拉格朗日中值定理在高考题中妙用

1、拉格朗日中值定理在高考题中的妙用一.拉格朗日中值定理1拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：(i) f在闭区间a,b上连续；(ii) f在开区间(a,b)内可导；则在a,b内至少存在一点，使得fbfafk.几何意义：在满足定理条彳的曲线上yf(x)至少存在一点p(,f(),该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB(如图)二.求割线斜率大小几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知：曲线上两点的割线斜率，可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析.2a2例1:(2011年福建省质检理19题)已知函数f(x)x2a-alnx.x(I)求f(x)

2、的单调递增区间；(n)设a1,g(x)f(x)，问是否存在头数k,使得函数g(x)上任息不同两点连线的斜率都不小于k?若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由21解(I)略(n)当a1时，g(x)14，假设存在实数k,使得的图象上任意不同两xx点连线的斜率都不小于k,即对任意x2x10,都有g(x2)g(x1)k,即求任意两点割线斜x2xi率的大小，由中值定理知存在x(xi,x2),有g(x)g(x2)g(x1)k,转为求切线斜率的大小.x2xi41即g(x)k在(0,)上恒成立.(以下同参考答案)xx评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口.将g(x2)g(X)k,转x2

3、Xi化为g(x2)kx2g(x)x,转而考查函数h(x)g(x)kx,学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受.利用拉格朗日中值定理证最值即证f与的大小关系例2:(2009年辽宁卷理21题)1，已知函数f(x)xax(a1)lnx,a12(I)讨论函数f(x)的单调性；(n)证明：若a5,则对任意x,x20,xx2,有f(x1)(x2)1.x1x2(I)略；(n)要证f(x)f(x2)1成立，即证fa曳1.xx2人o.2令g(a1)a1,则a14a1a1a5.由于1a5,所以0.从而g0在R恒成立.也即2aa1.又x1,x2,Lx20,

4、，故0.则2aa1a1f(x)f%)/1,即fa1,也即1.x1x2评注：这道题(n)小题用初等方法做考虑函数gxfxx.为什么考虑函数的放缩也不易想到.gxfxx很多考生一下子不易想到.而且gx一fx,fx.(2)、证明a或a成立(其中x0,f(0)0)xxfxf(0)-fxf(0)即证a或x0x0例3:(2007年高考全国卷I第20题)设函数fxexex.2(I)证明：fx的导数fx2;(n)证明：若对所有x0,都有fxax,则a的取值范围是(,2.(I)略.(n)证明：(i)当x0时，对任意的a,都有fxaxxx（ii）当x。时，问题即转化为ae一e对所有x。恒成立.令Gxx由拉格朗日中

5、值定理知0,x内至少存在一点（从而 0）,使得fe e ,由于fe ee0 e00 ,故f 在0,x上是增函数,让 x 0 得 G x min ff 02 ,所以a的取值范围是（，2.评注：用的是初等数学的方法.即令g xf x ax ,再分a 2和a 2两种情况讨论其中，a2又要去解方程gx0.但这有两个缺点：首先，为什么a的取值范围要以2为分界展开.其次，方程g x0求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论,省去麻烦.例4: （2008年全国卷n 22题）设函数f xsin x2 cosx（i）求f x的单调区间；（n）如果对任何 x 0,都有f xax ,求a的取值范围证明（

6、I ）略;（n）证明：当x 0时，显然对任何a ,都有f x由拉格朗日中值定理，知存在ax ；当x 0时,f x f 0fx 0f x f x f 0x x 0.由（D知2cos x 12-,从而 f x2 cosx0得,2sinx2cosxcosx1人2.令fx2cosxx2k1,2k2；令fx0得，x2k,2k1.所以在2k1,2k2上,1一1._.1一一fx的取大值fxmaxf2k2-在2k,2k1上fx的取大值【max11fxmaxf2k-.从而函数fx在2k,2k2上的取大值是fxmax-.kNmaxmax知，当x0时，fx的最大值为fxmax1.所以，f的最大值fmax1.为了使m

7、ax3max31fa恒成立，应有fmaxa.所以a的取值氾围是-,3评注：这道题的参考答案的解法是令gxaxfx，再去证明函数gx的最小值a,要对参数a进行gx刀0.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数0和g x 0的解，这个求解涉及到反分类讨论；其次为了判断gx的单调性，还要求gx省去讨论.再次体现了高观余弦arccos8,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦,点解题的优越性.三.利用拉格朗日中值定理证不等式近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题.常以不等式恒成立问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科

8、特点，较好地甄别了学生的数学能力.下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势.(1)用于证明fbfa与ba的大小关系例5:(2006年四川卷理第22题)3xx2 ,22已知函数fxx-alnx(x0),fx的导函数是fx,对任息两个不相等的正x证明：(n)当a4时，fxifx2xix2证明:f x则由拉格朗日中,o212a.由fxxalnx得，f(x)2x，令gxxxx值定理得：gxigx2g(xix2)卜面只要证明：当a 4时，任意0,都有gi ,则有g x 2。刍i ,即证x xa 4时，ax24恒成立.这等

9、价于证明x2f的最小值大于4 .由x2fx2223女xxxxx当且仅当x 3/2时取到最小值，又 a 4 33Z,故a 4时，2 W W x xi恒成立.所以由拉格朗日定理得：g xi g x2 g(xi x2)g I xi x2xi x2评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性(2)证明ga,gb,gb三者大小的关系2例6:(2004年四川卷第22题)3已知函数fxln(ix)x,gxxlnx.(I)求函数fx的最大值；ab(n

10、)设0ab2a,证明：gagb2g(ba)ln2.2证明(I)略；(n)证明：依题意，有gxlnxi,gagb2g-bgbg-bg-bga由拉格朗日中值定理得，222a b存在 a,2小，使得a b a bg b g - g - g a g 22b a In2b aIn ?2ba .boba.4aoba.In? In -? In ? b2 a 2 a 2a ln2评注：对于不等式中含有 g a ,g b ,g的形式，我们往往可以把g -a-b g a和gb r，分别对rab两次运用拉格朗日中值定理 2例7:(2006年四川卷理第22题)，一一2 2已知函数f x x -Xalnx(x 0),

11、f的导函数是X ,对任意两个不相等的正数Xi ,X2 ,证明：(I )当a 0时,f XiXiX22证明:(I)不妨设XiX2 ,即证 f X2 fXiX22f Xi .由拉格朗日中值定理知,存在XiX2Xi X2iXi , 2, X222X2Xi X22XiX22X2 Xi p Jf Xif i ?L 又 f (x)22x4 .当a 0时, xx 0 .所以f (x)是一个单调递减函数，故2从而因此命题获证.工为X2工为X2x2ff22四：利用拉格朗日定理证明根的存在4证明方程根的存在性，所给根的范围就是区间a,b把所给方程设为函数f(x)就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性，一般用反证法.例i设f(x)在0,i可导，且0f(x)i,又对于(0,i)内所有的点有f(x)i证明方程f(x)Xi0在(0,i)内有唯一的实根.分析:要证明方程有口t一的实根，分两步证明，先证明有根，再证明根是唯一的证明：先证方程有根，令g(x)f(X)Xi,又因为0f(X)i,则g(0)f(0)i0,g(i)