三角函数公式大全(学习宏程序须知)

1、三角函数公式大全(学习宏程序须知)三角函数(Trigonometric )是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意 角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其 定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数 列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余 切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中 有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。起源“三角学"'英文 Trigonom

2、etry ，法文 Trigonometrie，德文 Trigonometrie，都来 自拉丁 文Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯 (Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在 1595 年出版一本著作三角学：解三角学的简明处理，创造了这个新词。它是由TPIY©三角学)及U£TU测C量)两 字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没 有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。早期的解三角形是

3、因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人 们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移 和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸 线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星 为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行 的人指出了正确方向。就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应 运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第

4、一步的同角三角函 数的基本关系式倒数关系：商的关系：平方关系：tan a cot a= 1Sin u/CoS a二 tan aSinCoSu-lSin a CSC a= 1= SeC 3/080 a1 +tan SeC 2aCOS a Sec a= 1Sin ( a)=cOs一Sin acOs22cOS a/Sin a= cOt a 1 +cOt a= cSc a=cSc a/Sec a诱导公式tan (- a)=cOt - a) =- cOt a-tan asin ( n2 - a)sin ( na)=cos asin acos( n2 - a)cos ( na )=sin a=cOS at

5、an ( n2 - a)tan ( n一 a)=cot a=tan acot( n2-aCOt ( n 一 a =tan a=cot asin (3 n a =cos asin (n+ a) sin (+ asin a=cos acos (n+ a cos( + a=cos a二一 s in atan (n+ a tan (+ a=tan a=-cOt acOt ( n + a)cot ( o2 + a)=cot a=tan aCOt (3 n2 + a =tan acos (3 n2 一 a =sin atan 3 n2 -a= cot asincot (3 n2 一 cos a= tan

6、atancotsin(3 n2+sina=cos a coscos(3 n2+tana= sin acottan(3 n2+(其a) =- cOta(2 n a =sin a(2 na)= cos a(2 n a)= tan a(2 n a = cot a(2k n+ a) = sin a(2k n+ a) = cos a(2k n+ a) = tan a(2k n+ a) = cot a Z)万能公式两角和与差的三角函数公式sin ( a+ B) = sin acos 3+ 2tan( a/2)cos am 3sin (a -3)cos ain 3cos (a + 3)sin ain 3co

7、s (a - 3)sin ain 3sin a=二sin acos 3 -1 + tan 2( a2)1 一 tan 2( o/2)二cos acos 3-cos a1 + tan 2( 2)二cos acos 3+ 2ta n( o/2)+ c c o1 一 tan 2( a2)tan a+ tan 3tan 3 =1 tan a tan 3tan a tan 3tan ( a 3 =1 + tan a tan 3的降幕公式半角的正弦、余弦和正切公式Of sin _ fl -一2=±y -2-at cos . +，+ oosa 2，2三角函数.卫 1 - cos 2oe sin a

8、 =21 + cos2a COS0!=余弦和正切公式a tan _十 -cos ex 1 - cos sin3 a= 3sin a- 4sin 3 a2 V1 -t cos q since 1 + cos a二倍角的正弦、余弦和正切公cos3 a= 4cos a 3C0S a3tan3 a=21 3tan a3tan a tan asin2 a= 2sin acos aC0S2 a = COS 2 a sin 2 a =2cos a 1 = 1 2sin a2tan a三倍角的正弦tan2 a=21 tan a三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式a+ 3 a- 3sin a + sin

9、 3 = 2sincos12 2sin a cosa+3a32sin asin3= 2cos 一1sincosasin222a+3a一31cos a+ cos 3= 2cos cos a coscos2221a+3a3sincos a- cos3=2sin2sin3=-sin (a+3)+ sin (a-3)3=-sin (a+3)sin (a-3)3=-cos (a+3)+ cos (a-3)a sin 3=cos (a+3) 一cos(a-3)22化asin a ±3cos a为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)同角三角函数的基本关系倒数关系：tana - co

10、t=a1 sin a - esc=1 cos a - sec二1商的关系：sin a /cos=xtan a= sec a /esc a cos a /sin =acot a= esc a /sec a 平方关系sinA2( + )osa2( a= 11 + tanA2( =)secA2( a ) 1 + cotA2( =)cscA2(平常针对不同条件的常用的两个公式 sin2 a +cos2 a =1 tan a *cot a =1 一个特殊公式(sina+sin ) *(sina+sin 0 =sin( a+ 0) *sin( a- 0)证明：(sina+sin )* (sina+sin

11、)0=2 sin( 0 +a)/2 cos- (a )/2 *2正弦：sin a 二 acos( 0 +a)/2n(a- 0 )/2 =sin (a+ 0) *sin (a- 0)锐角三角函数公式的对边 a的斜边 余弦：COS a= a的邻边 a的斜边 正切：tan a= a的对边 a的邻边 余切：cot a名a的邻边/ /a的对边二倍角公式正弦 sin 2A=2si nA -cosA 余弦 1 .Cos2a=CosA2 (a)-Si nA2(a) =2CosA2(a)-1 =1-2Si nA2(a)2.Cos2a=1-2Si nH(a)3.Cos2a=2CosA2(a)-1 JEWtan2A

12、= ( 2tanA ) /( 1-tanA2(A)三倍角公式sin3 a =4sin a - sin( n /3+- a )sin( cos/3 a =4cos a - cos( n /3+ «a) ()os(冗 ta®3a = tan a - tan( n /3+a) -aan(H倍角公式推导sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina=2sina(1 -sin2a)+(1 -2sin2a)sina=3sina-4sinA3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1 )cosa-2(1 -

13、cosAa)cosa=4cosA3a-3cosasin 3a=3si na-4si nA3a =4s in a(3/4-s in 2a) =4si na( V 3/2)n： 2a =4si na(si n260 0-si n2a)=4sina(sin60 +s ina)(sin60 -sin a)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60 -a)/2*2 sin(60 -a)/2 cos(60 -a)/2 =4sinasin(60 +a )sin(60 -a )cos3a=4cosA3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4)=4cosacos2a-( V 3/2) A2=4c

14、osa(cos2a-cos2300)=4cosa(cosa+cos30 )(c°osa-cos30 ) °=4cosa*2cos(a+30 )/2 cos(a-30 )/2* -2sin(a+30 )/2s in(a-30 )/2=-4cosasin(a+30 )sin (a-30 )=-4cosasin90 -(6 0 - a)sin-90 +(6 0 +a)=-4cosacos(60 -a )-cos(60 +a) =4cosacos(60 -a )cos(60 +a )上述两式相比可得tan3a=tanatan(60 -a)tan(60 +a)n 倍角公式sin (n

15、 a) =Rsina sin ( a+ n )sin (a+ (n-1)n /)其中 R=2A (n-1)证明：当 sin (na) =0 时，sina=sin ( n /jn <=sin (2 n /jn <=sin(3口/口或=sin (n-1) n/i 这说明 sin (na) =0与 sina-sin ( n/n) * sina-sin(2 n /n ) * si na-s in (3 n/n ) * . * sina- sin (n-1) n /I =0 是同解方程。所以 sin5 玄)与 sina-sin ( n /n) * sina-sin f2 n /n * sin

16、a-sin 3 n/n) * *sina- sin (n-1)n /n 成正比。而(sina+sin )0* (sina+sin ) 0=sin (a+ 0 *sin (a- 0),所以sina-sin (n /) * sin a-si n (2 n /n *sin a-s in (3 n /n * si na- sin (n-1 n /I 与 sina sin(a+n /r)sin (a+ (n-1) n/n成正比(系数与n有失，但与a无关，记为Rn)。然后考虑 sin (2na)的系数为 R2n=R2*(Rn)A2=Rn*(R2)An.易证 R2=2，所以 Rn= 2 (n-1 )半角公式

17、tan(A/2)=(1 -cosA)/sinA=sinA/(1 +cosA); cot(A/2)=sinA/(1 -cosA)=(1 +cosA)/sinA. sinA2(a/2)=(1 -cos(a)/2cosA2(a/2)=(1 +cos(a)/2tan(a/2)=(1 -cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1 +cos(a)的对边 a的斜边 余弦：COS a= a的邻边 a的斜边 正切：tan a= a的对边 a和差化积 sin 0 +sin $ = 2 sin( 0 +© )/2-蜩团 0 sin Osin $ = 2 cos( 0 +© )/2。血。/2

18、00 + $)属机(-$ )/2cos 0 +cos <= 2 cos( 0 + $ )/2os( -$ )/2 cos -cos $ = -2 sin( tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1 -tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1 +tanAtanB) 角 和公式cos( a + 3 )=cos asCosoOsin 3 cD=aos a cos 3 +sin a sin 3 sin( a + 3 )=sin a cosBB)=sios a sin n a cos 3- sjn( acos

19、 a sin 积 化和差 sin a sin 3 cos( -3 )os( a + 3 )2 cos a cos 3 cos( c + 3 )+co3)/2 sin a cos 3 = sin( a +-3 )/2n(cos a sin 3 = sin( -sin( +3 )/2 双 曲函数si nh(a) = eAa-eA(-a)/2 cosh(a)=eAa+eA(-a)/2ta nh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2kn+ a) = sin acos( 2k n+ a) = cos a tan (2k n+

20、a) = tan a cot (2k nA a) = cot a 公式二： 设 a 为任意角，n +出勺三角函数值与a的三角函数值之间的关系： sin ( n+ a) = -sin a COS ( n+ a) = -cos a tan ( n+ a) = tan a cot ( n+ a) = cot a公式三：任意角a与-a的三 角函数值之间的关系：sin(-a)= -sin a cos(-a)= cosa tan(-a)= -tana cot(-a)=-cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系： sin (n a) = sin a cos ( n a)

21、= - cos a tan ( n- a) = -tan a cot (n- a) = -cot a 公式五：利用公式和公式三可以得到2 n a与a的三角函数值之间的关系：sin( 2na)= -sin a COS(2 n- a) = cos a tan ( 2 n a) = " tan a cot (2 n a) = " cot a公式六：n /2 土及 3 n /2 ±a与 a 的三角函数值之间的关系： sin ( n /2+ a = cos a cos ( n /2+ ) = -sin a tan ( n /2+ a=-cot a cot ( n /2+)=

22、 - tan a sin ( n /2a)cot ( n /-2a) = tan a sin( 3 n /2+ )a= -cos a(3 n /2+ ) = -tan a sin ( 3 n /2 a) = -cos a=COS a COS ( n /2a) = sin a tan ( n /2a) = cot a cos( 3 n/2+)a= sin a tan (3 n /2+) a - cot a cot cos (3 n /2 a) = -sin a tan (3 n/2- a) = cot a cot(3n /2 a) = ta n a (以上 k Z) A- sin( «

23、t+ 0 )+ sin( «t+ flV (A2 +B2+2ABcos( 0© )- sin w t + arcsin (A - sin 0 +B - sin $ ) /V 佻人) +BA2V+2 示 Blfeos(0号，包括中的内容诱导公式 sin(- a ) = -sin a cos(- a ) = cos a tan (- a )=tan asin( n-/2 )= cos a cos( n-/2 )= sin a sin( n /2+=ac)Ds a cos( n /2+ a %in a sin( -n )= sin a cos( na )二 cos a sin(

24、n+ a->=i a cos( n + a -cos a tanA= sinA/cosAtan (n/2 + a) = cot a tan ( n 12- a) = cot a tan (n a) = tan a tan ( n+a)= tan a 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin a =2tan( a/2)/1+(tan( a/2)2 cosa=-1 (tan( a/2)2/1 +(tan(ata/n2)a)2=2tan( a /-2()t/a1 n( a/2)2其它公式(1)(sin a )2+(cos a )2(211 +(tan a )2=(sec (3)2

25、-(cot a )2=(csc 证明下面两式，只需将一式， 左右同除(sin a )2第二个除(cos a即可 对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=n -C tan(A+B)=tan( -G)(ta nA+ta nB)/(1- tan Ata nB)=(ta n -tanC)/(1+tan n tanC)整 理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证，当x+y+z=n n值Z)时，该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC

26、+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA )2+(cosB ) 2+(cosC ) 2=1 -2cosAcosBcosC(8)(sinA )2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)编辑本段内容规律 三角函数看 似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律 就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.1、三角函数本质：根据右图，有sinO=y/ r; cos 0 =x/r;tan 0 =y/xcot 0 =x/y深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosA