4.1.2　极坐标系

1、.4.1.2极坐标系1理解极坐标系2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置3体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别根底·初探1极坐标系1在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向通常取逆时针方向为正方向，这样就建立了一个极坐标系其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴2设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么，每一个有序实数对，确定一个点的位置称为点M的极径，称为点M的极角有序实数对，称为点M的极坐标约定0时，极角可取任意角3假如，是点M的极坐标，那么，2k或，2k1kZ都可以看成点M的极坐标2极

2、坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取一样的长度单位如图4­1­3所示，平面内任一点M的直角坐标x，y与极坐标，可以互化，公式是：或图4­1­3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0,02.考虑·探究1建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：1极点；2极轴；3长度单位；4角度单位和它的正方向，四者缺一不可2为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边一样的角有无数个，它们相差2的整数倍，所以点，还可以写成，2kkZ；二是终边在一条直线上且互为反向

3、延长线的两角的关系，所以点，的坐标还可以写成，2kkZ3将直角坐标化为极坐标时如何确定和的值？【提示】由2x2y2求时，不取负值；由tan x0确定时，根据点x，y所在的象限获得最小正角当x0时，角才能由tan 按上述方法确定当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：1当x0，y0时，可取任何值；2当 x0，y0时，可取；3当x0，y0时，可取.质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_极坐标系中点的坐标写出图4­1­4中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标0,02图4­1

4、­4【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A，B，C，D，E，F3，G.再练一题1边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标【导学号：98990003】【解】以正六边形中心O为极点，OC所在直线为极轴建立如下图的极坐标系由正六边形性质得：Ca,0，Da，Ea，Fa，Aa，Ba，或Ca,0，Da，Ea，Fa，Aa，Ba，.极坐标的对称性在极坐标系中，求与点M3，关于极轴所在的直线对称的点的极坐标【自主解答】极坐标系中点M，关于极轴对称的点的极坐标为M，2kkZ，利用这个规律可得对称点的坐标为3,2kkZ再练一题2在极坐标

5、系中，点A的极坐标为限定0，021点A关于极轴对称的点的极坐标是_；2点A关于极点对称的点的极坐标是_3点A关于直线对称的点的极坐标是_【解析】通过作图如图可求解为【答案】13，23，33，极坐标与直角坐标的互化1把点M的极坐标化成直角坐标；2把点P的直角坐标，化成极坐标0，02【自主解答】1x8cos4，y8sin4，因此，点M的直角坐标是4,422，tan ，又因为点P在第四象限且02，得.因此，点P的极坐标为2，再练一题31把点A的极坐标2，化成直角坐标；2把点P的直角坐标1，化成极坐标0,02【解】1x2cos ，y2sin 1，故点A的直角坐标为，122，tan .又因为点P在第四象

6、限且02，得.因此点P的极坐标是2，极坐标系的应用在极坐标系中，A，B，求A、B两点之间的间隔 【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间间隔 公式求解【自主解答】对于A3，x3cos；y3sin，A，对于B1，x1×cos ，y1×sin ，B，AB4，A、B两点之间的间隔 为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了假如题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了再练一题4在极坐标系中，三点：A4,0、B、C.1求直线AB与极轴所成的角；2假

7、设A、B、C三点在一条直线上，求的值【解】1点A的直角坐标为4,0，点B的直角坐标为0，4，直线AB在直角坐标系中的方程为xy4.故直线AB与x轴所成角为.2点C的直角坐标为，代入直线方程得4，解得41真题链接赏析教材第17页习题4.1第6题将以下各点的极坐标化为直角坐标：，5，.以下各点的直角坐标，求它们的极坐标1A3，；2B2，2；3C0，2；4D3,0【命题意图】此题主要考察极坐标与直角坐标的互化，属根底题【解】1由题意可知：2，tan ，所以，所以点A的极坐标为2，24，tan ，又由于为第三象限角，故，所以B点的极坐标为4，32.为，在y轴负半轴上，所以点C的极坐标为2，43，tan 0，故0.所以D点的极坐标为3,01点P2,2的极坐标0,2为_【解析】由2，tan 1，P点在第二象限内，的极坐标为2，【答案】2，2在极坐标系中，与，关于极轴对称的点是_【导学号：98990004】【解析】极径为，极角为，关于极轴对称的角为负角，故所求的点为，【答案】，3将极坐标化为直角