202X版高中数学第一章计数原理1.1第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用课件苏教版选修2_3

1、第2课时分类计数原理与分步计数原理的应用第1章1.1两个根本计数原理学习目标稳固分类计数原理和分步计数原理，并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一两个计数原理的区别与联系分类计数原理分步计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整知识点二两个计数原理的综合应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用.使用时要做到目的明确，层次清楚，先后有序，还需特别

2、注意以下两点：(1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类还是“分步，要搞清楚“分类或者“分步的具体标准.分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准.分步时应按事件发生的连贯过程进展分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性.(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，表达出解题过程中的主次思想.题型探究例例1用用0,1,2,3,4五个数字，五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的可以

3、排成多少个三位数字的 号码？号码？解三位数字的解三位数字的 号码，首位可以是号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有种排法，共有55553125(种种).解答类型一排数问题(2)可以排成多少个三位数？解解三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100(种).解答(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解被解被2整除的数即偶数，末位数字可取整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一，因此，可以分两类，一类是末位数字是类是末位数字是0，那么有

4、，那么有4312(种种)排法；排法；一类是末位数字不是一类是末位数字不是0，那么末位有，那么末位有2种排法，即种排法，即2或或4，再排首位，因，再排首位，因0不能在首位，所以有不能在首位，所以有3种排法，十位有种排法，十位有3种排法，因此有种排法，因此有23318(种种)排法排法.因而有因而有121830(种种)排法排法.即可以排成即可以排成30个能被个能被2整除的无重复数字的整除的无重复数字的三位数三位数.解答引申探究引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？解完成解完成“组成无重复数字的四位奇数这件事，可以分四步：第一步定组成无重复数字的四位奇数这件事，可以分四步：第一步

5、定个位，只能从个位，只能从1,3中任取一个，有中任取一个，有2种方法；种方法；第二步定首位，把第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有三个，可任取一个，有中除去用过的一个还有三个，可任取一个，有3种种方法；方法；第三步，第四步把剩下的包括第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有在内的还有3个数字先排百位有个数字先排百位有3种方法，种方法，再排十位有再排十位有2种方法种方法.由分步计数原理知共有由分步计数原理知共有233236(个个).解答对于组数问题，应掌握以下原那么：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类还是“分步的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(

6、或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.反思与感悟解析解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24214(个).跟踪训练跟踪训练1用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个.(用数字作答)答案解析14例例2如图，小明从街道的如图，小明从街道的E处出发，先到处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最短路径处的老年公寓参加志愿者活动，

7、那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条数为_.类型二抽取(分配)问题解析解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径条数为6318.答案解析18解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类计数原理或分步计数原理.一般地，假设抽取是有顺序的就按分步进展；假设是按对象特征抽取的，那么按分类进展；间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2有四位同学参加三项不同的竞赛.(1

8、)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？解学生可以选择竞赛工程，而竞赛工程对于学生无条件限制，解学生可以选择竞赛工程，而竞赛工程对于学生无条件限制，所以每位学生均有所以每位学生均有3个不同的时机，要完成这件事必须是每位学生参加的个不同的时机，要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步竞赛全部确定下来才行，因此需分四步.而每位学生均有而每位学生均有3个不同选择，个不同选择，所以用分步计数原理可得所以用分步计数原理可得33333481(种种)不同结果不同结果.解答(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？解竞赛工程可挑选学生，而学生无选择工程的时机

9、，每一个工程可挑解竞赛工程可挑选学生，而学生无选择工程的时机，每一个工程可挑选选4位不同学生中的一位位不同学生中的一位.要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计算原理可得因此需分三步，用分步计算原理可得4444364(种种)不同结果不同结果.解答命题角度命题角度1涂色问题涂色问题例例3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如下图将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如下图“田字形的田字形的4个小方个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜

10、色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？用，共有多少种不同的涂色方法？类型三涂色与种植问题解答1234解第解第1个小方格可以从个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法种不同的涂法.(1)当第当第2个、第个、第3个小方格涂不同颜色时，有个小方格涂不同颜色时，有4312(种种)不同的涂法，第不同的涂法，第4个小方格有个小方格有3种不同的涂法，由分步计数原理可知有种不同的涂法，由分步计数原理可知有5123180(种种)不同的涂法不同的涂法.(2)当第当第2个、第个、第3个小方格涂一样颜色时，有个小方格涂一样颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同种涂法，由

11、于相邻两格不同色，因此，第色，因此，第4个小方格也有个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知有种不同的涂法，由分步计数原理可知有54480(种种)不同的涂法不同的涂法.由分类计数原理可得共有由分类计数原理可得共有18080260(种种)不同的涂法不同的涂法.引申探究引申探究假设本例中的区域改为如下图，其他条件均不变，那么不同的涂法共有假设本例中的区域改为如下图，其他条件均不变，那么不同的涂法共有多少种？多少种？解答解依题意，可分两类情况：不同色；同色解依题意，可分两类情况：不同色；同色.第一类：不同色，那么所涂的颜色各不一样，我们可将这第一类：不同色，那么所涂的颜色各不一样，我们可将这件

12、事情分成件事情分成4步来完成步来完成.第一步涂，从第一步涂，从5种颜色中任选一种，有种颜色中任选一种，有5种涂法；种涂法；第二步涂，从余下的第二步涂，从余下的4种颜色中任选一种，有种颜色中任选一种，有4种涂法；种涂法；第三步涂与第四步涂时，分别有第三步涂与第四步涂时，分别有3种涂法和种涂法和2种涂法种涂法.于是由分步计数原理可得，不同的涂法为于是由分步计数原理可得，不同的涂法为5432120(种种).第二类：同色，那么不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成.第一步涂，有5种涂法；第二步涂，有4种涂法；第三步涂，有3种涂法.于是由分步计数原理得，不同的涂法有54360(种).综上可知，所求的涂色

13、方法共有12060180(种).涂色问题的四个解答策略涂色问题是考察计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步计数原理计算.(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段问题，用分类计数原理计算.(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3如下图，将四棱锥如下图，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，的每一个

14、顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染种颜色可供使用，求不同的染色方法总数色方法总数.解答解由题意，四棱锥解由题意，四棱锥SABCD的顶点的顶点S，A，B所染的颜色互不一样，它所染的颜色互不一样，它们共有们共有54360(种种)染色方法染色方法.当当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.假设假设C染染2，那么，那么D可染可染3或或4或或5，有，有3种染法；假设种染法；假设C染染4，那么，那么D可染可染3或或5，有有2种染法；假设种染法；假设C染染5，那么，那么D可染可染3

15、或或4，有，有2种染法种染法.由分类计数原理知，当由分类计数原理知，当S，A，B染法确定时，染法确定时，C，D有有7种染法种染法.由分步计数原理得，不同的染色方法有由分步计数原理得，不同的染色方法有607420(种种).命题角度命题角度2种植问题种植问题例例4将将3种作物全部种植在如下图的种作物全部种植在如下图的5块试验田中，每块种植一种作物，块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，那么不同的种植方法共有且相邻的试验田不能种同一种作物，那么不同的种植方法共有_种种.答案解析42解析分别用解析分别用a、b、c代表代表3种作物，先安排第一块田，有种作物，先安排第一块田，有3种

16、方法，不妨种方法，不妨设放入设放入a，再安排第二块田，有，再安排第二块田，有2种方法种方法b或或c，不妨设放入，不妨设放入b，第三块也有，第三块也有2种方法种方法a或或c.(1)假设第三块田放假设第三块田放c：abc第四、五块田分别有2种方法，共有224(种)方法.(2)假设第三块田放a：aba第四块有b或c2种方法，假设第四块放c：abac第五块有2种方法；假设第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法.综上，共有32(2221)42(种)方法.abab按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的根本思想方法，区分“分类与“分步的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每

17、一种方法都能完成这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.反思与感悟跟踪训练跟踪训练4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解答解方法一解方法一(直接法直接法)假设黄瓜种在第一块土地上，那么有假设黄瓜种在第一块土地上，那么有326(种种)不不同的种植方法同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有326(种种)不同的种植方法不同的种植方法.故不同的种植方法共有故不同的种植方法共有6318(种种).方法二方法二(间接法间接法)从从

18、4种蔬菜中选出种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有种，种在三块地上，有43224(种种)，其中不种黄瓜有，其中不种黄瓜有3216(种种)，故不同的种植方法共有，故不同的种植方法共有24618(种种).当堂训练1.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有_个.答案23451解析解析个位数只能是解析个位数只能是1或或3，所以有，所以有2种选择，首位不能为种选择，首位不能为0，那么有，那么有2种种选择，剩下的选择，剩下的2个数字，百位有个数字，百位有2种选择，十位数字只有种选择，十位数字只有1种选择，由分种选择，由分步计数原理，奇数有步计数原理，奇数有22218(个个).82.在2,3,5

19、,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为_.答案23451解析解析解析当分子为11时，分母可为2,3,5,7，所以可构成4个假分数；当分子为7时，分母可为2,3,5，所以可构成3个假分数；当分子为5时，分母可为2,3，所以可构成2个假分数；当分子为3时，分母可为2，所以可构成1个假分数.由分类计数原理可得，假分数的个数为432110.103.有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天.同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的安排方案共有_种.答案23451解析解析解析安排同学甲周三值日，其余4名同学的安排方案分四个步骤完成：第一步，安排第一位同学，有4种方法；第二步，安排第二位同学，有3种方法；第三步，安排第三位同学，有2种方法；第四步，安排第四位同学，有1种方法.根据分步计数原理知，这5名同学值日顺序的安排方案共有432124(种).244.如下图，在A，B间有四个焊接点，假设焊接点脱落，那么可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，那么焊接点脱落的不同情况