版专题1 　解三角形

1、第2讲解三角形高考统计·定方向热点题型真题统计题型1：利用正、余弦定理解三角形2019全国卷T17；2019全国卷T16；2019全国卷T9；2019全国卷T17；2019全国卷T17；2019全国卷T17；2019全国卷T17；2019全国卷T13题型2：与三角形有关的最值范围问题2019全国卷T16；2019全国卷T16题型3：与解三角形有关的交汇问题2019全国卷T8；2019全国卷T17命题规律分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：1.解三角形是每年必考题，重点考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式的应用.2.解三角形常与三角恒等变换、平面几何图形、向量等知识交汇命题.

2、3.若以解答题形式出现主要是考查三角函数与解三角形的综合问题，一般位于第17题.题型1利用正、余弦定理解三角形(对应学生用书第13页)核心知识储备·1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC外接圆的半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A，a2(bc)22bc(1cos A)3三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B高考考法示例·【例1】(1)(2019·全国卷)在ABC中，cos，BC1，A

3、C5，则AB()A4BCD2(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B()ABCD(3)(2019·全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；若c，ABC的面积为，求ABC的周长(1)A(2)A(1)因为cos C2cos212×1，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BCcos C2512×5×1×32，所以AB4，故选A(2)由bsin Basin Aasin C及正弦定理可得b2a2

4、ac，即b2a2ac，c2a，a2c2b2a24a2a2a×2a3a2，故cos B，又0B，sin B.故选A(3)解2cos C(acos Bbcos A)c，由正弦定理得：2cos C(sin A cos Bsin B cos A)sin C，即2cos C sin(AB)sin C，ABC，A，B，C(0，)，sin(AB)sin C0，2cos C1，cos C，C(0，)，C.由余弦定理得：c2a2b22ab·cos C，7a2b22ab·，(ab)23ab7，Sab·sin Cab，ab6，(ab)2187，ab5.ABC周长为abc5.方

5、法归纳1关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，只是角的范围受到了限制同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac两项，二者的关系a2c2(ac)22ac经常用到3对于含有ab，ab及a2b2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解4三角形形状判断的两种思路：一是化角为边；二是化边为角注意：已知两边和其中一边的对角，利用余弦定理求第三边时，应注意检

6、验，否则易产生增根对点即时训练·1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos Abcos B，则ABC为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形D由题得sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B，sin 2Asin 2B，02A2，02B2，sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B，AB，或AB，ABC是等腰三角形或直角三角形. 故选D2(2019·全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90°，A45°，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解(1)在ABD中

7、，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90°，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22·BD·DC·cosBDC2582×5×2×25.所以BC5.题型2与三角形有关的最值(范围)问题(对应学生用书第14页)核心知识储备·1ABC中的常见的不等关系(1)内角A，B，C 满足：ABC，0A，B，C；(2)三边a，b，c满足：bcabc；(3)三角形中大边对大角等2函数ysin x(或ycos x)的有界性、单调性、在区间a，

8、b上的值域的求法等3不等式：a2b22ab，ab等高考考法示例·角度一长度的最值(范围)问题【例21】(2019·石家庄一模)在ABC中，AB2，C，则ACBC的最大值为( )A B2 C3 D4D由正弦定理，得4，又AB，ACBC4sin B4sin A4sin B4sin4sin B42cos B10sin B4sin.故当B时， ACBC的最大值为4.故选D【教师备选】(2019·安庆二模)在锐角ABC中，A2B，则的取值范围是( )A(1,3)B(1,3)C(，)D(1,2)D34sin2B，因为ABC是锐角三角形，所以得Bsin2 B .所以34sin2

9、 B(1,2)故选D角度二面积的最值(范围)问题【例22】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解(1)由题意及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B ， 又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C ，由，和C(0，)得sin Bcos B，又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.【教师备选】在ABC中，A

10、BAC，D为AC中点，BD1，则ABC面积的最大值为_在ABD中，由余弦定理得cos A，则sin A， 所以ABC的面积为Sb2sin Ab2·，所以ABC的面积的最大值为.方法归纳与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略与三角形有关的最值(范围)问题一般涉及三角形的角度、边长、面积、周长等的最大、最小问题.常见求解策略如下：策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角形函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如yAsin(x)(或yAcos(x)的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解.策略二：借助正余弦定理，化角的正余弦函数为边，然后借助均值不等

11、式对含有a2b2，ab，ab的等式求最值.对点即时训练·1在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)·sin C若a，则b2c2的取值范围是()A(3,6B(3,5)C(5,6D5,6C由(ab)(sin Asin B)(cb)sin C及正弦定理可得，(ab)·(ab)(cb)·c，即b2c2a2bc，cos A，又A，A，2，b2c24(sin2 Bsin2 C)4sin2 Bsin2(AB)4sin 2Bcos 2B42sin4.ABC是锐角三角形，B，2B，sin1，5b2c26.故选C2

12、在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D满足2，若B，AD3，则2ac的最大值为_6在ABC中，如图所示，由点D满足2，点D在BC的延长线上且|2|，由余弦定理得c2(2a)22×2ac×cos 32，(2ac)293×2ac.2ac，(2ac)29(2ac)2，即(2ac)236，2ac6，当且仅当2ac，即a，c3时，2ac取得最大值，最大值为6.题型3与解三角形有关的交汇问题(对应学生用书第15页)核心知识储备·解三角形的问题常以平面几何图形、平面向量等知识为载体，体现知识交汇命题的特点，题设条件常涉及有关的几何元素：如角平分线、中线

13、、高、三角形的内切圆等其中角平分线问题的求解要注意三个方面：(1)对称性，(2)角平分线定理，(3)三角形的面积；中线问题的求解，注意邻角的互补关系高考考法示例·【例3】(1)在ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若|3，·6，则ABC面积的最大值为_(2)如图2­1­5，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC图2­1­5求sinABD的值；若BCD，求CD的长(1)因为|3，所以|AB|3，又因为·6，所以abcos C6，cos C由余弦定理得9a2b22abcos Ca2b2122ab

14、12.ab.所以Sabsin Cabab.故面积的最大值为.(2)解ADAB23，可设AD2k，AB3k.又BD，DAB.由余弦定理，得()2(3k)2(2k)22×3k×2kcos ，解得k1，AD2，AB3，sinABD.ABBC，cosDBCsinABD，sinDBC，CD.【教师备选】(1)在ABC中，·|3，则ABC面积的最大值为( )ABCD3(2)(2019·湖北八校联考)如图2­1­6，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AC，ABC，ACD.图2­1­6求sinBAC；求DC的长(1)B设角

15、A，B，C所对的边分别为a，b，c，·|3，bccos Aa3.又cos A11，cos A，0<sin A，ABC的面积Sbcsin Atan A×，故ABC面积的最大值为.(2)解在ABC中，由余弦定理得：AC2BC2BA22BC·BAcos B，即BC2BC60，要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那

16、些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。解得BC2或BC3(舍)，由正弦定理得：sinBAC.由有：cosCADsinBAC，sinCAD，所以sin Dsin××.由正弦定理得：DC.方法归纳1求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分

17、成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用2求解三角形与平面向量交汇问题的策略平面向量的数量积运算涉及向量的模和夹角，其与三角形中的面积公式、余弦定理完美的交汇在一起，求解此类问题的关键是熟知其内在的联系，同时借助同角三角函数的关系这一媒介解题对点即时训练·1(2019·大连双基测试)如图2­1­7所示，在圆内接四边形ABCD中，AB6，BC3，CD4，AD5，则四边形ABCD的面积为_图2­1­76如图所示，连接BD，因为ABCD为圆内接

18、四边形，所以AC180°，则cos Acos C，利用余弦定理得cos A，cos C，解得BD2，所以cos C.由sin2Ccos2C1，得sin C，因为AC180°，所以sin Asin C，S四边形ABCDSABDSBCD×5×6××3×4×6.2(2019·濮阳二模)如图2­1­8，在ABC中，点D在边AB上，AD3DB，cos A，cosACB，BC13.图2­1­8(1)求cos B的值；(2)求CD的长解(1)在ABC中，cos A，A(0，)，所

19、以sin A.同理可得，sinACB.所以cos Bcos(AACB)cos(AACB)sin Asin ACBcos AcosACB××.(2)在ABC中，由正弦定理得ABsinACB×20.又AD3DB，所以BDAB5.在BCD中，由余弦定理得，CD9.高考真题1.(2019·全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A B C DC根据题意及三角形的面积公式知absin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.2.(2019·全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A

20、B C DC如图，设BC3，则BC边上的高AD1，又B，BD1，AB；同理DC2，AC.在ABC中，由余弦定理得cos A.3.(2019·全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为×4×2sinBAC2，所以ABD的面积为.最

21、新模拟4(2019·烟台诊断性测试)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b1，c，且asin Bcos Ccsin Bcos A，则a()A1或B1或要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好