202X年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.1圆的方程课件9苏教版必修2

1、第三节圆的方程第三节圆的方程1圆的定义圆的定义在平面内，到在平面内，到_的距离等于的距离等于_的点的集合叫做圆的点的集合叫做圆确定一个圆最根本的要素是确定一个圆最根本的要素是_和和_2圆的方程圆的方程定点定点定长定长圆心圆心半径半径圆的标准方程圆的标准方程圆的一般方程圆的一般方程方程方程_(D2E24F0)圆心坐标圆心坐标_半径半径r_(xa)2(yb)2r2(r0)(a，b)x2y2DxEyF03点点M(x0，y0)与圆与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系的位置关系(1)假设假设M(x0，y0)在圆外，那么在圆外，那么_.(2)假设假设M(x0，y0)在圆上，那么在圆上，那么_.( 3 )

2、 假 设假 设 M ( x 0 ， y 0 ) 在 圆 内 ， 那 么在 圆 内 ， 那 么_. (x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r21确定圆的方程必须有几个独立条件？确定圆的方程必须有几个独立条件？【提示】不管圆的标准方程还是一般方程，都有三个【提示】不管圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母字母(a、b、r或或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于独立的条件利用待定系数法得到关于a、b、r(或或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的的三个方程组成的方程组，解之得到待

3、定字母系数的值值2(1)方程方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是什表示圆的充要条件是什么？么？(2)假设假设D2E24F0，方程表示什么图形？，方程表示什么图形？【提示提示】(1)充要条件是充要条件是D2E24F0.(2)表示一个点表示一个点(D2，E2) 圆心在直线圆心在直线y4x上，且与直线上，且与直线l：xy10相切于点相切于点P(3，2)，求圆的方程，求圆的方程求圆的方程求圆的方程 法二法二 过切点且与过切点且与 xy10 垂直的直线垂直的直线 y2x3， 与与 y4x 联立可求得圆心为联立可求得圆心为(1，4) 半径半径 r2 2， 所求圆的方程为所求圆的方程为(x1)2(y4

4、)28. 解解：法一法一 设圆的标准方程为设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 则有则有 b4a， 3a 2 2b 2r2，|ab1|2r， 解得解得 a1，b4，r2 2. 圆的方程为圆的方程为(x1)2(y4)28. 圆心在直线圆心在直线y4x上，且与直线上，且与直线l：xy10相切于点相切于点P(3，2)，求圆的方程，求圆的方程1用用“待定系数法待定系数法求圆的方程求圆的方程 (1)假设条件与圆的圆心和半径有关，那么设圆的标准方程，列出关假设条件与圆的圆心和半径有关，那么设圆的标准方程，列出关于于a，b，r的方程组求解的方程组求解 (2)假设条件没有明确给出圆的圆心或半径，

5、那么选择圆的一般方程，假设条件没有明确给出圆的圆心或半径，那么选择圆的一般方程，列出关于列出关于D，E，F的方程组求解的方程组求解2几何法：几何法： 通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程出圆的标准方程1、圆、圆C关于关于y轴对称，经过点轴对称，经过点A(1,0)，且被，且被x轴分轴分成两段弧长之比为成两段弧长之比为1 2，那么圆，那么圆C的方程为的方程为()C【解析】依题意得，圆心【解析】依题意得，圆心C在在y轴上，故可排除轴上，故可排除A、B，又圆心，又圆心C到圆上的点到圆上的点A(1,0)的距离大于的

6、距离大于1，故圆的半径大于故圆的半径大于1，可排除，可排除D.应选应选C. 2、设圆、设圆C同时满足三个条件：过原点；圆同时满足三个条件：过原点；圆心在直线心在直线yx上；截上；截y轴所得的弦长为轴所得的弦长为4，那么，那么圆圆C的方程是的方程是_解析：由题意可设圆心解析：由题意可设圆心A(a，a)，如图，那么如图，那么22a22a2，解得解得a2，r22a28.所以圆所以圆C的方程是的方程是(x2)2(y2)28或或(x2)2(y2)28.A( )( +2013)(2014),A.(0,1)B.(0,2)20132014C.(0,).(0,)20142013f xxxx yD3、设图象与轴有

7、三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点坐标是方法一：方法一：220 xyDxEyF方法二：方法二：相交弦定理相交弦定理与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 【思路点拨】【思路点拨】 (1)利用利用|CQ|R|MQ|CQ|R 求范围求范围 (2)利用斜率的几何意义求利用斜率的几何意义求n3m2的范围的范围 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 解解：(1)由由 C：x2y24x14y450， 可得可得(x2)2(y7)28， 圆心圆心 C 坐标为坐标为(2,7)，半径，半径 r2 2. 又又|QC| 22 2 73 24 2 |MQ|max4 22 26 2，|MQ

8、|min4 22 22 2. 解解：(2)可知可知n3m2表示直线表示直线 MQ 的斜率，的斜率， 设直线设直线 MQ 的方程为：的方程为：y3k(x2)， 即即 kxy2k30，则，则n3m2k. 由直线由直线 MQ 与圆与圆 C 有交点，所以有交点，所以|2k72k3|1k22 2， 可得可得 2 3k2 3， 所以所以n3m2的最大值为的最大值为 2 3，最小值为，最小值为 2 3. (3)形如形如(xa)2(yb)2型的最值问题， 可转化为动点型的最值问题， 可转化为动点到定点的距离的最值问题到定点的距离的最值问题 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：与圆有关的最值问题，常见的有

9、以下几种类型： (1) 形如形如 uybxa型的最值问题，型的最值问题， 可转化为过点可转化为过点(a，b)和和(x，y)的直线的斜率的最值问题；的直线的斜率的最值问题； (2)形如形如 taxby 型的最值问题，可转化为动型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；直线的截距的最值问题； 解解b bABDEODOAOEOBD是圆上是圆上任一点任一点设定点设定点M(3,4)，动点，动点N在圆在圆x2y24上运动，上运动，点点O是坐标原点，以是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形为两边作平行四边形MONP，求点，求点P的轨迹的轨迹与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题 【思路点拨】【思路点拨

10、】 四边形四边形 MONP 为平行四边形为平行四边形 OPOMON把点把点 P的坐标转移到动点的坐标转移到动点N上上而点而点 N在圆上运动， 故可求解 需注意在圆上运动， 故可求解 需注意 O、 M、 N 三点共线的情况三点共线的情况 设定点设定点M(3,4)，动点，动点N在圆在圆x2y24上运动，上运动，点点O是坐标原点，以是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形为两边作平行四边形MONP，求点，求点P的轨迹的轨迹与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题 又当又当 OM 与与 ON 共线时，共线时，O、M、N、P 构不成平行四边形构不成平行四边形 故动点故动点 P 的轨迹是圆且除去点的轨迹是圆

11、且除去点(95，125)和和(215，285) 解解： 四边形四边形 MONP 为平行四边形为平行四边形 OPOMON 设点设点 P(x，y)，点，点 N(x0，y0)，则，则 ONOPOM(x，y)(3,4)(x3，y4)， 又点又点 N 在圆在圆 x2y24 上运动，上运动， (x3)2(y4)24. 1本例中点本例中点P是平行四边形是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线时，点三点共线时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点点2求与圆有关的轨迹问题常用的方法：求与圆有关的轨迹问题常用的方法： 1直接法直接法 2定

12、义法定义法 3相关点法相关点法. 1、圆、圆C：(x1)2(y1)29，过点，过点A(2,3)作圆作圆C的任意弦，求这的任意弦，求这些弦的中点些弦的中点P的轨迹方程的轨迹方程 .【解】【解】 法一法一 设设 P(x，y)，圆心，圆心 C(1,1)， P 点是过点点是过点 A 的弦的中点，的弦的中点， PAPC， 又又PA(2x,3y)，PC(1x,1y)， (2x)(1x)(3y)(1y)0， 即即(x32)2(y2)254， 中点中点 P 的轨迹方程是的轨迹方程是(x32)2(y2)254. 1、圆、圆C：(x1)2(y1)29，过点，过点A(2,3)作圆作圆C的任意弦，求这些弦的的任意弦，

13、求这些弦的中点中点P的轨迹方程的轨迹方程 .法二法二 由已知得，由已知得，PAPC. 由圆的性质知点由圆的性质知点 P 在以在以 AC 为直径的圆上，为直径的圆上， 又圆心又圆心 C(1,1)， |AC| 21 2 31 2 5， 线段线段 AC 的中点坐标为的中点坐标为(32，2)， 故中点故中点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为(x32)2(y2)254. 例例4、(2021广州模拟广州模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，设二次函中，设二次函数数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为经过这三点的圆记为C.(1)求实数

14、求实数b的取值范围；的取值范围；(2)求圆求圆C的方程；的方程；(3)问圆问圆C是否经过定点是否经过定点(其坐标与其坐标与b无关无关)？证明你的结论？证明你的结论与圆有关的综合问题与圆有关的综合问题 例例4、(2021广州模拟广州模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，设二次函数中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为圆记为C.(1)求实数求实数b的取值范围；的取值范围；解解：(1)显然显然 b0，否则，二次函数，否则，二次函数 f(x)x22xb 的图象的图象与两个坐标轴只有两个交点与两个坐标轴

15、只有两个交点(0,0)，(2,0)，这与题设不符，这与题设不符. 由由 b0 知， 二次函数知， 二次函数 f(x)x22xb 的图象与的图象与 y 轴有一个轴有一个非原点的交点非原点的交点(0，b)，故它与，故它与 x 轴必有两个交点，轴必有两个交点， 方程方程 x22xb0 有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根， 因此方程的判别式因此方程的判别式 44b0，即，即 b1. 所以，所以，b 的取值范围是的取值范围是(，0)(0,1). 例例4、(2021广州模拟广州模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，设二次函数中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个

16、交点，经过这三点的圆记为的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.(2)求圆求圆C的方程；的方程；设圆设圆 C 的方程为的方程为 x2y2DxEyF0， 因圆， 因圆 C 过上述三过上述三点，将它们的坐标分别代入圆点，将它们的坐标分别代入圆 C 的方程，得的方程，得 1 1b 2D 1 1b F0， 1 1b 2D 1 1b F0，b2EbF0 解上述方程组，因解上述方程组，因 b0，得，得 D2，E b1 ，Fb. 所以，圆所以，圆 C 的方程为的方程为 x2y22x(b1)yb0. 解解(2)由方程由方程 x22xb0，得，得 x1 1b. 于是，二次函数于是，二次函数 f(x)

17、x22xb 的图象与坐标轴的交点是的图象与坐标轴的交点是(1 1b，0)，(1 1b，0)，(0，b). 例例4、(2021广州模拟广州模拟)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，设二次函中，设二次函数数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为经过这三点的圆记为C.(3)问圆问圆C是否经过定点是否经过定点(其坐标与其坐标与b无关无关)？证明你的结论？证明你的结论(3)圆圆 C 过定点，证明如下：过定点，证明如下： 假设圆假设圆 C 过定点过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于不依赖于 b)， 将该点的坐标代入圆将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为：的方程，并变形为： x20y202x0y0b(1y0)0. 为使为使式对所有满足式对所有满足 b1(b0)的的 b 都成立，都成立， 必须有必须有 1y00，结合，结合式得式得 x20y202x0y00， 解得解得 x00