迪丽努尔多力昆

1、第一章第一章 平面与空平面与空间直线间直线 定义定义 :在空间给定了一点 M 与两个不共线的向量a,b 那么通过点M且与向量a,b平行的平面就唯一的被确定，向量a,b叫做平面的方位向量。显然任何一对平面平行的不共线的向量都可以作为这个平面的方位向量。 平面的一般方程为； AX+BY+CZ+D=0 r = r。+ ua + vb （ 其中是u和v表示为参数。OC=r,oM=r。）xyzoMbac X- x0y- y0Z -z0 X1Y1Z1 X Y Z 在平面的坐标式参数方程中，消除参数以后我们得到的方程叫做这个平面的点式方程。O定义；空间中任何一个平面的方程都可以表示 成一个关于变量x,y,z

2、的一次方程。反过来，每一个关于变量x,y,z的一次方程都表示一个平面。平面的法式方程平面的法式方程 ；在空间给定一点M和一个非零向量n，那么通过点M并且与向量n垂直的向量也唯一的确定，我们把与平面垂直的非零向量作为这个平面的法向量。 法式方程；A(x-x0)+B(y-yo)+c(z-z0)=oxyzPMCoSACoSC+XCoSBY+ Z= 0o法式方程的特征 x Cosa+y Cosb+z Cosc-p=0 。 1.一次项的系数是单位法向量的坐标，它们平方的和等于一。 2.因为p是原点到0到平面的距离，所以常熟项-p=o。 根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方程化为平面的法式

3、方程，实际上 n=A,B,C是平面的法向量，而且r=OM=X,Y,Z所以方程可以写成 n .r +D=0 从这个方程中我们可以得到； 入=CBA2221 现在我们来讨论平面的几种特殊情况，也就是当末些系数或常数项等于零时，平面对坐标来说具有某种特殊位置的情况。 1.当D=0时方程变为AX+BY+CZ=0,此时原点（0，0，0）满足方程，因此平面通过原点，反过来，如果平面通过原点，那么显然有D=0。 2.A,B,C中有一个为零，列入C=O就变为 AX+BY+D=0,当D0时，Z轴上的任意一点都不满足方程，所以平面与Z轴平行。 3.当D=O时,Z轴上的每一点都满足方程，这是Z轴在平面上，即平面通过

4、Z 轴。 4.当且仅当D0时，B=C=0（A=C=0或A=B=0）,平面平行与 yoz坐标面（xoz面或xoy面）。 5.当且仅当D=0,B=C=0（A=C=0或A=B=0）,平面即为yoz坐标面（xoz面或xoy面）。 6.当且仅当D0,C=O（B=O或A=0）平面平行与Z轴（y轴或x轴）。 7.当且仅当D=0,C=0（B=0或A=0）平面通过Z 轴或（y轴或z轴）。 例1. 已知两点M1（1,-2,3）与M2（3,0,-1）求线段M1M2的垂直平分面的方程。（x-2）+（y+1）-2（z-1）=0化简整理得所求平面C的方程为；x+y-2z+1=0解；因为向量M1M2=2,2,-4=21,1,-2垂直于平面C，所以平面C的法向量为； n=1,1,-2,所以平面C 又通过M1M2的中点M3（2,-1,1）,因此平面P的点法式方程为；例2；把平面F的方程3x-2y+6z+14=0化为法式方程。求自原点指向平面F的单位法向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离。解；因为A=3, B=-2 ,C=6, D=14 所以取法式化因子入= -17将已知的一般方程乘上法式化因子，即得法式方程 -37x + 27y - 67z - 2=0原点指向平面