2013年全国各省(市)高考数学试题分类汇编(解析几何)(打印版)

1、2013年全国各省（市）高考数学（理）分类汇编(解析几何)1. (2013年天津卷18题)(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 解(1)设,由,过点且与轴垂直的直线为.代入椭圆方程得,于是又.所以椭圆的方程为(2)设点,由得直线的方程为.由,因为,所以 由已知得2.（2013年重庆卷21题）如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，。（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直

2、于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外。若,求圆的标准方程。解(1)依题意知点在椭圆上,则从而.故椭圆方程为由椭圆对称性,可设,又设是椭圆上任意一点,则设,依题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此上式当时取最小值,又因为,所以上式当时去最小值,从而,且因为,且,所以即,由椭圆方程及得从而故这样的园有两个,其标准方程分别为.3.（2013安徽卷18题）（本小题满分12分）设椭圆的焦点在轴上（）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。【答案】 （） .（） 【解析】

3、 （）.（） .由.所以动点P过定直线.4.（2013北京卷19题）(本小题共14分)已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形面积.(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.解(1)线段的垂直平分线为,因此,所以菱形面积为.(2)四边形不可能是菱形.只要证明,则点与点的横坐标相等或互为相反数.设,则为园与椭圆的交点.因此.于是结论得证.5.（2013福建卷18题）（本小题满分13分）如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为分别将线段和十等分，分点分别记为和，连结，过做轴的垂线与交

4、于点（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求该抛物线的方程；（2）过点做直线与抛物线交于不同的两点，若与的面积比为，求直线的方程本小题主要考查抛物线的性质直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想函数与方程思想满分13分解：（）依题意，过且与x轴垂直的直线方程为，直线的方程为设坐标为，由得：，即，都在同一条抛物线上，且抛物线方程为（）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为由得此时，直线与抛物线恒有两个不同的交点设：，则又，分别带入，解得直线的方程为，即或6.（2013广东卷20题）（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距

5、离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.() 求抛物线的方程；() 当点为直线上的定点时,求直线的方程；() 当点在直线上移动时,求的最小值.【解析】() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为. () 抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.() 由抛物线定义可知,所以联立方程,消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得,所以又点在直线上,所以,所以所以当时, 取得最小值,且最小值为.7.（2013广西卷21题）（本小题满分12分

6、）已知双曲线离心率为直线（I）求；（II）证明： 成等比数列.解(1)依题意所以双曲线的方程为将代入上式得,依题意知 (2)由(1)知的方程为依题意设的方程为.代入化简整理得 设,则于是由于故所以,即成等比数列8.（2013全国新课标二卷20题）（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：()右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为()求M的方程（）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设则 -得设因为P为AB的中点，且又,所以所以的方程为. (2)因为,直线的方程为,所以设直线的方程为,将代入得所以.将代入得设

7、,则又因为所以,当时, 取得最大值4,所以四边形面积的最大值为.9.（2013年河南山西河北卷 20）（本小题满分共12分）已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.（）求C的方程；（）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 【命题意图】【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为（，），半径为R.（）圆与圆外切且与圆内切，|PM|+|PN|=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.（）对于曲线C上任意一点（，）

8、，由于|PM|-|PN|=2，R2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.当圆P的半径最长时，其方程为，当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），设：，由于圆M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，|AB|=.当=时，由图形的对称性可知|AB|=，综上，|AB|=或|AB|=.10.（2013湖北卷21题） (本小题满分12分)如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，。记，和的面积分别为和。（I）当直线与轴重合时，

9、若，求的值；第21题图（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。【解析与答案】（I），解得：（舍去小于1的根）（II）设椭圆，直线：同理可得，又和的的高相等如果存在非零实数使得，则有，即：，解得当时，存在这样的直线；当时，不存在这样的直线。【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）11.（2013年江苏卷17题）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为，圆心在上xyAlO（1） 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2） 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)设切线为：，d，得：故

10、所求切线为：（2）设点M(x，y)，由，知：，化简得：，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切故：1|CD|3，其中解之得：0a12. （2013年山东卷22题）（本小题满分13分） 椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. （）求椭圆C的方程； （）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （）在（）的条件下，过点p作斜率

11、为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值.解答：（1）由已知得，解得所以椭圆方程为：（2）由题意可知：=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：m（，因为， 所以，而，所以（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：，所以，而，代入中得：为定值.13.（2013年陕西卷20题）.(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; () 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,

12、Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 【答案】() ;() 定点（1,0）【解析】() A(4,0),设圆心C() 点B(1,0), .直线PQ方程为：所以，直线PQ过定点（1,0）14.（2013年辽宁卷20题）（本小题满分14分）已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为（）证明线段是圆的直径；（）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时求值（I）证法一：，即，整理得，3分设点是以线段为直径的圆上的任意一点，则，即展开上式并将代入得故线段是圆的直径6分证法二：，即，整理得，3分若点在以线段为直径的圆上，则，去分母得点，满足上方程，展开并将代入得所以线段是圆的直径6分证

13、法三：，即，整理得，3分以为直径的圆的方程是，展开，并将代入得，所以线段是圆的直径6分（II）解法一：设圆的圆心为，则，又，9分，所以圆心的轨迹方程为：11分设圆心到直线的距离为，则当时，有最小值，由题设得，14分解法二：设圆的圆心为，则，又，9分，所以圆心的轨迹方程为11分设直线与的距离为，则因为与无公共点，所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为将代入得，有，14分解法三：设圆的圆心为，则若圆心到直线的距离为，那么，又，9分当时，有最小值，由题意得，14分15.（2013浙江卷21题）(本小题满分14分) 如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过

14、原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程【解析】()由题：； (1)左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为： (2)由(1) (2)可解得：所求椭圆C的方程为：()易得直线OP的方程：yx，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在椭圆上，设直线AB的方程为l：y(m0)，代入椭圆：显然m且m0由上又有：m，|AB|点P(2，1)到直线l的距离为：SABPd|AB|m2|，当|m2|，即m3 or m0(舍去)时，(SABP)max此时直线l的方程y【答案】 () ；() y16.

15、（2013年湖南卷21题）（本小题满分13分）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。（I）若，证明；（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。解：（1）由题意，抛物线的焦点为，直线的方程为由得设两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，从而，所以点的坐标为，同理可得点的坐标为，于是由题设，所以故（2）由抛物线的定义得，所以，从而圆的半径故圆的方程为化简得同理可得圆的方程为：于是圆，圆的公共弦所在直线的方程为又，则的方程为因为，所以点到直线的距离故当时，取最小值，由题

16、设，解得故所求的抛物线的方程为17.（2013年上海卷21题）（本小题满分14分）已知圆（1）直线：与圆相交于、两点，求；（2）如图，设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由 解(1)圆心到直线的距离.园的半径.（2），则，;直线的方程为直线的方程为18.（2013年江西卷题20）. (本小题满分13分) 如图，椭圆经过点离心率，直线的方程为.（1） 求椭圆的方程；（2） 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在求的值；若不存在，说明理由.解(1)由在椭圆上得依题意知联立解得故椭圆的方程为(2)依题意可设的斜率为,则直线的方程为. 代入椭圆方程并整理得设,则在中令得,从而,注意到共