标准偏差为什么要除以N

1、标准偏差为什么要除以n-1印象中，在我的求学过程里并未接触到标准偏差的概念，师大毕业后在国中任教了十三年，也只有在资料整理中教学生画画统计图表而已；后来转进高中教学，才开始研讨离差及相关系数等教材（说白一点，第一次教高二数学时，我跟学生一样是个初学者）。一晃又是十三年多，对统编本的公式，无论正的、倒的、横的、竖的都可以跟学生解释得头头是道之时，纲多本的数学教材中突然冒出了这样一个莫名其妙的公式（即样本标准偏差）。好长段时间，心里既自责又彷徨更气愤，自责的是这十三年来被我教到的学生全被我误了；彷徨的是我该如何去解释这n-1？要学生死背吗？（这那是我的教学态度？）还是另编一套理论来误人子弟，硬是将

2、公式说得清清楚楚？（那又该怎么说才好呢？）气愤的是为什么不继续沿用呢？（新教材简直就是在整人吗？）这个问题在很多的研讨会中被提出来讨论（原来我并不孤独，与我一样心路历程的人还真不少），勉强接受了不偏估计的说法，但会后讨论、抱怨声仍不断，多数人还是希望统一使用这个公式，不要再分什么母群体标准偏差或样本标准偏差，徒增教、学之困扰。（说的也对，您怎么分辨是母群体还是样本？题目是求标准偏差时，到底要算哪一个？总不会两个都要算吧？）抱怨归抱怨，心想新书既敢出版，表示这样的定义应该是无庸置疑的，不妨先弄清楚它的理论根据再说吧。没想到经过一段时间的摸索、学习之后，不但接受了这个说法，更认为应该是高中数学中标

3、准偏差的唯一定义，略举数项个人论点如下：（仅提供参考，非论教材之是非）一、 高中数学的统计教材，开宗明义就是统计抽样，其目的是想藉由抽取之样本所提供的信息来推估、了解母群体的状况。重点既然在于由小看大、以少推多，因此一概看成样本数据而直接采用的定义似较合理，母群体标准偏差应该是可以不必讨论的。二、 样本标准偏差一词很容易被解释成被抽取之样本数据的标准偏差，其实不然，它应该还是母群体的标准偏差，因它是藉由样本来推估全体的标准偏差，才称之为样本标准偏差的。三、 班上40位同学之数学成绩的标准偏差为多少？看到这个题目，不免要问：要除以39还是要除以40？除数为39很难算耶？只要出题者多用心，将数据凑

4、得好，欲求近似值之小数位数给的巧，让两种算法之答案一样，争议其实不大。但如果将题目设计如某校高一学生数百人，利用系统抽样得40位同学之成绩如下，试估算该校高一学生成绩之标准偏差多点情境，或标准偏差的定义只有一个，疑问、争议都没了。四、 Microsoft Excel试算软件中，标准偏差函数STDEV所传回之值就是样本标准偏差（不信，您可试试；人家老外早就这样算），难怪以前在教统编本时，用计算机算的都非标准答案，今天才恍然大悟。五、 若取母群体的算术平均数E(X)（即整群资料的中央趋势）来算离均差，因为，为了使的值与更接近，就必须将的值适度放大，通常采用作为样本标准偏差的定义，至于为什么要取n-

5、1，请参考大同信息教师手册中详细的说明（如附录）。【附录】所述，老师们看看可以，要跟学生讨论，那就难了！ 很好解释（平均除以n是天经地义的事），那除以n-1该怎么讲呢？我是这样骗学生的，也提供您当参考。【例】某家庭10个成员的年纪为：33, 47, 51, 57, 61, 65, 75, 80, 87, 94（岁）当家的是65岁的老杨，请问这个家中平均一个人差老杨几岁？【解】|33-65|=32，|47-65|=18，|51-65|=14，|57-65|=8，|61-65|=4，|75-65|=10，|80-65|=15，|87-65|=22，|94-65|=29，32+18+14+8+4+1

6、0+15+22+29=152（是除以9喔，居然少了头杨！）平均一个人差老杨16.89岁。【注】这个例题是在未教离差之前即让学生练习，结果95%的学生是这样解的（除以9），另外5%的学生也不是除以10，他们是不屑算（我没有强迫他们非算不可）。【注】65岁恰为岁数平均数，16.89岁应可称为平均绝对离差。【附录】（摘录自大同信息第四册教师手册第274页至第277页）设全体数据数值有N个，它们分别为X1, X2, X3,Xn，如果以简单随机抽样法，从全体中抽出n个数值，它们分别为x1, x2, x3,xn，则全体的平均数，全体的变异数。而抽到的n个数值的样本x1, x2, x3,xn的平均数为，且在N个数值中取n个的方法数为。因此，就有个样本的平均数，这些平均数的平均数以表示时，的值为何呢？下面就来推算它，并讨论样本的标准偏差的处理原则。(1)（此处为全体的平均数）证明：令则（因为每个数值被抽到的机率为），因此，而变异数，其中，即可得，又，因此。(2)的变异数证明：对两个变数而言，之积也是一变数，记称为与的互变异数，因此，因此，亦即，通常称为有限全体的修正系数。又，因此，当样本抽出率很小，或N无穷大时，。(3)如何选择样本标准偏差的求法(A)设，其中，则，因此，