8　圆内接正多边形

1、.8圆内接正多边形关键问答正n边形的中心角是多少度？连接正六边形的中心和任意两个相邻顶点得到的三角形是一个什么样的三角形？解决与圆内接正多边形的有关计算题，应如何添加辅助线？1.2019·株洲以下圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形2利用等分圆的方法可以作正多边形，以下只利用直尺和圆规不能作出的多边形是A正三角形 B正方形 C正六边形 D正七边形3正六边形的半径为r，那么它的边长、边心距、面积分别为A.r，r，r2 Br，2r2 C.r，r，r2 Dr，r24如图381，正三角形ABC内接于O，假设AB2 cm，求O的半径图3

2、81命题点 1正多边形的画法热度：87%5如图382，要在一个圆形纸板上截出一个面积最大的正方形，试用尺规作出这个正方形不要求写作法，保存作图痕迹图3826.如图383，O和O上的一点A，作O的内接正六边形ABCDEF.图383解题打破正六边形的半径与其外接圆的半径有什么关系？命题点 2与圆内接正多边形有关的计算热度：81%7如图384，正六边形DEFGHI的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，那么的值为图384A. B. C. D.解题打破根据正六边形的每一个内角是120°得到ADI是什么三角形？得到的值是多少？8.如图385，正五边形ABCDE内接于O，过点A的切线与CB的延长线

3、相交于点F，那么F的度数是图385A18° B36° C54° D72°解题打破连接OA，OB, 你能求出AOB, BAF, ABF的度数吗？92019·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，那么该三角形的面积是A. B. C. D.10.如图386，A，B，C在O上，AB是O内接正六边形的一边，BC是O内接正十边形的一边，假设AC是O内接正n边形的一边，那么n等于图386A12 B15 C18 D20解题打破连接OA，OC，OB，你能求出AOC的度数吗？11.2019·玉林如图387，正六边形AB

4、CDEF的边长是64 ，点O1，O2分别是ABF，CDE的内心，那么O1O2_图387方法点拨解决正六边形问题，往往需要作辅助线将其转换为三角形问题进展求解.命题点 3与圆内接正多边形有关的证明热度：80%12如图388，O的内接正十边形ABCD，AD与OB，OC分别交于点M，N.图388求证：1MNBC；2MNBCOB.13.如图389，在O的内接等腰三角形ABC中，ABAC，弦BD，CE分别平分ABC，ACB，BEBC.1求证：五边形AEBCD是正五边形；2假设BD，CE相交于点F，试判断四边形AEFD的形状，并证明你的结论图389知识链接1一组邻边相等的平行四边形是菱形；2各边相等，各角

5、相等的五边形是正五边形.命题点 4与正多边形有关的实际应用热度：79%14.如图3810是一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE如图3810，点O为中心1求地基的中心到边缘的间隔 结果准确到0.1 m；2塔的墙体宽1 m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m的观光通道，那么塑像底座的半径最大是多少？图3810模型建立从实际问题中建立正多边形模型，并构造直角三角形，借助三角函数进展计算.15.如图3811，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开场，以一样的速度在O上做

6、逆时针运动，AM与BN交于点P.1求图中APB的度数2图中APB的度数是_，图中APB的度数是_3根据前面的探究，你能否由此题推出一般的正n边形的情况？假设能，请写出你的结论；假设不能，请说明理由图3811方法点拨从特殊到一般发现规律，再从一般到特殊验证规律.16.盼盼同学在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：1假设P是正三角形ABC的外接圆上的一点，那么PBPCPA；2假设P是正四边形ABCD的外接圆上的一点，那么PBPDPA；3假设P是正五边形ABCDE的外接圆上的一点，请问PBPE与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；4假设P是正n边形A1A2A3An的外接圆上的一点，请问

7、PA2PAn与PA1又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明图3812方法点拨解决正多边形问题时，通常需要作辅助线构造直角三角形，借助三角函数加以计算.详解详析1A2D解析 利用圆的半径即可将圆等分成6份，这样就能得出正三角形，也可以得出正六边形；作两条互相垂直的直径即可得到圆的4等分点，连接各分点可得出正方形；但是无法只利用直尺与圆规将圆7等分，故无法得到正七边形3D4解：过点O作ODBC于点D，连接BO.正三角形ABC内接于O，点O既是三角形的内心也是外心，OBD30°，BDCDBCAB cm，cos30° ，解得BO2 cm，即O的半径为2 cm.5解：作两条弦AB，

8、BC的垂直平分线，交点即为圆心O; 作直径DE，作直径DE的垂直平分线，交圆O于点F，G；顺次连接D，G，E，F，四边形DGEF即为所求，如下图6解：如图，首先作直径AD，然后分别以点A，D为圆心，OA长为半径画弧，与O分别交于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，那么正六边形ABCDEF即为所求7C解析 六边形DEFGHI是正六边形，EDI120°，ADI60°，ADI是等边三角形，ADDE.同理，BEDE，ADDEBE，SADISABC，同理，SBEFSABC，SCGHSABC，.应选C.8D解析 连接OA，OB.AF是O的切线，OAF90°

9、;.正五边形ABCDE内接于O，AOB72°.OAOB，OABOBA54°，BAF90°54°36°.ABF72°，F180°36°72°72°.应选D.9A10B解析 连接OC，OA，OB.AB是O内接正六边形的一边，AOB360°÷660°.BC是O内接正十边形的一边，BOC360°÷1036°，AOCAOBBOC60°36°24°，n360°÷24°15.应选B.1112

10、4 解析 过点A作AMBF于点M，连接O1F，O1B.六边形ABCDEF是正六边形，FAB120°，AFAB，点A，O，M在一条直线上，AFBABF×180°120°30°，ABF中BF边上的高AMAF×64 32 ，FMBMAM3 6，BF3 63 6126 .设ABF的内切圆的半径为r，SABFSAO1FSAO1BSBFO1，×32 ×6 12×64 ×r×64 ×r×126 ×r，解得r3，即O1Mr3，O1O22×364 124 .12证

11、明：1如图，连接OA，OD.BC，CD为O的内接正十边形的边长，BOCCOD36°，BOD72°，BADBOD36°.OBOC，12×180°36°72°.同理可得372°，ABC13144°，BADABC180°，ADBC，即MNBC.2BAD36°，372°，AMB180°BAD372°，OMNAMB72°.OMNAOMOAM，OAM36°，OMAM.在OMN和AMB中，MONMAB，OMAM，OMNAMB，OMNAMB，MNMB，

12、ONAB.OMON，OBOMBMABMN.ABBC，MNBCOB.13解：1证明：ABAC，ABCACB.BD，CE分别平分ABC，ACB，ABDDBCECBACE.BEBC，BECBCE.BACBEC，ABDDBCECBACEBAC，AEADDCBCBE，五边形AEBCD是正五边形2四边形AEFD是菱形理由如下：五边形AEBCD是正五边形，EBCEADAEBADCBCD108°.BCDC，CBDBDC36°，ADB72°，EADADB180°，AEBD，同理可得：ECAD，四边形AEFD是平行四边形又AEAD，四边形AEFD是菱形14解：1 如图，过点

13、O作OMAB于点M，连接OA，OB，那么OM为边心距，AOB是中心角由正五边形的性质得AOB360°÷572°.又AB×265.2m，所以AM2.6 m，AOM36°.在RtAMO中，边心距OM3.6m所以地基的中心到边缘的间隔 约为3.6 m.23.611.61m所以塑像底座的半径最大约为1 m.15解：1ABC是正三角形，ABC60°.点M，N分别从点B，C开场以一样的速度在O上做逆时针运动，BAMCBN，APB180°ABNBAM180°ABNCBN180°ABC120°.290°72°3能图中APB.16解：3PBPE与PA满足的数量关系是：PBPE2PA·cos36°.理由：连接OA，OE，过点A作AMPB于点M，ANPE于点N.因为APMAPN，所以RtAMPRtANP，所以AMAN，PMPN.因为ABAE，所以RtAMBRtANE，所以MBNE，所以PBPEPMMBPNNE2PN.因为APEAOE，且五边形ABCDE为正五边形，所以AOE72°，所以