数学一试题答案、解析

1、2009年数学一试题答案、解析2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。(1)当x0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)等价无穷小，则()-1.1(A)a1,b一(B)a1,b一66-1-1(C)a1,b(D)a1,b66【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。参见水木艾迪考研数学春季基础班教材考研数学通用辅导讲义(秦华大学出版社)例4.67,强化班教材大学数学强-2 _a sinax6bx化29916、17等例题。【答案】Axsin

2、axxsinax1acosxlimlimlim=x0x2ln(1bx)x0x2(bx)x03bx2-2_._一_3asinaxa,lim1X06b6b.axaa36b意味选项B,C错误。再由lim1acosax存在,故有1acosax0(x0),故a=1,D错误，所以选Ax03bx2(2)如图，正方形(x,y)|x|1,|y|1被其对角线划分为四个区域,DK (k 1,2,3,4), 1K ycosxdxdy ,则 maxIK=()DK1 K 4【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。参见水木艾迪考研数

3、学春季班教材考研数学通用辅导讲义-微积分例12.3、12.14、12.16、12.17,强化班教材大学数学同步强化299117题，以及考研数学三十六技例18-4。D2,D4关于x轴对称，而ycosx即被积函数是关于y的奇函数，所以LI4；Di,D3两区域关于y轴对称,ycos(x)ycosx即被积函数是关于x的偶函数，由积分的保号性，Ii 2y cosxdxdy 0, I3 2ycosxdxdy 0 ,所以正确答案为A。(x,y)|y x,0 x 1(x,y)|yx,0x1(3)设函数yf(x)在区间-1,3上的图形为x【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，

4、变限积分函数的性质(两个基本定理)，定积分的几何意义。由yf(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、x=0所围的图形的代数面积应为函数F(x),由于f(x)有第一类间断点，F(x)只能为连续函数，不可导。x(1,0)时，f(x)0且为常数，应有F(x)单调递增且为直线函数。x(0,1)时，f(x)0,F(x)0,且单调递减。x(1,2)时，f(x)0,F(x)单调递增。x(2,3)时，f(x)0,F(x)为常值函数。正确选项为D。【答案】D。(4)设有两个数列an,bn，若liman0,则()nan bn发散(A)当bn收敛时，烝灯收敛(B)bn发散时,（C）当|bn|收敛时，a2b；收敛（D）

5、|bn|发散时，a2b；发散n1n1n1n1【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。1.1(方法1)|bn|收敛，则hm|bn|0,又lim|an|0,必存在N,使当n>N时|bn|-且|an|nn22（极限的有界性！）当|bn|收敛时, n 1|a2b：|收敛。应选Co1参见水木艾迪春季基础班教材考研数学通用辅导讲义 社）自测模拟题15.3,例J 154微积分（清华大学出版1（万法2）反例：对A取an bn（1）“丁，对3取4 bn1 一 一,对 D 取 anbnn（5）设ai,a2,a3是3维向量空间R3的一组基,则由基11a1，一 a2, 一 a3 到基aa2, a2a3

6、,a3&的过渡矩阵为（）1(A) 20(B)(C)121212141414161616(D)121416121416121416【解析】由基11 司阚，一a2, 一a3 到 a123a2, a2a3, a3a1的过渡矩阵满足(a1 a2,a2 a3,a3 a1)a1，一a2,一a323a2b2|bn|,立即由正项级数的直接比较法得至U：所以此题选（A）。【点评】本题考查的主要知识点:（6）设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A, B的伴随矩阵，若|A|二2|B|=3,则分块矩A0的伴随矩阵为OO 3B2A O,I2BO（C）2B3AO(D)O 2A3B O【答案】B【解析】0 A由于分块

7、矩阵0 B 0的行列式(1)2 2 | A|B| 2 3 6 ,即分块矩阵可逆,根据公式_ 1|C|C1b31a203A2B0【点评】本题考查的知识点有: 逆矩阵等。伴随矩阵和逆矩阵的关系,分块矩阵的行列式，分块矩阵的(7)设随机变量X的分布函数为F(x) 0.3 (x) 0.7x其中(x)为标准正态分布函 2数，则EX=()(A) 0(B)0.3(C)0.7(D)1【解析】因为F(x) 0.3(x)0.7所以 F (x) 0.3 (x) 07cc 10.3-： e2x1 220.72、2(x 1)2e 二,0,1,所以1-P(X.0z|Y0)P(XYz|Y1)1由于X,Y独乂。Fz(z)P(

8、X.0z)P(Xz)。2(D若z<0,则Fz(z)-(z),(2)若z0,则Fz(z)-(1(z)22z=0为间断点，故选(B)【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。2(9)设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，z=f(x,xy)则一-=。xy【解析与点评】本题为多元函数偏导数计算的基本题目，同类题目可参见参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-10题，水木艾迪考研大学数学同步强化299»例

9、10.1210.13,10.15等，还有考研数学三十六技例15-1,15-3,15-5等，以及考研数学通用辅导讲义-微积分101,103等例题。答案：xf12f2xyf222一f1f2.y,xf12f2xyf22xxy(10)若二阶常系数线性齐次微分方程 yayby0的通解为y(CCzx)ex,则非齐次方程yaybyx满足条件y(0)2,y(0)0的通解为y=。【解析与点评】答案：yxexx2由y(C1C2)ex,得二阶常系数线性齐次微分方程yayby0的特征值121,故a=-2,b=1,要求解的微分方程为y2yyx。设特解y°AxB代入微分方程为y2yyx,得出-2A+Ax+B=x

10、,A=1,B=2,故微分方程为的y2yyx特解yx2,通解为y(C1C2x)exx2代入初始条件y(0)2,y(0)0,得C10,C21,要求的解为yxexx2参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-12题，【水木艾迪考研】大学数学同步强化299»133,134,考研数学三十六技例11-8,但J11-11,例11-12,考研数学通用辅导讲义-微积分例8.20,但J8.21,例8.29,例8.30。(11)已知曲线L:yx2(0x扬,贝Uxds=o【解析与点评】由题意，xx,yx2,0x72,则dsJ(x2)(y2)dx44xdx,二匕、泰tT1/2212123213所以xdsxjl

11、4xdx-y14xd(14x)-.J(14x)0L0808366参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化299114,考研数学三十六技例19-1微积分通用辅导讲义例13.1,例13.3(12)设(x,y,z)|x2y2z21,贝Uz2dxdydz。【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。(方法一)由轮换对称性,x2dxdydzy2dxdydzz2dxdydz2 , , ,1,2z dxdydz -(x2、z )dxdydzd 0d2 . sin415(方法二)2 .z dxdydz0d2 .sin2 2coscos2 d ( cos )4d003 cos3-d415参见【水木艾迪考研】大

12、学数学同步强化299125,考研数学三十六技例18-5,例18-6,例18-7,微积分通用辅导讲义例12.13,12.29。【答案】15(13)若3维向量a,满足aT2,其中aT为a的转置，则矩阵aT的非零特征值为。【解析】由aT2,aT(aT)2.,aT的非零特征值为2。【点评】本题考查的知识点有：特征值和特征向量的概念。本题也可根据矩阵aT是秩为1的3阶矩阵，可知其特征值必为0,0,tr(aT),而tr(aT)aT2,求得答案。【答案】2。(14)设X1,X2,.,Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，又和S2分别为样本均值和样本方差。若X+kS2为np2的无偏估计量，则k=o

13、【解析】由X+kS2为np2的无偏估计，即np+knp(1-p)=np2即1+k(1-p)=p,从而k=1,【答案】1【点评】这是一个考查样本均值与样本方差的典型问题，只要记住样本均值是总体均值的无偏估计以及样本方差是总体方差的无偏估计的结果，很容易获得结论。三、解答题：15-23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分9分)求二兀函数f(x,y)x2(2y2)ylny极值。【解析与点评】考点：二元函数的局部极值问题。fx(x,y)2x(2 y2) 0,fy(x,y)2x2y lny 1 0,驻点为0,yfxx 2(2y2),

14、fyy2x24xy则fxx0,1e12e0,1e0,fyy0,1 e e在驻点，fxx0,( fxy)2fxx fyy ，一10,二兀函数存在极小值f 0,- e参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-19题、基础班2009模拟试题2-（3）题，还可参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化299106,107,108等，考研数学三十六技例16-5,以及考研数学通用辅导讲义-微积分例11.10,但J11.11,11.20。（16）（本题满分9分）设工为曲线yxnyxn324x x4xo（n1,2,.）与所围成区域的面积，记an,S2a2n1,求S1与$2的值。1n1【解析与点评】考点: 强调的重要

15、技巧。定积分求面积，级数求和级数求和的零部件组合安装法是水木艾迪曲线yxn与曲线y1在点x=0和x=1处相交,an1 n0(x)dxS2由 ln(1an1Nimann 1lim (1N 、2一)lim (工2 N 2a2n 12n2n 1x)(n 1) x(1)ln(2)11 (215 .)S2 ，S21ln2参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-16题、基础班2009模拟试题1-17题，以及【水木艾迪考研】大学数学同步强化299»76,78,例158-1等，考研数学三十六技例9-16,10-8,考研数学通用辅导讲义-微积分例15.14,例J16.18。22（优（本题满分11分）

16、椭球面积s是椭圆亍气1绕x轴旋转而成，圆锥面积，是过点2(4, 0)且与椭圆-421相切的直线绕x轴旋转而成。3(I)求S及S2的方程；(II)求Si与S2之间的立体体积。222【解析】(I)Si的方程为上yL1,4322过点(4,0)与土L1的切线为两条，由线绕x轴旋转体的几何意义，只需求一条即可,43切线出型1过点(4,0),斜率为k/，得到切点为434yo311xo1,yo,k-,取一条切线y-x2。222得到&的方程为y112z2(-x2)22(II)记?x2呈J3(1x-),则2:4y；dxy2dx412°(x2x4)dx20(33x2)dx413243x-xo3(

17、18)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)可导，则存在(a,b),使得f(b)f(a)f()(ba)O)内可导，且lim f (x) A则f (O)(II)证明：若函数f(x)在x=O处连续，在(O,)(存在，且f(O)A【解析与点评】(I)过(a,f(a)与(b,f(b)的直线方程为y(x)f(a)f(b)f(a)(xa)ba取辅助函数F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa),则F(a)F(b);baF(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且F (x)f (x)f(b) f(a)b a由罗尔定理，存在(a,b)，使F()O,即f

18、()llf°，或f(b)ff()(ba)(II)任取x(O,),则函数f(x)满足:在闭区间0,x上连续，开区间（0,X0）内可导，由拉格朗日中值定理可得:(0,x)(0,)，使得f()两边取x0时的极限，注意到f(X)f(0)X0limf(x)A,可得X0f(0)limf(X)f(0)x0x0于是f(0)存在，且f(0)Alimf()AX0导数定义与拉格朗日微分中值定理是水木艾迪辅导的星级考点，尤其是拉格朗日微分中值定理本身的证明方法，及其在处理问题中的桥梁功能与逐点控制功能（连锁控制功能）是我们教学中一再强调的概念与方法，相关例题参见水木艾迪考研数学通用教材-微积分（清华大学出版

19、社）。（19）（本题满分10分）计算曲面积分IOxdydzydzdxzdxdy其中是曲面/222.2（xyz）2x22y2z24的外侧。【考点】R3中复连通域上的Stokes定理、Guass公式。在水木艾迪2009点题班上曾强调数一考生今年要特别注意复连通域上的Stokes定理、Guass公式与Green公式，并注意用积分与的约束条件简化计算。【解析与点评】IOxdydzydzdxzdxdy,其中2X22y2z24(x2y2z2)5记XX3,Yy3,Yz3,则2222/2222/2222(xyz)(xyz)(xyz)222yz2x5Z2222(Xyz)2由轮换对称性,222-722c2Yxz2

20、yZxz2z5,5,yZ2222z222.2(Xyz)2(Xyz)2XY7除原点外，散度div(X,Y,Z)0xyz记Si：x2y2z21,由复连域上的Stokes公式及Guass公式，注意到约束条件可得:二xdydz(x2ydxdzzdxdy3227yz)Sixdydzydxdzzdxdy3z222«(Xyz)xdydzydxdzzdxdySi43dV3.43【水木艾迪考研】可参见大学数学同步强化299129,130等例题，考研数学三十六技例20-4（完全相同），例20-5,例20-6,以及考研数学通用辅导讲义微积分例14.8,例14.12,例14.15,14.31,水木艾迪200

21、9考研数学模拟试题数1-19题。(20)(本题满分11分)设A111,11求满足A 21, A2 31的所有向量2, 3（II ）对（I）中的任一向量2, 3,证明:1, 2, 3线性无关。【解析】（I）解方程A21故21I1,其中K为任意常数。解方程A211 0 020 0 000 0222202212A22,220144021210故30k21k3，其中k2,k3为任意常数（II）证明：由于11kl2 21 1ki2 2ki12k2k30142 2k112k2k31 八 /1、(k11 k1)0o故1,2,3线性无关。【点评】本题考查的知识点有：矩阵的运算，非齐次线性方程组求解，解的结构，

22、线性无关的概念，三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零，行列式的计算等。(21)(本题满分11分)设二次型f(X1,X2,X3)ax；ax；(a1)x22取32x2X3(I)求二次型f的矩阵的所有特征值;(II)若二次型f的规范形为y2y2,求a的值a01【解析】A0a111a1a0|EA|0a11(a) ( a)2 (a) 2)(a)( a 1)( a 2)。所以二次型的矩阵A的特征值为a-2,a,a+1(II)若规范形为y；y|,说明有两个特征值为正，一个为0,当a=2时，三个特征值为0,2,3,这时，二次型的规范形为y2y2【点评】本题点：二次型的矩阵，求矩阵的特征值，二次型的规范形，惯性定理等。(22)(本题满分11分)袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次,每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。(I)求PX=1|Z=0。(II)求二维随机变量(X,Y)的概率分布。【解析】(I)在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以PX=1|Z=0=C22432P(Xc2 c31626(II)X,Y取值范围为1,1,2,故c3c；10,Y0)323-,P(X1,Y0)64P(X112,Y0)/3P(X0,Y1)c2c2c362p(%=i,y=i)=-=