2.22.2.4+2.2.5+2.2.6

1、.2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点.2.理解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.根底·初探1.旋转变换1旋转变换的定义：将一个图形F绕某个定点O旋转角度所得图形F的变换称为旋转变换，其中点O称为旋转中心，角度称为旋转角.2旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O且逆时针旋转角时，旋转变换的矩阵为，像这样的矩阵称为旋转变换矩阵.3旋转变换的特点：旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.旋转中心在旋转过程中保持不变.图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定.绕定点旋转180

2、6;的变换相当于关于定点作中心反射变换.2.投影变换1定义：将平面图形投影到某条直线或点的变换，称为投影变换.2投影变换矩阵：像，这类将平面内图形投影到某条直线或某个点上的矩阵，称为投影变换矩阵.3投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射.3.切变变换1定义：保持图形的面积大小不变而点间间隔 和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换.2切变变换矩阵一般地，在平面直角坐标系xOy内，将任一点Px，y沿着x轴或y轴方向平移|ky|或 |kx|个单位变成点Px，y，其中k是非零常数，对应的变换矩阵或kR，k0，称为切变变换矩阵.3切变变换的矩阵表示及其几何意义矩阵kR

3、，k0把平面上的点Px，y沿x轴方向平移|ky|个单位：当ky0时，沿x轴正方向挪动；当ky0时，沿x轴负方向挪动；当ky0时，位置不变.在此变换作用下，x轴上的点为不动点.矩阵kR，k0把平面上的点Px，y沿y轴方向平移|kx|个单位：当kx0时，沿y轴正方向挪动；当kx0时，沿y轴负方向挪动；当kx0时，位置不变.在此变换作用下，y轴上的点为不动点.考虑·探究1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？【提示】旋转变换所对应的矩阵表示为 ，这里为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当0时，旋转的方向是逆时针；当0时，旋转的方向那么是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向.2.线

4、性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？【提示】1恒等变换，关于x轴、y轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化.2切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动，另一边平移了的平行四边形.3投影变换把正方形区域变成了线段.质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：旋转变换及其应用曲线xy1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后会得到什么曲线？曲线方程是什么？【精彩点拨】根据题设条件找到旋转角，求出旋转变换矩阵，从而求出曲线方程，判断曲线类型.【自主解答】将曲线xy1绕坐标原点顺

5、时针旋转90°，相当于逆时针旋转270°，故旋转变换矩阵为M，设Px0，y0为曲线xy1上任意一点，在矩阵M作用下对应点为Px0，y0那么，所以故x0y0x0y01.因此曲线xy1在矩阵M的作用下变成曲线xy1，如下图.求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转变换矩阵，进而用代入法相关点法求出曲线方程.假设将本例中“旋转90°变成“旋转45°情况如何？【解】由题意得旋转变换矩阵为M.在曲线xy1上任取一点Px，y，设其在此旋转变换作用下得到点Px，y，那么，即所以将其代入xy1中得：·1.即1，因此曲线xy1，在矩阵的作

6、用下变成曲线1. 投影变换及其应用设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点沿平行于直线yx的方向投影到x轴上.试求：1点A3，2在这个投影变换作用下得到的点A的坐标；2这个投影变换对应的变换矩阵. 【导学号：30650016】【精彩点拨】根据题设条件画出图形，数形结合求解.【自主解答】 1如下图，点A3，2在这个投影变换作用下得到的点A的坐标为1，0.2设点x，y是平面直角坐标系xOy内的任意一点，那么它在这个投影变换作用下得到的点为xy，0，即，从而可知所求的变换矩阵为.1.矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到x轴上，即x，yx，0；矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点

7、沿垂直于x轴方向投影到直线yx上，即x，yx，x；矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到y轴上，即x，y0，y.2.求解该类问题常用数形结合思想求解.1矩阵，对应的变换的几何意义是什么？2矩阵，对应的变换的几何意义是什么？【解】1对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到x轴上.对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线xy0的方向投影到x轴上.对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到直线yx上.对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于y轴的方向投影到y轴上.2对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线xy0的方向投影到直线xy

8、0上.对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线yx的方向投影到直线yx上.切变变换及其应用如图2­2­2所示，矩形ABCD，试求在矩阵对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD在变换过程中的不变线段. 【导学号：30650017】图2­2­2【精彩点拨】由于本变换对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况，从而得解.【自主解答】因为矩阵对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况即可，而，.从而矩形ABCD在矩阵作用下变成了平行四边形ABCD.这里A2，1、B4，1、C1，1、D5，1，即原图形上任意一点x，y沿x轴方向平移|3y|个单

9、位，而纵坐标不变.如下图，线段EF为该切变变换下的不变线段.矩阵kR，k0确定的变换为沿x轴方向平移|ky|个单位的切变变换；而kR，k0.确定的变换为沿y轴方向平移|kx|个单位的切变变换，不要将二者混淆.如图2­2­31、2所示，正方形ABCD在变换T作用下变成平行四边形ABCD，试求变换T对应的矩阵M.图2­2­3【解】由图知，A0，0变换为A0，0，B1，0变换为B1，1，C1，1变换为C1，2，D0，1变换为D0，1，从而可知变换T是沿y轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y轴上的点为不动点，故可得M. 真题链接赏析教材第34页习题2.

10、2第8题曲线xy1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？椭圆：x21，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图.【命题意图】此题主要考察旋转变换，同时考察了函数方程思想及运算求解才能.【解】设椭圆与坐标轴的交点分别为A1，0，B，C1，0，D如图.因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为M.这样，.点A，B，C，D在旋转变换M的作用下分别变为点A0，1、B、C0，1、D，从而椭圆曲线：x21在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线：y21.1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转的旋转变换的变换矩阵为_. 【导学号：30650018】【解析】矩阵为.【答案】2.椭圆1ab0，矩阵对应的投影变换把椭圆变成_.【解析】设椭圆上任意一点Px，y在投影变换下对应点Px，y，那么，椭圆1中，byb，投影后的曲线方程为x0byb，为一条线段.【答案】线段3.直线y3x在矩阵对应的变换作用下所得的几何图形的方程为_.【解析】设直线y3x上任意一点为Px，y，在线性变换下的