 5分【说明】本小题的其它解法如下（这里过程略述） ，若步骤完整、过程严谨，请参照赋分标准，酌情赋分：【方法二】取BiB的中点Q,连接MQ ,证明平面MNQ 平面ABC ,进而证得MN /平面 ABC 【方法三】取AB的中点R,连接CRNR.先证明MN CR,进而证得MN 平面 ABC uuuur uuuur2）由题意，知 MN 0, 2,1 , BMuuuur1,2,0 ,B1M1,2,0ur设平面 MN

13、B 的法向量为m x, y, z ，urm则有 uruuuurMN uuuurBM0,2y z 0,即0,x 2y 0.ur令 y 1,得 m 2,1,2 ruuuurnMN0,2 y1 z1 0,则有 ruuuur即11nB1M0,x1 2y10.r设平面 MNB1 的法向量为 nx1, y1 ,z1r令 yi1,得 n 2,1,2 . 8分ir r 所以m nir1, mr3, nur r3,所以 cos(m,nur rm n-kF-F-m n10分设二面角B MN B1的大小为所以sin2 ur r1 cos2 m, n故所求二面角 B MNBi的正弦值为阻911分uuuu(3)设点 P

14、 0,t,0 (0 t 2),则 PM 1,2 t,0uuuu r uuuu ;2 r且有 PM n t, PM。12 t , n 3 .设直线PM与平面MNB所成角为则有sin.uuuu r cos； PM , n2,即15t3.1221512分210整理，得21t2 16t 20 0,解得t 或t (舍去).14分37BPt1、所以 一一. 分5B1G2318.解：（1）易得，抛物线 C的焦点F的坐标为 72,0 ,准线方程xJ2,所以椭圆E的右焦点F J2,0 ,左焦点为FJ2,0 . 2分设椭圆E的半焦距为c,依题意得PQ解得 a 2,b.2 .故所求椭圆的方程为2 匕1.2(2)【方

15、法一】由题意，得E的左顶点A 2,0 .又知直线l的斜率存在，不妨设为 k (k 0),点B xB,yB ,则直线AB方程为y k xy k x+2 ,联立方程组x2x4消去y并整理，得2k222x 8k x 2一8k 4 0, (M易得8k2 24 2k2_ 21 8k 416 0,所以点2, XB为方程(X)的实数根,从而2_ 28k 4xB=2 ，所以xB2k 14k22k2 1所以yB2 4k24kk xb 2 k2- 2一2k2 12k2 111分由题意，点B,M均在E上，且B,M关于原点O对称,2 4k24k12分所以点M xB, yB ,即M1，一2k2 1 2k2 14k2因为

16、kAM1，所以21 12+2-4k-2k2 1故所求直线l的方程为y2y 2 0.【方法二】由题意，得E的左顶点A 2,0,直线AM的斜率为1,所以直线AM的方程为y x 2.y x 2,联立方程组 x2 y21.42消去y并整理，得3x2 8x 4 0.一八2斛得x 2,或x -.3所以点M的横坐标xM2-（因为2为点A的横坐标），3所以点M的纵坐标yM2 43,312分由题意，点B,M均在E上，且B,M关于原点O对称, 24 ,1所以点B的坐标为 2, ,所以kAB1 资3321所以直线AB的方程为y 1x2,2即所求直线l的方程为x 2y 2 0. 15分19.解：（1）设等比数列 an

17、公比为q ,由a4 8自 a2 2 ,得a1q8,2消去”并整理，得q 4q 4 0,2分32aqaq2,解得q2,从而1.所以an 2设等差数列bn的公差为d ,由b1a2 ,b2b6a5,得 b1 2,4 6d16,解得 b1 2,d 2.所以bn 2 n 12n.(2)由(1)及题意,Cnn 2n, n 2m 1其中m N .2n 1, n 2m,当n为奇数时，不妨设数列n 2n的前n项和为S奇,所以NC1C3C523252n22 n2325272n22n 12n 1 22n 1上述两式相减,30f 2 2 232522n2n22 n所以S奇4n 12n22n 16n322 n10311

18、分史22也当n为偶数时，易得，数列 2n+1前n项和为14分n 5 4n 19S 偶=5 9 13 L 4n 12n 3n2设Cn的前2n项和为T2n则T2ns奇S偶6r 5 22n 12n23n1020.解：(1)因为 f x x minx 1 ( x 0,所以f x 1巴（x 0,）. 1分X因为X 1是f X的极值点，所以f 10,即1 - 0,所以m 1. 2分10,此时 f x x Inx 1,易得，当0 x 1时，f X 0；当x 1时，f X 0,所以函数f X在区间0,1上单调递减；在区间 1,上单调递增， 4分所以函数f X在X 1处的极值 A是最小值. 5分（2）由（1）知，m 1,所以 g x e 1 Inx 1