第5课二次根式

1、1(2012广东梅州)使式子m2有意义的最小整数 m【解析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，m20，m2，满足条件的最小整数 m 的值是 2.【答案】22(2013上海)下列式子中，属于最简二次根式的是()A. 9B. 7C. 20D.13【解析】最简二次根式的条件是：(1)被开方数中不含开得尽方的因数或因式；(2)根号内不含分母，故排除 A，C，D，选 B.【答案】B3(2012浙江杭州)已知 m33 (2 21)，则有()A5m6B4m5C5m4D6m3 或 k12B0k3解析：要使等式成立，必须2k10，k30，解得k12，k3.k3.答案：D【预测演练 12】 已知 y 2x5 5

2、2x3， 则 2xy的值为()A15B15C152D.152解析：由二次根式的定义，得 2x50 且 52x0，x52且 x52，x52，y3，2xy252(3)15.答案：A【预测演练 13】化简：( 3x)2 x210 x25.解析：3x0，x3，原式3x|x5|3x(5x)3x5x2.考点二二次根式的运算考点二二次根式的运算1最简二次根式的条件是：(1)被开方数中不含开得尽方的因数或因式；(2)根号内不含分母2二次根式的加减：把各二次根式先化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式像合并同类项那样进行合并3二次根式相乘，把被开方数的积作为积的被开方数，即 ab ab(a0，b0)4 二

3、次根式相除， 把被开方数的商作为商的被开方数， 即abab(a0，b0)考点点拨1二次根式的加减实质上就是将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式2二次根式的乘除的结果要化成最简二次根式的形式，而且整式中的平方差公式与完全平方公式同样适用于二次根式的乘除3二次根式的混合运算，可以适当改变运算顺序，使计算简便，计算过程中要细心【精选考题 2】(2013山东济宁)计算：(2 3)2012(23)20132|32|( 2)0.点评：(1)本题考查二次根式及实数的运算，难度中等(2)解题的关键是计算出(2 3)2012(2 3)2013的值，可以利用平方差公式和幂的运算法则求解解析：原式(2 3

4、)2012(2 3)2012(2 3) 31(2 3)(2 3)2012(2 3) 312 3 311.【预测演练 21】下列计算正确的是()A. 8 2 6B. 2 3 5C. 2 3 6D. 8 24解析：四个选项考查了二次根式的四种运算，只有 C 项正确答案：C【预测演练 22】计算：(1)412 8；(2)( 21)(2 2)；(3)(3 21)(13 2)(2 21)2；(4)( 103)2013( 103)2014.解析：(1)412 84222222220.(2)原式( 21)( 21) 2(21) 2 2.(3)原式(3 2)21(2 2)24 2118184 2184 2.(

5、4)原式( 103)2013( 103)2013( 103)( 103)( 103)2013( 103)( 10)2322013( 103)(109)2013( 103)1( 103) 103.考点三二次根式综合考点三二次根式综合考点点拨二次根式常和下列问题结合在一起：(1)实数的运算；(2)整式(分式)的化简求值等代数问题；(3)解直角三角形与三角函数；(4)坐标系中点与点间的距离等其他几何问题这些知识结合在一起，有一定的综合性，解答问题时，可以采取各个击破的办法，化繁为简【精选考题 3】 (2013湖北孝感)先化简， 再求值：1xy1y1x ，其中 x 3 2，y 3 2.点评：(1)本题

6、考查分式的化简与二次根式的运算，难度中等(2)利用因式分解准确化简分式， 正确进行计算是解题的关键解析：原式1xyxyxy1xyxyxyxy（xy）2.当 x 3 2，y 3 2时，原式（ 3 2）（ 3 2）（ 3 2 3 2）218.【预测演练 31】如图 51，数轴上 A，B 两点表示的数分别为1 和 3，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 所表示的数为()图 51A2 3B1 3C2 3D1 3解析：A，B 两点表示的数分别是1 和3，OA|1|1，OB| 3| 3，AB1 3AC，OCACOA(1 3)12 3.点 C 所表示的数为(2 3)2 3.答案：A【预测演练 32

7、】已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2b2的值解析：3 104， 10的整数部分 a3，小数部分 b 103，a2b232( 103)29(106 109)106 10.【预测演练 33】已知 x2121，y2121，求x2y2x2y2的值解析：x2121( 21)232 2，y2121( 21)232 2，xy6，xy4 2，xy1.原式（xy）（xy）（xy）22xy6（4 2）622124 23412172.1二次根式 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须是非负数，即 a0；二是二次根式 a的值是非负数，即a0.二次根式的非负性主要用于两方面：(1)若几个非负数的和为

8、零， 则每一个非负数都等于零；(2)某些二次根式的题目中隐含着“a0”这个条件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解2二次根式化简求值问题的常用方法(1)用乘法公式；(2)平方法、配方法；(3)换元法；(4)倒数法；(5)分母(分子)有理化1(2012浙江杭州)已知 a(a 3)0，若 b2a，则 b的取值范围是点评： (1)本题考查二次根式有意义的条件以及不等式的基本性质，难度中等(2)先确定 a 的取值范围是解题的关键解析： a(a 3)0， a 30 且 a 3，0a 3， 3a0，2 3b2.答案：2 3b22(2012湖北荆门)若 x2y9与|xy3|互为相反数，则 xy 的值为()A

9、3B9C12D27点评： (1)本题考查二次根式和绝对值的非负性， 难度中等(2)利用二次根式和绝对值的非负性列方程组， 从而求出 x，y 的值是解题的关键解析： 由题意， 得x2y90，xy30，解得x15，y12，xy27.答案：D3(2013四川凉山)计算： 12012|1 2cos 45|（2）2122(1.4)0.点评： (1)本题考查二次根式、 特殊角的三角函数、 零指数、绝对值等的综合运算，难度较小(2)本题是中考必考题型， 重点考查学生必须具备的计算能力(3)解题的关键是熟练掌握各基础知识，正确进行计算原式1|1 222|24110818.4(2013云南)已知 a12 3，求

10、a21a1a22a1a2a的值点评：(1)本题考查分式及二次根式的化简求值，难度中等(2)题目中的隐含条件为 a12 31，所以 a22a1 （a1）2|a1|1a，而不是 a1.(3)注意挖掘题目中的隐含条件， 是解决数学问题的关键之一， 本题中的隐含条件 a22a1 （a1）2|a1|1a 是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力的培养，提高解题的正确性解析：a12 32 31，a10. a22a1 （a1）2|a1|1a.原式（a1）（a1）（a1）1aa（a1）a11a.当 a12 3时，原式12 31(2 3)3.5(2013贵州黔西南)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式

11、子可以写成另一个含根号的式子的平方，如 32 2(1 2)2，善于思考的小明进行了如下探索：设 ab 2(mn 2)2(其中 a，b，m，n 均为正整数)，则有 ab 2m22mn 22n2，am22n2，b2mn.这样，小明找到了把部分 ab2的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决问题：(1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 ab 3(mn 3)2，用含 m，n 的式子分别表示 a，b 得，a_，b_；(2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：_ 3(_ 3)2；(3)若 a4 3(mn 3)2且 a，b，m，n 均为正整数，求 a 的值点评： (1)本题属于材料探究型问题， 主要考查二次根式的混合运算和完全平方公式，难度中等(2)解题的关键在于读懂材料， 熟练运用完全平方公式和二次根式的运算法则解析：(1)ab 3(mn 3)2，ab 3m23n22mn 3，am23n2，b2mn.故答案为 m23n2，2mn.(2)如设 m1，n1，则 am23n24，b2mn2.故答案为 4，2，1，1(答案不唯一)(3)由