202X年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算课件4苏教版选修2_1

1、3.3.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算1定义：定义：空间向量：空间向量：在空间，具有在空间，具有大小大小和和方向方向的量叫做的量叫做空间向量空间向量2表示方法：表示方法： 数学理论数学理论用有向线段表示用有向线段表示ABa在定义上，空间向量在定义上，空间向量与与平面向量平面向量一样！一样！在表示方法上，空间向量在表示方法上，空间向量与与平面向量平面向量也一样也一样！AB都有两个要素：都有两个要素：大小、方向大小、方向(3)相等向量：相等向量： 数学理论数学理论这与平面内这与平面内“相等向量概念也完全一样！相等向量概念也完全一样！ABCDABDC 同向同向且且等长等长的有向线段都表

2、示的有向线段都表示同一向量同一向量或或相等的向量相等的向量.结论结论1空间任意两个向量都是共面向量空间任意两个向量都是共面向量.ababOABb思考思考：空间任意两个向量是否可能异面？：空间任意两个向量是否可能异面？ 学生活动学生活动2但凡涉及空间一个或两个向量的问题，平但凡涉及空间一个或两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们面向量中有关结论仍适用于它们.abOAAB OPaR ABCOabOAOC 2.空间向量的加减与数乘运算的意义空间向量的加减与数乘运算的意义aOB CA 数学理论数学理论ababbbabOAOCOB 首尾相连首尾相连, ,连尾首连尾首. .共起点共起点, ,指被减

3、指被减. .加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：数乘分配律：数乘分配律：3.空间向量加法与数乘运算满足如下运算律：空间向量加法与数乘运算满足如下运算律：abbacbacbababa 数学理论数学理论空间向量加法的结合律空间向量加法的结合律 可以借助可以借助空间四边形来验证：空间四边形来验证：a b c ab ()abc ()abc bc cbacbaOBAC 数学理论数学理论a b c OBAC探究活动探究活动ADCBA1D1C1B1思考思考：请问在如图的长方体：请问在如图的长方体AC1中，中，11 A BB B （ ）？1AB 1223341nnA AA AA AAA 1nA A

4、1112 A BB BB C （ ）？111113 A BB BB CC D （ ）？1AC 1AD 推广：推广：12233411nnnA AA AA AAAA A 0 首尾相连首尾相连, ,连尾首连尾首. .1111114A BB BB CC DD A （ ）？0 规定：规定：零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. 4.共线向量或平行向量共线向量或平行向量: 数学理论数学理论BADCB1A1D1C1FE方向相同或相反的向量，记作方向相同或相反的向量，记作 .ba / 5.共线向量定理共线向量定理 数学理论数学理论 空间任意两个向量空间任意两个向量 ， 共线共线 的充要条的充要条件是存在实

5、数件是存在实数使使 .）（，0abaabba与思考：思考：(1)设设 是两个不共线的空间向量，是两个不共线的空间向量，A，B，C 三三点共线，点共线，121223,4,.ABeeBCek ek 则12ee ，(2)若若 能得到能得到A，B，C，D四点共线吗？四点共线吗？2A BC D (3)若若 能得到能得到A，B，C三点共线吗？三点共线吗？2A BA C 6不能不能能能证明：证明： A BA DA A A CA A A CC C A C ABCDABCD：平行六面体：平行六面体求证：求证：.ABADAAAC 探究活动探究活动ABC DA B C D，ABCDABCD 始点一样的三个不共面向量

6、始点一样的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量始点的对角线所表示的向量-平行六面体法那么平行六面体法那么平行四边形法那么平行四边形法那么 平行六面体法平行六面体法那么那么由二维到三维由二维到三维 数学理论数学理论CAC1BB1A1例例1 如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，中，M是是BB1的中点，的中点，化简以下各式：化简以下各式：111111(1);1(2);2(3).C BBAA CACC BAAM AAAACC B 1C C1 A A1B A数学运用数学运用M变式变式

7、1 如图，如图，M，N分别是空间四边形分别是空间四边形ABCD的对角的对角线线AC和和BD的中点，求证：的中点，求证： .数学运用数学运用BACDNM1()2M NA BC D 变式变式1 如图，如图，M，N分别是空间四边形分别是空间四边形ABCD的对角的对角线线AC和和BD的中点，求证：的中点，求证： .数学运用数学运用BACDNM1()2M NA BC D 证法一证法一：取：取BD的中点的中点G，连结，连结MG，NG，G又又M，N分别是分别是AC和和BD的中点，的中点，,21CDGN ,21ABMG ).(21CDABGNMGMN变式变式1 如图，如图，M，N分别是空间四边形分别是空间四边

8、形ABCD的对角的对角线线AC和和BD的中点，求证：的中点，求证： .数学运用数学运用BACDNM1()2M NA BC D 证法二证法二：取：取AD的中点的中点G，连结，连结MG，NG，G又又M，N分别是分别是AC和和BD的中点，的中点，,21ABGN ,21CDMG ).(21CDABGNMGMN变式变式1 如图，如图，M，N分别是空间四边形分别是空间四边形ABCD的对角的对角线线AC和和BD的中点，求证：的中点，求证： .数学运用数学运用BACDNM1()2M NA BC D 证法三：证法三： M，N分别是分别是AC和和BD的中点，的中点，, 0MCMA,BNABMAMN又,2CDABM

9、N,DNCDMCMN, 0 DNBN).(21CDABMN例例2 如图，在长方体如图，在长方体OADB-CA D B 中，中，OA=6，OB=8，OC=4，OI=OJ=OK=1，点，点E，F分别是分别是DB，D B 的中点，设的中点，设 .试用向量试用向量 表示表示 . DOABCA D EFB IJKO IiO JjO Kk ，kji，OFOE 和684 O EO CC BB BB E 4843 kjki 83ji O FO EE F O EO BB E 解解83 .ji O EB B 834. jik 12 O BO A 例例2 如图，在长方体如图，在长方体OADB-CA D B 中，中，

10、OA=6，OB=8，OC=4，OI=OJ=OK=1，点，点E，F分别是分别是DB，D B 的中点，设的中点，设 .试用向量试用向量 表示表示 . DOABCA D EFB IJKO IiO JjO Kk ，kji，OFOE 和684 O FO CC BB F 483 kji O FO EE F O EO BB E 解解83 .ji O EB B 834. jik 12 O BO A 例例2 如图，在长方体如图，在长方体OADB-CA D B 中，中，OA=6，OB=8，OC=4，OI=OJ=OK=1，点，点E，F分别是分别是DB，D B 的中点，的中点，设设 .试用向量试用向量 表示表示 .

11、DOABCA D EFB IJKO IiO JjO Kk ，kji，OFOE 和684思考思考:将长方体的将长方体的8个顶点选个顶点选作始点和终点的向量中作始点和终点的向量中,与向与向量量 相等的向量有几个相等的向量有几个?与向与向量量 互为相反向量的向量有互为相反向量的向量有几个几个?与向量与向量 共线的向量共线的向量有 几 个有 几 个 ? . EFEFEF变式变式2 如图，在单位正方体如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点中，点E,F分别是棱分别是棱B1C1,CC1的中点，设的中点，设 试用向量试用向量 表示表示 ，并判断向量，并判断向量 是否共线，四边形是否共线，四边形EFDA1是否为梯形是否为梯形. 数学运用数学运用ADCBA1D1C1B1EF1A Bi A DjA Ak ，kji,1,AE AFEFA D ，和1EFA D 和ijk课本第课本第8384第第2、5、6题题当堂检测稳固练习当堂检测稳固练习归纳小结归纳小结本节课你学习了哪些知识？本节课你学习了哪些知识？掌握了哪些技能？掌握了哪些技能？交送：交送：课本课本P83 练习第练习第3题、第题、第6题题选做