灰度图像的小波分解与重构

1、灰度图像的小波分解与重构 摘要：本文概述了小波变换的基本理论，介绍了haar小波的分解和重构过程，并在Matlab环境下实现了用haar小波对灰度图像的三级分解与重构，最后对结果作了简要的分析与讨论。关键词：小波；小波变换；图像分解；图像重构1.引言小波变换理论自80年代末成为国际上十分活跃的研究领域，是继Fourier变换发展的一个新的里程碑。由于小波变换克服了傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，从而使小波理论在图像处理、故障诊断、量子场论、光学成像、数据压缩等领域得到了广泛的应用。小波变换在图像处理中主要用于以下几个方面：图像分解、

2、图像重构、图像融合、图像消噪等。本文主要讨论了小波分解与重构过程，在此基础上进一步阐述了在Matlab环境下利用haar小波对灰度图像进行三级分解和重构的编码实现。2.小波变换的基本理论2.1.小波变换的定义一个实值函数,若它的频谱满足允许条件（Admissible Condition）。则被称作一个基本小波或母小波（mother wavelet）。由于在积分式的分母上，所以必须有=0, =0。可以看到，类似于一个带通滤波器的传递函数，是的傅立叶变换。小波是一个满足R=0的,通过平移和伸缩而产生的一个函数族, ,被称为小波基或小波。设2,定义其小波变换为： 由定义可见，参数,具有非常重要的意义

3、，为伸缩因子，反映一个特定基函数的尺度，它的变化不仅改变连续小波的频谱结构，而且也改变其窗口的大小和形状。为平移因子，指明它沿x轴的平移位置。2.2. 小波变换的基本思想小波变换是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号，例如图像信号。其核心就是对图像对应的像素值或者叫做图像位置的系数进行均值和差值的操作计算，产生新的像素值的平均值和细节系数表示的图像，进一步去除一些微不足道的细节系数，从而提高小波图像的编码效率，达到取得较好的图像压缩的目的。3.小波分解与重构过程由于基本小波的选取具有很大的灵活性(只要满足允许条件即可)，因此研究者应根据所讨论问题的自身特点，选取基本小波。小波有多种，选

4、择什么样的小波对信号分析是一个至关重要的问题。它直接关系到使用小波分析能否达到分析的目的。3.1.haar小波Haar小波是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，由于它计算简单，因此常用于图像的分析上，haar小波是由一组分段常数值函数组成的函数集，它是非连续的。Haar小波函数的定义为：其图像如图1所示:Haar小波尺度函数为: 1 x 0,1 Y(x) = 0 其它其图像如图2所示:3.2. Haar小波的分解 Haar小波的分解方法假设现有一幅分辨率为8个像素的一维图像,对应的像素值为:32 10 9 65 4 6 7 23用haar小波分解的过程如下:（1）、求均值（ave

5、raging）。计算相邻像素对的平均值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目且变成了4个，即新的图像分辨率为原来图像的1/2，其像素值为21 37 5 15。（2）、求差值（differencing）。很明显，用4个像素表示这幅图像时，造成图像信息部分丢失。为了能从4个像素组成的图像重构出8个像素的原图像，就需要存储一些图像的细节系数（detail coefficient），以便在重构时找回丢失的信息。方法是用第一个像素值减去这个像素对的平均值或者是用这个像素对的差值除以2。在这个例子中，第一个细节系数是（32-11）=11。使用同样的方法，原图像可表示为21 37 5 15 11 -2

6、8 -1 -8。（3）、第一层变换得到的图像重复步骤（1）、（2），进行进一步分解，过程如表1所示： 表1 haar小波变换过程分辨率平均值细节系数原始图像832 10 9 65 4 6 7 23第一级分解421 37 5 15-11 -28 -1 -8第二级分解229 10-8 -5 11 -28 -1 -8第三级分解119.5-9.5 -8 -5 11 -28 -1 -8可见，小波变换的最后结果仍然是8个系数,但系数大幅度减小。这一幅图像可由19.5 -9.5 -8 -5 11 28 -1 -8表示，其中第1个数表示整个像素值的平均值，后7个数代表细节系数，这个过程叫做哈尔小波变换（haa

7、r wavelet transform），也称哈尔小波分解（haar wavelet decomposition）。一般来说，小波变换具有如下特征： 变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中重构出原始图像。 对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中重构出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为1的图像基础上重构出分辨率为2的图像；在分辨率为2的图像基础上重构出分辨率为4的图像。 通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小，这就为图像压缩提供了一种途径，例如去掉一些微不足道的细节系数并不影响对重构图像的理解。（这一点似量化后的DCT交流系数）。前面介绍了一维haar小波变换的方法，而对于二维小

8、波变换，可由连续2次应用一维的haar小波变换来实现，即对像素矩阵的每一行计算相邻像素对的平均值和差值作变换，对其每一列也作同样的变换可得到二维haar小波变换。同时根据行列变换次序haar小波变换又可以分为标准分解和非标准分解。如果先行变换再列变换则称为标准分解；行和列像素值交替变换则称为非标准分解。 Haar小波三级分解示意图原图像（如图3所示），经过一次haar小波变换得到图像的低频分量（LL）、高频水平分量（LH）、垂直边缘分量（LH）和对角边缘分量（HH）值，如图4所示：图2中左上角是原始图像在低分辨率的一个近似，是一个低频子图像，其余部分都是不同分辨率的高频子图像，对一幅图像而言最

9、重要的部分是它的低频部分，因此对低频部分进行递归分解输出，而去掉图像高频部分就可以得到进一步的分解结果，如图5所示：3.3.haar小波的重构方法经过小波变换后得到了一系列分辨率不同的图像，如上面的例子就可以得到分辨率为1，2，4，8的图像，同时变换过程中产生了一些细节系数，在图像进行重构时事实上可以去掉某些分量而不会对重构图像的质量产生较大的影响，这样可以减少计算量，具体的做法是进行阀值的设定，设一个阀值d，把细节系数中d的值置为0，如上例中如果设阀值为5，经过变换后得到：-9.5 0 0 11 0 0 0，去掉了5个细节系数，在此基础上通过小波逆变换就可得到重构图像。3.4.haar小波的

10、分解与重构过程示意图4.小波图像分解与合成的编码实现 以上分析了小波图像分解与合成的过程，为了验证图像分解与重构的效果，使用MATLAB7.0设计了3级小波分解和重构图像程序，通过编程实现了图像的三级标准小波分解，分解结果的输出。 Matlab软件是一种被公认的功能强人的用于进行科学计算和工程计算的交互式软件。其编程语言具有简单、高效、功能强大的特点，在科学与工程计算领域，它有着其他语言无与伦比的优势。文中所用的小波是Matlab软件的小波工具包中的Haar小波。4.1.图像分解与重构的Matlab程序设计图像分解与重构的Matlab程序设计流程图程序可对Png格式的256级灰度图，256色彩

11、图和真彩色图文件进行3级小波分解和合成。其中灰度图、彩图、真彩图所对应的处理程序（分解、合成）是各不相同的，为了简便，这里仅给出256级灰度图像的处理程序。256级灰度图的三级小波分解程序 （1）%一级小波分解及绘图sx=size(x);ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(x, wname);subplot(1,3,1);imagesc(ca1,ch1,cv1,cd1);colormap(map);axis square. (2) %二级小波分解及绘图sx=size(x);ca2,ch2,cv2,cd2=dwt2(ca1, wname);tm=ca2,ch2,cv2,cd2;subplo

12、t(1,3,2);imagesc(tm,ch1,cv1,cd1);colormap(map);axis square. (3) %三级小波分解及绘图 sx=size(ca2);ca3,ch3,cv3,cd3=dwt2(ca2,wname);tm=ca3,ch3,cv3,cd3;tm=tm,ch2,cv2,cd2;subplot(1,3,3);imagesc(tm,ch1,cv1,cd1);colormap(map);axis square. 在上面的Matlab程序中用到函数dwt2，下面简单介绍这个函数：dwt2函数，其语法格式为：ca,ch,cv,cd=dwt2(x,wname)该函数用于

13、进行二维离散小波分解，x被称为分解的离散信号，wname为分解所用的小波名称。ca，ch，cv，cd是图像分解后低频子图，水平高频子图、垂直高频子图、对角高频子图所对应的小波系数矩阵。.256级灰度图的小波重构程序y=threshall(ca3,ch3,cv3,cd3,ch2,cv2,cd2,ch1,cv1,cd1,thr,wavetype,sx,sx2,sx4); subplot(1,1,1);image(y);colormap(map);axis square;%阀值处理及重构图像矩阵functionya=threshall(xa3,xh3,xv3,xd3,xh2,xv2,xd2,xh1,

14、xd1,xd1,thr,wavetype,sx,sx2,sx4);ya3=thresh(xa3,thr);yh3=thresh(xh3,thr);yv3=thresh(xv3,thr);yd3=thresh(xd3,thr);yh2=thresh(xh2,thr);yv2=thresh(xv2,thr);yd2=thresh(xd2,thr);yh1=thresh(xh1,thr);yv1=thresh(xv1,thr);yd1=thresh(xd1,thr);ya2=idwt2(ya3,yh3,yv3,yd3, wname,sx4);ya1=idwt2(ya2,yh2,yv2,yd2, wn

15、ame,sx2);ya=idwt2(ya1,yh1,yv1,yd1, wname,sx).程序中，子程序thresh()用于对小波分解后的各子图的小波系数进行处理，idwt()是小波工具箱中用于图像二维重构的函数，它与dwt2匹配使用，wname为重构所用的小波名称。4.2.应用实例现有实例一则：对Lena的PNG格式256*256像素的256级灰度图进行了三级haar小波分解以及在不同阀值下的重构，该程序可对MATLAB7.0工具所支持的bmp,jpg,pcx,tif等图像格式进行处理。致 谢在此，我要特别感谢我的指导老师羊波副教授，本论文是在羊老师的精心指导和耐心帮助下才能够顺利完成的，尤

16、其是在我遇到困难而想退缩时给我鼓励，感谢他给我提出的宝贵意见和建议。羊老师渊博的知识，严谨求实的作风和百诲不倦的精神，让我广为受益。同时也要感谢我们系的所有老师在这4年来给我的帮助和指导，也感谢那些对我提供帮助的同学，同时也感谢参与论文评审的全体老师！ 参考文献：1 姚敏.数字图像处理M .北京：机械工业出版社.2006.12 飞思科技产品研发中心编著.MATLAB6.5辅助图像处理M .北京：电子工业出版社，2003，13 陈书海，傅录祥.实用数字图像处理M.北京：科学出版社，20054 陈武凡.小波分析及其在图像处理中的应用M.北京：20025 李利明，杨莉军，王洪.基于小波的二维图像分解

17、与重构J.湖南冶金真职业技术学院学报，2005，20（2）：465-470附： 小波分解代码： %一级分解A0=imread('lena.png');imshow(A0);disp('1');whos('A0')CA1,CH1,CV1,CD1=dwt2(A0,'haar');I2=CA1,CH1;CV1,CD1;image(I2);axis off;title('一级分解后的图像');%二级分解A0=imread('lena.png');imshow(A0);A=double(A0);disp(&#

18、39;1');whos('A')C S=wavedec2(A,2,'haar')CA2=appcoef2(C,S,'haar',2);CH2=detcoef2('h',C,S,2);CV2=detcoef2('v',C,S,2);CD2=detcoef2('d',C,S,2);CH1=detcoef2('h',C,S,1);CV1=detcoef2('v',C,S,1);CD1=detcoef2('d',C,S,1);%显示分解结果A1=CA2

19、,CH2;CV2,CD2;A=A1,CH1;CV1,CD1;image(A);axis off;title('二级分解后的图像');%三级分解后的图像A0=imread('lena.png');imshow(A0);A=double(A0);disp('1');whos('A')C S=wavedec2(A,3,'haar')CA3=appcoef2(C,S,'haar',3);CH3=detcoef2('h',C,S,3);CV3=detcoef2('v',C,S,

20、3);CD3=detcoef2('d',C,S,3);CH2=detcoef2('h',C,S,2);CV2=detcoef2('v',C,S,2);CD2=detcoef2('d',C,S,2);CH1=detcoef2('h',C,S,1);CV1=detcoef2('v',C,S,1);CD1=detcoef2('d',C,S,1);%显示分解结果A2=CA3,CH3;CV3,CD3A1=A2,CH2;CV2,CD2;A=A1,CH1;CV1,CD1;image(A);axis

21、 off;title('三级分解后的图像');小波各级近似系数重构代码：%一级重构A0=imread('lena.png');imshow(A0);CA1,CH1,CV1,CD1=dwt2(A0,'haar');A1=upcoef2('a',CA1,'haar');A11=(A1);image(A11);axis off;%二级重构A0=imread('lena.png')imshow(A0);C S=wavedec2(A0,2,'haar')CA2=appcoef2(C,S,'haar',2);CH2=detcoef2('h',C,S,2);C