知识点应力状态理论和强度理论

1、知识点 9：应力状态理论和强度理论一、 应力状态理论（一） 应力状态的概念1.一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截 面上应力也不相同。 过构件内某一点不同方位上总的应力情况， 称为该点的应力 状态。2 .研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单 元体）来考虑。单元体各面上的应力假设是均匀分布的， 并且每对互相平行截面 上的应力， 其大小和性质完全相同， 三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的 三个截面上的应力。 当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时， 可通过截面法 确定该点任一截面上的应力。 截取单元体时， 应尽可能使其三个互相垂直截面的 应力

2、为已知。3 .单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件内任一点， 一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元 体，称为主单元体。它的三个主应力通常用 1，2和 3来表示，它们按代数值大小顺序排列，即1>2>3。4. 一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况 可分为三类： 只有一个主应力不等于零时， 称为单向应力状态； 有两个主应力不 等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时， 称为三向应力状态。 其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态， 单向应力状态 称为简单应力状态。5. 研究一点的应力状态

3、是对构件进行强度计算的基础。（二）平面应力状态的分析1.分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时 都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值， 从而求得任一斜截面上的 应力。图9-1 (c)所示斜截面的外法线与x轴之间的夹角为时针向转到截面外法线n方向时为正。斜截面上的正应力和切应力为:-cos2xysin22 应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。 应力圆一点的坐标为单元体相应截 面上的应力值；单元体两截面夹角为，应力圆上两对应点中心角为2;应力圆与 轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径

4、为单元体的最 大切应力值。3 .在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一 对与主平面夹角为4 5 的最大(最小)切应力截面。4.在平面应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。图9-1 (a)所示单元体为平面应力状态的一般情况。单元体上，与 x轴垂直 的平面称为x平面，其上有正应力x和切应力xy；与y轴垂直的平面称为y平面, 其上有正应力y和切应力yx ；与z轴垂直的z平面上应力等于零，该平面是主平 面，其上主应力为零。平面应力状态也可用图9-1 (b)所示单元体的平面图来表示。设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转90所得的方向为正，反之为负。规

5、定角从x轴逆x ysin 2 xy cos22最大正应力和最小正应力maxx2xymin最大正应力和最小正应力是平面应力状态的两个主应力，其所在截面即为两个主 平面，方位由下式确定：tan2 0xy最大切应力和最小切应力max min最大切应力和最小切应力所在截面相互垂直，且和两个主平面成45，其方位由下式确定:tan2 1xy（三）平面应力状态分析的图解法1在，直角坐标系中，平面应力状态可用一个圆表示，如图其圆心坐标为 y,0，半径为 x y :。该圆周上任2 2都对应着单元体上某一个 截面上的应力，这个圆称为应力圆。9-2所示。，点的坐标X2y)22xy图9-2（四）三向应力状态1 .在三

6、向应力状态分析中，通常仅需求出最大（最小）正应力和最大切应 力。如欲求空间任意斜截面上的应力，则应用截面法求得。2 .在三向应力状态中，如已知一个主应力值和另外两对非主平面上的正应力和切应力，应由两对非主平面上的正应力和切应力分别求出另外两个主应力， 然后根据三个主应力的大小分别写出 1，2和3。（五）广义虎克定律与体积变形1.广义虎克定律广义虎克定律表示复杂应力状态下的应力应变关系，虎克定律=E表示单 向应力状态的应力应变关系。工程实际中，常由实验测得构件某点处的应变，这时可用广义虎克定律求得 该点的应力状态。以主应力表示的丿乂虎克定律11E 1(23)21E 2(31)31E 3(12)式

7、中1，2，3为代数值，各主应变1， 2，3的代数值间相应地有1> 2>如果单兀体的各面上既有正应力又有切应力时，不计切应力对单元棱边的长度变化的影响，广义虎克定律为1XEX(yz),xy xy G1y E y(zx)，yz yz G1z E z(xy)，zx zx G2.体积变形(M c,)dv受力谨元体变形后旳体积貨图9.3图9-3所示单元体的单位体积变化（即体积变形）为=l+2+31设平均主应力m=（ l+ 2 + 3）,则体积改变虎克定律为3式中K 着，称为体积弹性模量。（六）平面应变分析1 本章所指平面应变状态是平面应力所对应的应变状态，不同于弹性力学 中的平面应变状态，研

8、究的范围仅限于应变发生在同一平面内的平面应变状态。切应变为零方向上的线应变称为主应变，各向同性材料的主应力和主应变方向相 同。2 在用实测方法研究构件的变形和应力时，一般是用电测法测出一点处几 个方向的应变，然后确定主应变及其方向，进行应变分析。x， y3上的线应3 .在进行一点的平面应变分析时，首先应测定该点的三个应变分量和xy。由于切应变难以直接测量，一般先测出三个选定方向1，2，变，然后求解下列联立方程式即可求得x , y和xyo实际测量时，常把1,3选取便于计算的数值，得到简单的计算式，以1xyxcos2 1xy2221xyxcos2 2xysin 2 22222xyxy cos2 3

9、xysin2 33222简化计算。如选取i =02=43=9 0，贝U得到90xy024590主应变的数值902 245 ）（4590 ）主应变方向tan2 02450900904一点的应变分析完成后，可用广义虎克定律求得该点的应力状态强度理论（一）强度理论的概念1 杆件在轴向拉伸时的强度条件为式中许用应力，为材料破坏时的应力，塑性材料以屈服极限s（或0.2 ） n为其破坏应力，而脆性材料则以强度极限b为其破坏应力。简单应力状态的强度 条件是根据试验结果建立的。2 材料的破坏形式大致可分为两种类型：一种是塑性屈服；另一种是脆性 断裂。不同的破坏形式有不同的破坏原因。3 关于材料破坏原因的假说称

10、为强度理论。这些假说认为在不同应力状态下，材料某种破坏形式是由于某一种相同的因素引起的。这样，便可以利用轴向拉伸的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。（二）四种常用的强度理论1 最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素。第一强度理论 的强度条件是1 12 最大拉应变理论（第二强度理论）这一理论认为：最大拉应变是引起材料断裂破坏的主要因素。第二强度理论 的强度条件是1（2 +3 ）1这一理论假设材料直到断裂前服从虎克定律。3 最大切应力理论（第三强度理论）这一理论认为：材料发生塑性屈服的主要因素是最大切应力。第三强度理论 的强度条件是1314形状改变

11、比能理论（第四强度理论）2)2 ( 2这一理论认为：材料发生塑性屈服的主要因素是形状改变比能。第四强度理 论的强度条件是2 23)(31)（三）强度理论的应用与相当应力1 运用强度理论解决工程实际问题，应当注意其适用范围。脆性材料一般 是发生脆性断裂，应选用第一或第二理论，而塑性材料的破坏形式大多是塑性屈 服，应选用第三或第四强度理论。2 工程实际中，常将强度条件中与许用应力进行比较的应力称为相当 应力，用xd表示。上述四种强度理论的强度条件，可写成统一的形式xdi (i 二 1, 2, 3, 4)四种强度理论的相当应力分别是xd 11xd 2 1 (2+3)xd 3 1 3xd 42( 12

12、)23)2( 31)2三、难题解析【例1】一点处的平面应力状态如图9-4 (a)所示。已知 x 60MPa ,40MPa , xy 30MPa ,30。试求(1) 斜面上的应力；(2) 主应力、主平面；(3) 绘出主应力单元体。(a)(b)图9-4解：(1)斜面上的应力cos2xy sin260 40260 402cos( 60 )30si n(60 )9.02MPaxy cos 2)30cos( 60 )(2)主应力、主平面max( y)22xy 68.3MPaminx y""2y)22xy 48.3MPa所以168.3MPa,0,48.3MPax ysin 2260 40 sin( 60 258.3MPa主平面的方位角为tan2 0xy6060 400.6015.5015.590105.5由此可知，主应力1 方向：0 15.5，主应力3方向：0105.5(3)绘制主应力单元体，如图9-4(b)所示。试，圆【例2】如图9-5所示圆柱体，在刚性圆柱形凹模中轴向受压