整理对称性及常微分方程的精确解

1、对称性及常微分方程的精确解1根据对称性求解一阶常微分方程如何求解一阶常微分方程dyx-y2dxxy的精确解？看起来有些困难。但是，仔细观察，不难发现方程具有如下对称性P2X5Xy=Ay也就是说对因变量y和自变量X作这样的变换，微分方程仍然不变dy'xjy2d?xy我们看如何通过变换变量求解这个方程？将变换写为X=eXPay=ey可以看出，变换就是参数a,从o改变的结果，可以认为是对a从o平移到a造成的。a可以任意改变不影响这个对称性，我们称方程（1）具有单参数平移变换不变性。你可能有点不耐烦，“那有怎么样，我要的是方程的精确解！”稍安勿躁，这包含变换变量的技巧！如果我将因变量和自变量变

2、为w,t=y7x,In（x）又会怎样?可以预见，方程（1）会变成F（dW,w）=0的形式。这样就可以求解了！dt为什么？222我们看w=v/x在期检（9时屋不邺的w=v/X=v'/x',而二ln（X）在变换（2）有V=ln（X）=irTx）=t+a一般方程（1）会变为dwF（,t,w）=0（3）dt不变性，同样地方程（3）也具有变换（2）不的形式，但是别忘了方程（1）具有变换（2）变性。dw由于和W在变换（2）中不变，在变换（2）时方程（3）变为dtF（削,t+a,w）=0dt因此上述方程只能不再显含to回答完毕。我们看一看针对方程（1）具体的表达式dwd（y2/x）xd（y2

3、/x）2ydyydt1/xdxdxdxx222=2yC_）_£=2-3仝=2-3wxyxx果然改变变量后罟="'不显含二于是±In（2-3w）=t+C-31y2一In（2-3匚）=lnx+C3x22-4=CxJX3i/?y=Mx（2-Cx）/3）'这样就求出方程的精确解。真得感谢对称性。是啊，对称性是个好东西！2寻找微分方程的对称不变解微分方程有没有满足对称性（2）的解？有的，当C=0时y二±（2x）2就具有（2）所示对称3性。事先求解方程能否得到它？可以的。看变换（2）满足的微分方程，如果将（2）看成包含参数a的隐函数（X：y不改变），

4、二1dinx2我们知道方程（1）的对称解也满足这个方程，因此，对称解同时满足两个微分方程dyX一（dxxyydx°”2-2c消去dx,得到£=一,即，即厂士（2x）,2。2xyv233.般情况我们应该总结一下了：对于微分方程己经知道它的变换不变性x'=f(x,a)/=g(y,a)其中f(x,0)=x;g(y,0)=y我们可以反解出a来，a二f二(y,y)a=g"1(x,x)选取变量Wt：-MgTX。)(yvo),ggxo),这里x。，y。是任意选定的常数，h()是任意形式的函数，hghX'X。)-f->,y。)可以是变换不变的任意表达式。就可

5、以将方程化为G普，心。的形式，从而求解方程。计算微分方程的变换不变解,可以先计算对称解遵循的常微分方程dy 点 ag (x, a) dx Ca fazO(x, a)将这个导数带入原微分方程F (业,X, y) = 0,就得到 dx=0f(Cag(x,a)(、r丁K7a出，X,y)Caf(X,a)得到的隐函数就是微分方程的变换不变解。4根据对称性化简高阶微分方程或微分方程组我们知道，高阶微分方程可以化为一阶微分方程组，比如m+xy=0就可以化为虬zdxdz_=-2yz-xydx依次类推。我们只将微分方程组的化简。为了方便，我们举例讲解比如微分方程组dy=x+yzdx2dzZ2ZX满足变换yTIZ

6、Tae xe2a y的不变性我们选取自变量t = In (x),选取因变量u =2 = xz可以预见原来方程组变为乎=F(u, v) dt乎二G (u, v)dt不显含t，原因同上面讲的一样，这个方程组，只能由变换不变的量组合起来，即由du dv,一，u, v组合而成，不能显含to dt dt将上式相除，可以约掉t,变为du F (u, v) dv G (u, v)使得方程组减少一个变量，化简了方程。具体上述例子2du d(y/x ) dy 2y 入一J- - )- - J 2 亡=1 + uv - 2u x xdt d 1 n X xdx2dv d(xz) X dz ±=+ ZX(

7、_dt dl nx dxx2Z y' + 1 2 ,2 1)+ zx =v u 中=X Ty果然方程变为du彳_=1+uv-2udtdv12二一-7u+vdtu不再显含t,化简为常微分方程duu(l+uv-2u),一22dv1vu+vu碰巧，这个方程还有对称性，可以完全求解。这里作为读者一个练习题。计算方程的不变解，与微分方程的情况相同。将对称性变为微分方程，lx!=2d1nXdInz,=dInX上述对称性解也满足这个微分方程，因此同时满足或=xyzdxdz1_zydx一孑ydy=2y/xdx=z/x因此，对称解满足X+yz=2y/X1z，y/I-二-z/XlyX。4根据对称性化简微分方程组般情况常微分方程组F%如;x,u纽=o,P=l,.,ndx具有如下单参数变换不变性(单参数李群变换不变性)XTX(x,6,a)uPtU3(x,uG,a),P=1,.,n反求第一个方程得到a=T(X,UE),上面n+1个方程消去a,可以得到n个表达式VP（x,u乌）,P