(可用)第七章单元测试卷

1、1已知c<0，则下列不等式中成立的是()Ac>2c Bc>()c C2c>()c D2c<()c2函数f(x)的定义域是()A. B. C. D.3设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D84已知f(x)x在(1，e)上为单调函数，则b的取值范围是()A(，1e2，) B(，0e2，)C(，e2 D1，e25设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为()A4 B0 C. D46不等式2x2x1>0的解集是()A(，1) B(1，) C(，1)(2，) D(，)(1，)7观察下列各式：7249,73343,742401，

2、则72011的末两位数字为()A01 B43 C07 D498关于x的不等式|x1|x2|>a2a1的解集为R，则a的取值范围是()A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(，1)9.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0<a<12)、4米，不考虑树的粗细现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S平方米，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数uf(a)的图像大致是() 10已知x，y满足目标函数z2xy的最大值为7，最小值为1，则()A2 B1 C1 D211已知等比数列an中，公

3、比q<0，若a24，则a1a2a3有()A最小值4 B最大值4 C最小值12 D最大值1212关于x的不等式x2(a1)xab>0的解集是x|x<1或x>4，则实数a、b的值分别为_13从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC2，A90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为_14设数列an是以d为公差的等差数列，数列bn是以q为公比的等比数列将数列an的相关量或关系式输入“LHQ型类比器”左端的入口处，经过“LHQ型类比器”后从右端的出口处输出数列bn的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是_15函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为

4、零的偶函数，f(1)0，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是_16已知(1，cosx)，(cos x,1)，x，记f(x)cos<，>.(1)求函数f(x)的解析式； (2)求cos<，>的取值范围17先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1a21，求证：aa.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，因为对一切xR，恒有f(x)0，所以48(aa)0，从而得aa，(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明18已知函数yf(x)x3ax2b(a，b

5、R)(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当x(0,1时，yf(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为，且0，求a的取值范围19等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列20东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n).若水晶产品的

6、销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求出f(n)的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？21已知函数f(x)ln(x1).(1)若函数f(x)在0，)内为增函数，求正实数a的取值范围(2)当a1时，求f(x)在，1上的最大值和最小值；(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有<lnn.1已知c<0，则下列不等式中成立的是()Ac>2c Bc>()c C2c>()c D2c<()c答案D2函数f(x)的定义域是()A. B. C. D.答案D解析由题意，得解此不等式组，得.故选3设a、b是实数，且

7、ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D8答案B解析2a2b224，故选B.4已知f(x)x在(1，e)上为单调函数，则b的取值范围是()A(，1e2，) B(，0e2，)C(，e2 D1，e2答案A解析b0时，f(x)在(1，e)上为增函数，b>0时，当x>0时，x2，当且仅当x即x取等号，若使f(x)在(1，e)上为单调函数，则1或e，0<b1或be2.综上b的取值范围是b1或be2，故选A.5设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为()A4 B0 C. D4答案D解析根据约束条件可作出可行域，如图所示，z3xy，y3xz，目标函数所在直线由图中虚

8、线位置向下平移时，z逐渐变大，当经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax3×224，故选D.6不等式2x2x1>0的解集是()A(，1) B(1，) C(，1)(2，) D(，)(1，)答案D解析由原不等式得(x1)(2x1)>0，x<或x>1.7观察下列各式：7249,73343,742401，则72011的末两位数字为()A01 B43 C07 D49答案B解析7516807,76117649,77823543,785764801，7n(nZ，且n5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(nZ，且n5)的末两位数为f(n)，则f(201

9、1)f(502×43)f(3)，72011与73的末两位数相同，均为43.故选B.8关于x的不等式|x1|x2|>a2a1的解集为R，则a的取值范围是()A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(，1)答案B解析由题意知，a2a1<(|x1|x2|)min，而|x1|x2|最小值为1，a2a1<1，解之得1<a<0，选B.9.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0<a<12)、4米，不考虑树的粗细现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S平方米，S的最大值为f

10、(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数uf(a)的图像大致是() 答案C 解析设ADx，Sx(16x)()264.当且仅当x8时成立，树围在花圃内，0<a8时，x8能满足条件，即f(a)64.当8<a<12时，Sx(16x)最大值为a(16a)f(a)选C.10已知x，y满足目标函数z2xy的最大值为7，最小值为1，则()A2 B1 C1 D2答案D解析根据约束条件画出可行域，如图所示，直线2xy7与可行域的交点为A(3,1)，直线2xy1与可行域的交点为B(1，1)，显然点A、B在直线axbyc0上，将点A、B的坐标代入直线axbyc0，得则所以2，11已知等比数列an中，公

11、比q<0，若a24，则a1a2a3有()A最小值4 B最大值4 C最小值12 D最大值12答案B解析等比数列an中，a1a3a，又因为公比q<0，所以a1a322a2，则a1a2a3a24.12关于x的不等式x2(a1)xab>0的解集是x|x<1或x>4，则实数a、b的值分别为_答案4,113从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC2，A90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为_答案 解析设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得ab1，且a，b，Sa2b22×()2，当且仅当ab时取等号14设数列an是以d为公差的等

12、差数列，数列bn是以q为公比的等比数列将数列an的相关量或关系式输入“LHQ型类比器”左端的入口处，经过“LHQ型类比器”后从右端的出口处输出数列bn的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是_答案Bnb1×()n1解析注意类比的对应关系：×，÷开方，×乘方，01，所以Bnb1×()n1.15函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f(1)0，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是_答案0解析令x，得f()f()，即f()f()f()，即f()0；再令x，得f()(1)f()，即f()0；再令，同理得f()0，

13、归纳知f()0，k1,2，.又f(1)f(1)0，令x1，得f(2)0，令x2，得f(3)0，故f(k)0，k1,2,3，；令x0，则0×f(1)1×f(0)，即f(0)0.所以f()0.16已知(1，cosx)，(cos x,1)，x，记f(x)cos<，>.(1)求函数f(x)的解析式； (2)求cos<，>的取值范围答案(1)f(x)(2)cos<，>1解析(1)(1，cosx)，(cosx,1)，·2cos x，|·|1cos2x.f(x)cos<，>.(2)x，f(x)cos<，>，c

14、osx，12cosx，f(x)1，即cos<，>1.17先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1a21，求证：aa. 证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，因为对一切xR，恒有f(x)0，所以48(aa)0，从而得aa，(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明解析(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，求证：aaa.(2)构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)xaaanx22xaaa，因为对一切xR，都有f(x)0，所以44n(aaa)0

15、，从而证得：aaa.18已知函数yf(x)x3ax2b(a，bR)(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当x(0,1时，yf(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为，且0，求a的取值范围答案(1)a3(2)a解析(1)f(x)3x22ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f(x)0在(0,2)上恒成立，f(x)是开口向下的抛物线，a3.(2)0，tan3x22ax0,1据题意03x22ax1在(0,1上恒成立，由3x22ax0，得ax，a，由3x22ax1，得ax.又x(当且仅当x时取“”)，a.综上，a的取值范围是a.19等差数列an的前n项和为Sn，a11，

16、S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析(1)由已知得，d2，故an2n1，Snn(n)(2)由(1)得bnn假设数列bn中存在三项bp，bq、br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，()2pr，(pr)20，pr，与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列20东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入1

17、00万元科技成本预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n).若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解析(1)第n次投入后，产量为10n万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元，所以，年利润为f(n)(10n)(100)100n(nN*)(2)由(1)知f(n)(10n)(100)100n100080()520(万元)当且仅当，即n8时，利润最高，最高利润为520万元答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元2

18、1已知函数f(x)ln(x1). (1)若函数f(x)在0，)内为增函数，求正实数a的取值范围(2)当a1时，求f(x)在，1上的最大值和最小值；(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有<lnn.解析(1)f(x)ln(x1)，f(x)(a>0)函数f(x)在0，)内为增函数，f(x)0对任意x0，)恒成立，a(x1)10对任意x0，)恒成立，即a对任意x0，)恒成立而当x0，)时，()max1，a1.(2)当a1时，f(x).当x，0)时，f(x)<0，f(x)在，0)上单调递减，当x(0,1时，f(x)>0，f(x)在(0,1上单调递增，f(x

19、)在，1上有唯一极小值点，故f(x)minf(0)0.又f()1ln1ln2，f(1)ln2，f()f(1)2ln2 e3>16，f()f(1)>0，即f()>f(1)f(x)在，1上的最大值为f()1ln2.综上，函数f(x)在，1上的最大值是1ln2，最小值是 0.(3)法一：用数学归纳法当n2时，要证<ln2，只要证ln4>1，显然成立假设当nk时，不等式<lnk(k>1，kN*)成立则当nk1时，<lnk.要证lnk<ln(k1)成立，只要证<ln，即<ln(1)令x>0，则上式化为<ln(1x)(x>

20、0)只要证：ln(1x)>0(*)由(1)知，当a1时，f(x)ln(1x)在0，)内是增函数，故有f(x)f(0)，即ln(1x)x0，)成立，而(*)中x(k>1，kN*)，x>0，ln(1x)>0即(*)式成立当nk1时，不等式成立由知对任意n>1的正整数不等式都成立法二：由(1)知，当a1时，f(x)ln(1x)在0，)上是增函数，故有f(x)f(0)，即ln(1x)x0，)成立令x(nN*)，则x>0，有ln(1x)>，即ln>.由此得ln>，ln>，ln>，ln>，则lnlnlnln>，即得lnn>

21、.故对大于1的任意正整数n.都有<lnn.作业1 (1)由“若a，b，cR，则(ab)ca(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)ca(b·c)”；(2)在数列an中，a10，an12an2，猜想an2n2；(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； (4)已知(2x)8a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a8256.上述四个推理中，得出的结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)2现在5男5女共10个小孩，设想做如下游戏：先让4个小孩(不全为男孩)等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两

22、个小孩同为男孩或同为女孩，则在他(她)们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动这种活动按上述规则继续进行，直到圆周上所站的4个小孩都为男孩为止，则这样的活动最多可以进行_次3已知a，b为正数，且直线2x(b3)yb0与直线bxay50互相垂直，则2a3b的最小值为_4不等式4xa·2x10对一切xR恒成立，则a的取值范围是_5已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有_6若数列an的通项公式an，记f(n)2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，

23、f(3)的值，推测f(n)_.7若不等式|a1|x|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是_8已知x，y满足，且目标函数3xy的最大值为7，最小值为1，则_.9若a<0，则下列不等式成立的是()A2a>a>(0.2)aB(0.2)a>a>2a C.a>(0.2)a>2a D2a>(0.2)a>a10设a、b、c为ABC的三边，则()Aa2b2c2>abc Ba2b2c2>abbcacCa2b2c2<2(abbcac) Da2b2c2>2(abbcac)11设函数f(x)x22lnx，f(x)表示f(x)的导函数

24、，试证明：对任意正数a和正整数n，不等式f(a)n2n1f(an)2n(2n2)恒成立12某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值13已知函数f(x)xex.(1)已知函数yg(x)的图像与函数yf(x)的图像关于直线x1对称，证明当x>1时，f(x

25、)>g(x)；(2)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x2>2.1 (1)由“若a，b，cR，则(ab)ca(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)ca(b·c)”；(2)在数列an中，a10，an12an2，猜想an2n2；(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；(4)已知(2x)8a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a8256.上述四个推理中，得出的结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)答案(2)(3)解析(1)三个实数之积满足乘法的结合律，而三个向量之积是向量，

26、且两个向量相等要满足方向和大小都相等，向量(a·b)·c与向量a·(b·c)不一定满足，故(1)错误；(2)由an12an2，可得an122(an2)，故数列an2为等比数列，易求得an2n2，故(2)正确；(3)在四面体ABCD中，设点A在底面BCD上的射影是O，则三个侧面的面积都大于其在底面上的投影的面积，三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故(3)正确；(4)令x1，得a0a1a81，令x0，则a028256，所以a1a2a8128255，故(4)错误综上可知，只有(2)(3)正确2现在5男5女共10个小孩，设想做如下游戏：先让4个小孩(不全为男

27、孩)等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩，则在他(她)们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动这种活动按上述规则继续进行，直到圆周上所站的4个小孩都为男孩为止，则这样的活动最多可以进行_次答案4解析按照小孩初始位置可以分为以下几种情况分类讨论3男1女时，如下图所示，要经过4次活动可变为4个男孩；2男2女时，经过2次或3次活动可变为4个男孩；1男3女时，如下图所示，要经过4次活动可变为4个男孩；4个女孩时，经过1次活动可变为4个男孩综上可得，这样的活动最多可以进行4次3已知a，b为正数，且直线2x(b3)yb0与直线bxay5

28、0互相垂直，则2a3b的最小值为_ 答25解析依题意得2ba(b3)0，即1,2a3b(2a3b)()136()136×225，当且仅当，即ab5时取等号，因此2a3b的最小值是25.4不等式4xa·2x10对一切xR恒成立，则a的取值范围是_答案2，)解析由题可得a2x恒成立，由基本不等式可知2x2，所以a2.5已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有_答案f(2n)>(n2，nN*)解析由题意f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n2时，有

29、f(2n)>.故填f(2n)>(n2，nN*)6若数列an的通项公式an，记f(n)2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测f(n)_答案解析解法一由题意，得f(1)2(1a1)2×1，f(2)f(1)(1a2)(1)，f(3)f(2)(1a3)(1)，由此归纳得f(n).解法一事实上，由题意，得f(n)2(1)(1)12(1)(1)(1)(1)(1)(1)2××××××××.7若不等式|a1|x|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案1a

30、3解析|a1|2，即1a3.8已知x，y满足，且目标函数3xy的最大值为7，最小值为1，则_.答案解析分别作出直线x1，xy4,3xy7,3xy1，联立与求出(，)与(1，2)，知两点在直线axbyc0上，得：ca，ba，abca，.9若a<0，则下列不等式成立的是()A2a>a>(0.2)aB(0.2)a>a>2a C.a>(0.2)a>2a D2a>(0.2)a>a答案B解析a<0，yxa在(0，)为减函数，()a<(0.2)a，选B.10设a、b、c为ABC的三边，则()Aa2b2c2>abc Ba2b2c2>

31、abbcacCa2b2c2<2(abbcac) Da2b2c2>2(abbcac)答案C解析c2a2b22abcosC，b2a2c22accosB，a2b2c22bccosA，a2b2c22(a2b2c2)2(abcosCaccosBbccosA)，a2b2c22(abcosCaccosBbccosA)<2(abbcac)11设函数f(x)x22lnx，f(x)表示f(x)的导函数，试证明：对任意正数a和正整数n，不等式f(a)n2n1f(an)2n(2n2)恒成立解析问题即证：2n(a)n2n1×2(an)2n(2n2)，也即证：(a)n(an)2n2.用数学归纳法证明：()当n1时，左0，右0，显然不等式成立；()假设nk(k1)时，原不等式成立，即(a)k(ak) 2k2，则nk1时，(a)k1(ak1)(a)k(a)(ak1)(2k2)ak(a)(ak1)(2k2)(a)(ak1)(2k2)×222k12.这就是说，nk1时原不等式也成立综上所述：